THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA CHALEUR KAYONMNTE

Annale* de Chimie et de Physique, Série I. Tome XXVIII. p. o'îj; 1825.

On a publié clans ce Recueil divers articles concernant l'équilibre de la chaleur rayonnante. Cette discussion a pour objet de fixer avec précision les éléments d'un nouveau genre de questions, et de porter les physiciens et les géomètres à en approfondir l'étude.

Le principe qui a donné naissance à cette théorie est celui de l'équilibre de la chaleur rayonnante dans un espace que termine de toutes parts une enceinte entretenue à une température constante. J'en ai déduit autrefois la démonstration mathématique d'une proposition que les expériences avaient indiquée depuis longtemps, savoir, que durant cet équilibre de la chaleur rayonnante, une particule quelconque de la surface de l'enceinte est le centre d'une infinité de rayons qui contiennent d'autant moins de chaleur que leur direction fait un angle plus petit avec la surface. Cette quantité totale de chaleur, qu'une même particule de la superficie émet ou réfléchit, selon les différentes directions, est exactement proportionnelle au sinus de l'angle que le rayon fait avec la surface dont il s'éloigne. Les observations avaient fait connaître ce résultat; la théorie prouve qu'il est une conséquence nécessaire de l'uniformité de température dans les diverses parties de

la. surface de l'enceinte. C'est selon cette loi que la chaleur rayonnante est distribuée dans ^espace circonscrit. Il en résulte que la quantité totale de chaleur qui traverse un point de cet espace, selon toutes les directions possibles, pendant un instant déterminé, est toujours la même quelle que soit la position du point que l'on considère.

Après avoir démontré ce théorème, j'ai désiré connaître quelle était la cause physique qui rend proportionnelle au sinus de l'inclinaison la quantité de chaleur projetée en différentes directions par un même élément de la surface, et j'ai reconnu que cet effet est dû à l'irradiation uniforme des molécules solides placées au-dessous de la surface, à une très petite profondeur, et à l'extinction qui s'opère dans cette couche extrême voisine de la superficie. En effet, j'ai prouvé que la lui de la distribution de la chaleur rayonnante peut se déduire de cette seule considération physique. Pour établir clairement ce calcul, j'ai fait d'abord abstraction de la propriété des surfaces que l'on a désignée sous le nom de rè flexibilité. Elle consiste dans la faculté de repousser une partie de la chaleur incidente, et de contenir une partie de la chaleur intérieure. Par conséquent, si la surface de l'enceinte était, dans chacune de ses parties, entièrement privée du pouvoir de retenir la chaleur, la loi du rayonnement, telle que nous venons de l'énoncer, s'établirait d'elle-même, et la chaleur rayonnante se trouverait également distribuée dans tous les points de l'espace circonscrit.

Il était nécessaire de rétablir la propriété dont on avait fait abstraction : j'ai donc supposé que les divers éléments de la surface intérieure de l'enceinte, conservant leur température commune, recevaient à des degrés égaux ou inégaux la propriété de réfléchir la chaleur incidente. Or il est certain qu'un changement quelconque de l'état des surfaces n'altère en rien l'équilibre de la chaleur, pourvu que ces surfaces dont l'état est changé retiennent leur température. Il arrive toujours qu'une molécule qui a la température commune, et que l'on place en un point quelconque de l'espace circonscrit, conserve cette température. C'est ce fait très général indépendant de l'état des superficies dont

j'ai donné l'explication mathématique, en démontrant la proposition suivante :

Si le pouvoir d'émettre la chaleur intérieure dans une certaine direction est toujours le même que celui d'absorber la chaleur incidente selon la direction contraire, un changement quelconque, ou tous les changements successifs qui surviendraient dans l'état des surfaces de l'enceinte, ne pourront troubler l'équilibre; parce que la somme des quantités de chaleur émises ou réfléchies selon une direction donnée par chaque élément de la superficie sera, après les changements survenus, précisément égale à celle qui était envoyée lorsque le pouvoir de l'émission était complet.

On trouve la démonstration de ce théorème dans l'article 12 d'un Mémoire précédent qui a pour titre Résumé théorique (Annales de Chimie et de Physique, novembre 1824, p. 2o5). Cette démonstration avait été donnée, pour la première fois, dans l'article 99 d'un Mémoire de 18 ri (Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, t. V).

On voit que ce point de théorie consistait uniquement à remarquer le rapport mathématique qui subsiste entre la conservation de l'équilibre et l'égalité rigoureuse des deux facultés d'émission et d'absorption lorsqu'elles s'exercent suivant la même ligne.

Cette même conclusion est devenue l'objet de nouvelles recherches publiées par M. Poisson (Annales de Chimie et de Physique, juillet 182ZJ, p. 220; août 182I, p. 442; et janvier 182"), p. 87). L'auteur reconnaît la vérité du théorème que je viens d'énoncer; mais il pense que la démonstration donnée en 181 1, et que l'on a rappelée dans l'article 12 du Résumé théorique déjà cité, n'est pas suffisante. Il s'est donc proposé de traiter de nouveau cette question, et il est arrivé à la même conséquence par le calcul de l'effet total des réflexions successives. Il me sera facile de montrer : i° que le résultat de ce calcul est implicitement contenu, et prouvé de la manière la plus générale et la plus claire dans la première démonstration donnée en 1811; 20 que les constructions qui servent de fondement aux calculs de l'auteur ne

i30 REMARQUES SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

sont point exactes, parce qu'elles représentent seulement le mouvement de la chaleur réfléchie entre des surfaces planes.

Je rappellerai d'abord, non à titre de preuves, mais seulement comme motifs d'examen, que la démonstration dont il s'agit a été admise sans contestation par tous les géomètres qui en ont eu connaissance, et spécialement par MM. Lagrange, Malus et Biot, qui ont manifesté leur opinion à ce sujet, soit dans leurs Lettres, soit dans leurs Ouvrages. M. Poisson en avait porté aussi le même jugement, comme on le voit dans son dernier Mémoire (Annales de Chimie et de Physique, janvier 182J, p. 40» ct comme le montrent les expressions suivantes, que je cite textuellement. Après avoir rappelé la proposition relative à la distribution homogène de la chaleur rayonnante dans un espace fermé, lorsque la réflexibilité est nulle, il ajoute : V auteur fait voir de plus d'une manière très ingénieuse que cette égalité n'est pas troublée parla réflexion plus ou moins parfaite qui peut avoir lieu sur ces mêmes parois ( Bulletin des Sciences, Société philomathique, année 1 8 1 5, p. 91).

De nouvelles considérations ont amené M. Poisson à changer d'avis sur ce point. Il soutient présentement que la démonstration est fautive, en ce qu'elle n'est point applicable à tous les cas, et il en cite un exemple (Annales de Chimie et de Physique, janvier 1824, p. 41» 43 et 45). Je me propose de prouver que l'objection dont il s'agit est dénuée de tout fondement; que le cas choisi pour exemple est précisément un de ceux auxquels la démonstration s'applique le plus directement; en sorte que, des deux opinions contraires que M. Poisson a publiées à ce sujet, c'est la première qui est la véritable. L'article suivant a pour objet d'éclaircir ce premier point de la discussion ; j'ajouterai ensuite de nouvelles remarques à celles qui sont exposées dans le résumé théorique, et qui concernent le calcul des réflexions successives.

Dans le Mémoire intitulé Discussion relative et ta théorie de la chaleur rayonnante (Annales de Chimie et de Physique, janvier 182.) ), l'au-

teur, après avoir présenté, pages \i et 43, la partie de ma démonstration qu'il juge en être la substance, établit son objection, et l'applique au cas où deux surfaces A et B s'envoient réciproquement leur chaleur dans la direction orthogonale, soit par émission, soit par réflexion. Il considère : i° que, si la réflexibilité des deux surfaces est nulle, et si leur température est la même, l'une recevra de l'autre, dans la direction normale, une quantité de chaleur égale à celle qu'elle lui envoie; 20 que l'égalité de température sera maintenue si l'on change seulement l'état de la surface A, en sorte que la chaleur émise par A, et désignée par p, soit réduite à mp, la fraction m étant la mesure du pouvoir émissif. Il est facile de voir en effet que l'égalité de température subsiste toujours; car, avant le changement, la chaleur émise par A selon la normale était/?, et la chaleur réfléchie était nulle : donc B recevait la quantité p : or, après le changement, la chaleur émise par A est seulement mp; mais la chaleur réfléchie est (i —m)p, en sorte que la quantité totale communiquée à B est encore égale à p.

Cette conséquence est évidente, et l'auteur l'admet; mais il pense que le même raisonnement ne peut plus être appliqué lorsque, par l'effet d'un second changement, qui surviendrait dans la surface B, la chaleur sortie de cette surface ne serait plus égale à/>, mais seulement, à np, n étant la mesure actuelle du pouvoir émissif de B. Ici l'auteur change totalement le sens de notre démonstration : le calcul n'est point établi comme il doit l'être, et c'est sur cette erreur que l'objection est fondée.

En effet, avant le changement que la surface B vient de subir, il sortait de l'intérieur de cette surface une quantité de chaleur égale i\p, et B recevait dans la direction contraire une quantité de chaleur égale ap, qui, étantabsorbée entièrement, compensait la chaleur émise.

Après le changement, la chaleur sortie de l'intérieur de la surface B est réduite à np; et, par un effet nécessaire de ce même changement, la chaleur affluen te absorbée n'est plus égale b p; elle est réduite à np; le reste (i — n)p est réfléchi. Ainsi, avant que h; changement de B eût lieu, la chaleur émise par cette surface était/?, et la chaleur ré-

fléchie était nulle; après le changement, la chaleur émise est np, et la chaleur réfléchie est (i — n)p. Donc la chaleur que A reçoit deBdans la direction normale est np-\-(\ — n)p ou p. C'est cette quantité totale, et non pas seulement np, qu'il faut multiplier, ou par m pour connaître la quantité de chaleur absorbée par A, ou par i — m pour connaître la quantité de chaleur que A. réfléchit. Ainsi la chaleur qui pénètre A estmp; elle équivaut à celle qui est émise parcelle même surface; et la chaleur que A réfléchit est (i — m) p. Donc, après le changement de B, la quantité totale que A renvoie à B dans la direction normale est mp •+- (i — m)p. Ainsi elle est égale à p comme elle l'était avant que la surface B fût changée.

Cette dernière proposition est d'ailleurs une conséquence nécessaire de l'état qui s'est formé après le seul changement de la surface A. En effet, après ce premier changement, l'égalité de température est maintenue, ce qui est manifeste et ce que reconnaît expressément l'auteur de l'objection. Ainsi les quantités de chaleur qui tombent sur chaque particule des surfaces de l'enceinte et celles qui s'en éloignent demeurent précisément les mêmes que si la surface A n'avait pas été changée : donc, après le changement de A, la surface B reçoit et envoie les mêmes quantités de chaleur que si le changement n'avait point eu lieu. Il arrive seulement qu'à la surface de A la chaleur envoyée dans la direction normale n'est plus entièrement formée de celle qui sort de l'intérieur; elle comprend aussi la chaleur réfléchie. Mais il n'en résulte aucune différence dans la quantité totale de chaleur que reçoit B, suivant cette direction normale. Par conséquent, on prouvera, à l'égard de la surface B, et de la même manière, ce qui a été prouvé d'abord pour la surface A, c'est-à-dire qu'aucun changement de B ne peut troubler l'équilibre.

Après avoir reconnu que le seul changement de A n'altère en rien la distribution de la chaleur rayonnante, il est impossible de ne point admettre que la même conséquence s'applique à un second changement, savoir à celui de la surface B; car la chaleur que cette surface B avait envoyée avant d'être changée est parvenue en A, et, au moment

précis où le changement de B survient, A reçoit la chaleur déjà envoyée. Supposer le contraire, ce serait concevoir que le nouvel état de la surface Bproduit son effet avant d'avoir été formé. Enfin, si l'on veut rendre ces conséquences encore plus sensibles, il suffit de considérer la distance des deux surfaces comme extrêmement grande, et telle que la lumière ou la chaleur emploie un temps très considérable pour se porter de A en B.

L'exactitude rigoureuse de notre démonstration ne peut donc être contestée. Elle fait connaître sans aucun doute que tout changement qui surviendrait dans l'état d'une ou de plusieurs parties de l'enceinte ne peut troubler l'égale distribution de la chaleur rayonnante, et que la loi de rayonnement est toujours la même que si les surfaces étaient entièrement privées de réflexibilité.

Au reste, nous remarquerons que, dans la démonstration dont il s'agit, nous ne disons point, comme on nous l'attribue {Annales de Chimie et de Physique, janvier 182"), p. 42), que la surface de A est seule changée, que l'état des autres éléments demeurant le même, l'égalité des températures subsiste, et qu'ensuite on change un second élément, puis un troisième, etc. Nous avons supposé, au contraire, qu'une ou plusieurs parties de ces surfaces subissent un changement quelconque au commencement d'un même instant A (Annales de Chimie et de Physique, novembre 182/4). On ne peut pas exprimer d'une manière plus formelle que des changements sont simultanés et non successifs, qu'en disant qu'ils surviennent au commencement d'un même instant déterminé A. Le nouveau changement qui succéderait au premier, et dont nous avons parlé, est celui qui pourrait affecter comme le premier tous les éléments de la surface. .Mais nous n'insistons point ici pour conserver cette forme de notre démonstration, parce qu'elle doit s'appliquer également au cas où chacun des éléments serait successivement changé. Nous remarquons seulement qu'il ne nous était point nécessaire de faire celte dernière supposition, et que nous ne l'avons jtas faite.

Dans le cours de cette discussion, l'auteur ajoute : il en résulte que, II. )5

si l'égalité de température est conservée, ce ne pourra être qu'en avant égard à la série infinie de réflexions qui auront lieu sur les deux hases. Si ces expressions signifient que l'équilibre est maintenu par les réflexions multiples opérées sur l'une et l'autre surface, la proposition est évidente, et il est facile de déterminer par le calcul l'effet de ces réflexions; on sait d'avance quel doit être le résultat. Mais il est important de remarquer que, sans recourir aux détails de ce calcul, on est assuré qu'un changement quelconque de l'état des superficies ne peut troubler l'équilibre de la chaleur rayonnante : or nous avons établi cette proposition de manière à exclure tous les doutes, en montrant qu'il est rigoureusement impossible de produire, ou successivement ou à la fois, aucun changement dans l'état des superficies qui trouble l'égalité des températures. La même démonstration fait connaître que cette impossibilité provient de ce que la même cause qui diminuerait la chaleur d'émission sous une direction donnée, et la réduirait de i à la fraction m, réduirait nécessairement, dans le même rapport, le pouvoir d'absorber la chaleur qui arrive selon la direction contraire.

Pour déduire du calcul les mêmes conséquences, il suffit de déterminer la quantité totale de chaleur qu'un élément de l'enceinte envoie dans une direction donnée, et l'on peut chercher séparément la valeur du produit de l'émission directe, et celle du produit d'une, de deux ou d'un nombre quelconque de réflexions. Ce calcul se réduit à l'application des principes que nous avons établis dans notre Mémoire de 1811, et dans divers articles de ce Recueil. Les remarques suivantes ont pour objet de rappeler quelques-uns de ces principes, et d'en montrer l'usage.

Les questions de l'équilibre ou du mouvement de la chaleur rayonnante, considérées sous le point de vue le plus étendu, se réduisent à tonner l'expression analytique de la quantité de chaleur qu'une surface infiniment petite envoie à une autre, soit directement, soit par une ou plusieurs réflexions : or celte expression générale est très simple.

Supposons [fig- 5 ('), jointe au Mémoire inséré clans les Annales de Chimieet de Physique, novembre 1824, p. 236-281] qu'un rayon de chaleur r envoyé par un point 0 tombe dans la direction O/ra, sur une surface infiniment petite co,, en faisant avec cette surface un angle o,, et désignons par a, le pouvoir d'émission ou d'absorption de co, sous l'angle o,; la partie du rayon envoyé qui pénètre co, est a,;-, l'autre partie (1 — a,)/* est réfléchie par co, et tombe sur co., sous l'angle <p2 : une partie de la chaleur ainsi réfléchie pénètre co.,; elle est exprimée par (1 — cct)ci2r, c/..2 désignant le pouvoir d'émission ou d'absorption de tO;, sous l'angle o2. La partie restante qui est réfléchie par co., a pour expression (1 — a,)(i — a2)r. Elle tombe sur un troisième élément o>3, en faisant avec cet élément l'angle <p3; elle s'y divise aussi en deux parties, dont l'une (1 — a,) (1 — a2)a3r pénètre co3, et l'autre (i —a,) (1 — a2) (1 — a3)r est réfléchie. Ces réflexions se multiplient indéfiniment selon la qualité des surfaces, et l'on en considère l'effet jusqu'à ce que le rayon envoyé r ne contienne plus qu'une quantité de chaleur entièrement insensible.

Réciproquement, en désignant par /-la quantité de chaleur que l'élément co, enverrait au point O, si le pouvoir émissif de co, était complet, et a, étant la mesure du pouvoir émissif actuel de co, sous l'angle o,, a2r exprime la quantité de chaleur qui sort de oj, et arrive au point O; a2(i — a,)/- est la quantité de chaleur qui, étant sortie déco,, tombe sur co, et est réfléchie par cet élément, sous de telles directions qu'elle parvient au point O.

Dans tous les cas, pour former l'expression de la quantité de chaleur qui sort d'un élément coy sous de telles directions quelle peut arriver au point O après avoir été divisée et réfléchie successivement par son incidence sur un nombre quelconque d'éléments intermédiaires co., , co,, co,, co,, il faut multiplier la râleur r du rayon total par <x.j, mesure du pouvoirémissif de coy sous l'angle ®j, cl par tous les coefficients 1 — a,, 1 — a2, 1 — a.,, 1 — a., qui mesurent, sous les incidences respectives®^ ®2, o.,, o.,, le pouvoir réflecteur des éléments intermédiaires.

(%r Voir la page 4«9 tic ce Volume. (i. I).

Le rayon total r représente la quantité de chaleur que le premier clément co, enverrait au point 0 si cet élément avait un pouvoir émissif complet.

Le lemme que l'on vient de rapporter est une conséquence évidente de l'égalité qui subsiste entre le pouvoir d'émettre la chaleur et celui de l'absorber sous une même direction. Si l'on joint à cette proposition celle qui exprime l'action directe d'une surface infiniment petite sur une autre, on réduira facilement toutes les recherches relatives à la chaleur rayonnante à de pures questions de calcul, ce qui est proprement l'objet de la théorie. Nous avons donné, dans nos premiers Ouvrages, cette expression de la quantité de chaleur R envoyée par une surface infiniment petite co, à une autre co. La chaleur R, qui sort

de co, et tombe sur co, est proportionnelle a H J—~ — (Mémoire

de 1 8 1 1 , t. V, p. 2tS, Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut).

La distance y des deux particules est supposée infiniment grande par rapport aux dimensions de ces particules, et cette droite r, qui joint un point quelconque de co et un point quelconque de co,, fait avec la première surface co l'angle <p, et avec la seconde co, l'angle 9,. Le coefficient H dépend du pouvoir rayonnant de co, sous l'angle ©, et de la température (3 de co,. Les observations peuvent seules faire connaître les lois des variations de ce coefficient pour des incidences très obliques, ou des températures très élevées.

Nous avons aussi proposé la construction suivante, qui sert à transformer l'expression de R. D'un point m de co et d'un rayon 1, on décrit une surface sphérique, et l'on forme le cône qui, ayant son sommet en///, embrasse l'élément opposé co,. Désignant par s la partie de la

surface sphérique que le cône intercepte, on a évidemment s = ' ' \2 ' ' ,

et l'on peut mettre dans la formule précédente, au lieu de la quantité

M ' ,2 > sa valeur s. Cette ouverture ou capacité s du cône qui cir-

conscrit l'élément co, est la grandeur de cet élément vu d'un point de co. Nous avons surtout fait usage de cette construction pour représenter les effets de la réflexion apparente du froid {Annales de Chimie et de Physique, i 8 1 7 , p . 269-270).

On conclut du lemme précédent que, pour former l'expression de la quantité de chaleur qu'un élément infiniment petit co reçoit d'un autre coy- par un nombre quelconque de réflexions, il faut, comme on en voit des exemples dans le Mémoire cité {Annales de Chimie et de Physique, 1817, p. 270), transporter à l'élément co,, qui est le réflecteur le plus prochain, la température (3 de l'élément co, dont on veut déterminer l'action, et chercher quelle serait dans cette hypothèse l'action de co(, ou la quantité de chaleur que co, enverrait à co si cette surface co, avait un pouvoir émissif total. Il ne reste plus qu'à multiplier cette valeur de R par les fractions 1 — a,,i — a2, 1 — a.,, 1 — a.,,ay, qui répondent aux réflexions intermédiaires et au pouvoir émissif de co7. Ainsi l'effet des réflexions, quel qu'en soit le nombre, est de transporter à l'élément le plus prochain la température fi de toy, et de diminuer le pouvoir émissif a7 de coy, dans la raison de 1 au produit

des fractions 1 — a,, 1 — a,, Cette règle suffit pour établir, dans

les cas les plus composés, le calcul des effets de la chaleur rayonnante directe ou réfléchie.

Il est nécessaire de ne point supposer que les fractions a,, a,, a:1, . . . sont indépendantes des angles o,, <p2, <p3, Des observations précises et variées pourront un jour faire connaître si le pouvoir d'émission change avec l'incidence et suivant quelle loi. Ce qui est très remarquable, c'est que la théorie mathématique de l'équilibre de la chaleur est entièrement indépendante de ces recherches expérimentales.

Lorsque l'équilibre subsiste, c'est-à-dire lorsqu'un corps M placé dans l'espace circonscrit a la même température fi que tous les points de l'enceinte, chaque élément co de la surface de M envoie dans les dif-

férentes directions des quantités de chaleur proportionnelles aux sinus des angles formés par ces directions avec la surface w. Ce rayonnement se compose, comme nous l'avons dit, de la chaleur sortie de M à travers to et de la chaleur réfléchie par w. La loi serait encore la même si toute la chaleur envoyée sortait du corps M.

Si le corps apporté dans l'espace n'a point la température (3 de l'enceinte, la distribution delà chaleur rayonnante, ou émise ou réfléchie à la surface de M, peut suivre une loi très différente. Ni les observations ni la théorie n'autorisent à supposer que, dans ce cas, la loi d'émission à la superficie de M est la même que si la réflexibilité de cette surface était nulle. Mais on peut affirmer que, lorsque le corps M aura acquis la température commune, quel que soit d'ailleurs l'état de sa surface, la loi du rayonnement total sera celle qui aurait lieu si la réflexibilité de cette surface était nulle. Pour déterminer par le calcul les quantités de chaleur qui sortent de M à travers w pendant que le corps M se refroidit ou s'échauffe, on ne peut point supposer que la fraction qui mesure le pouvoir d'émission est la même pour tous les angles. Ainsi l'expression différentielle mpal c.osu, rapportée clans le premier Mémoire de M. Poisson (Annales de Chimie et de Physique, juillet 1824, p. 236), ne doit pas être intégrée comme si la valeur de m était constante. Les conséquences que l'on déduit de cette intégration, page 237, ne sont certaines que si l'on suppose la réflexibilité nulle, ou toutes les températures égales. Les remarques que nous avons faites dans l'article XIII du Résumé théorique ont eu pour objet d'insister sur cette distinction entre la loi du rayonnement pendant la durée de l'état variable du corps M et celle qui s'établit lorsqu'il a reçu la température finale. C'est pour cela que, dans tous les écrits que nous avons publiés depuis 1808 concernant la chaleur rayonnante, nous n'avons jamais omis de rapporter la loi dont il s'agit au cas de l'équilibre, et non à l'état variable qui le précède. Nous pensons que ce point est pleinement éclairci aujourd'hui, et que notre opinion est maintenant admise par l'auteur du Mémoire cité.

Les remarques précédentes, appliquées au cas de l'équilibre, montrent distinctement pour quelle raison l'égalité des températures ne peut être troublée par le changement de l'état des surfaces. En effet, lorsque la réflexibilité de la surface de l'enceinte était nulle et que les points avaient une même température, chaque élément co de cette surface recevait d'un autre élément quelconque co, une quantité de chaleur R précisément égale à celle qu'il lui envoyait, en sorte que l'équilibre subsistait d'élément à élément. Si maintenant les surfaces co,, CO;,, co.,, . . . acquièrent à un certain degré la faculté de réfléchir les l'ayons incidents, la quantité de chaleur R sortie de co sera divisée par son incidence sur co,. Une portion deR sera absorbée parco,, et l'autre portion, étant réfléchie, tombera sur co2. Elle s'y divisera de nouveau en deux parties, dont une seulement pénètre co.,, et l'autre se dirige vers co3 : ainsi la chaleur R sortie de co comprend des portions différentes dont la première est absorbée par co,, la seconde par co.,, la troisième par co;i, ainsi de suite. Or la chaleur sortie d'un élément quelconque co7, et qui par voie de réflexions parvient à co où elle est absorbée, est exactement la môme que celle qui, sortie de co et arrivant après plusieurs réflexions à la surface de coy-, est absorbée par ce dernier élément. Donc l'équilibre de la chaleur subsiste encore d'élément à élément. Chaque particule co de la surface de l'enceinte donne à une autre co7 soit immédiatement, soit par un nombre quelconque de réflexions, une quantité de sa chaleur propre exactement égale à celle que co7 lui communique suivant les directions contraires. C'est la condition universelle de l'équilibre de la chaleur rayonnante; elle ne dépend point de l'état de la superficie.

J'ai indiqué, article XVI du Résumé théorique, un point de vue très simple qui fait connaître immédiatement et sans calcul les effets par-

fiels des réflexions successives. Voici la démonstration que cette remarque fournit : on se servira de la même construction (Jig. 5, p. 409) en désignant par mt, m2, /n3, m.t des surfaces infiniment petites.

Si la réflexibilité de toutes les parties de l'enceinte est supposée nulle, et que toutes les températures soient les mêmes, le point 0 {fig- 5) reçoit de l'élément m,, dans les directions telles que m,0, une quantité de chaleur p exactement égale à celle que ce point envoie dans les directions contraires telles que Om,. Chaque ligne telle que mtm2 faisant avec la surface w, le même angle o, que la ligne correspondante mtO, l'élément m{ envoie, dans les directions alternes telles que w,7/?2, une quantité de chaleur égale à p, et reçoit la même quantité p dans les directions m2mt : m., envoie aussi, dans les directions contraires alternes m2m3, une quantité de chaleur équivalente à p, et reçoit de m3 la même quantité p dans les directions contraires. Il en est de même de tous les autres éléments.

Si l'on change maintenant l'état de la seule surface co,, en sorte que la quantité p envoyée par mt au point O soit réduite à a, p, la chaleur p envoyée par m2 à mK sera divisée à son incidence sur m,, et en partie réfléchie vers le point O. La quantité réfléchie dans cette direction m,o sera (1 — a,) p. Elle s'ajoutera à la chaleur émise a(p, en sorte que le point O recevra de m,, comme auparavant, une quantité totale de chaleur égale à p.

Si, de plus, l'état de la surface m., vient à être changé, on voit, par ce qui précède, que la quantité totale de chaleur envoyée par m2 à m, sera la même qu'auparavant, c'est-à-dire égale à p, parce que la chaleur envoyée par />?3, et dont une partie est réfléchie par m.,, compense celle que m2 cesse d'envoyer directement à mK : donc, l'effet produit par m., étant le même que si la surface w2 n'avait pas été changée, l'effet de ///, sur le point O sera encore, d'après ce qui précède, équivalenl ;i p. En général, si un dernier élément mj conserve son pouvoir émissif total, et si les éléments qui le précèdent mA, m3, m.,, mK sont changés d'une manière quelconque, l'action de ///j sur l'élément précédent mh complétera toujours la chaleur que mt envoie à l'élément m3

DE LA CHALEUR RAYONNANTE. Ml

qui le précède, et il en sera de même de tous les éléments antérieurs jusqu'à mif en sorte que m, enverra en 0 une quantité totale de chaleur égale à p, comme elle l'était lorsque les surfaces avaient un pouvoir émissif complet.

Dans cet état des surfaces intermédiaires, chacun des éléments m{, m2, 7?i3, mA concourt à former une somme de rayons de chaleur qui, étant sortie de ces éléments, arrive en 0, et qui est un peu moindre que p, puisque c'est l'effet de nij qui, ajouté à cette somme, la complète et donne la valeur totale p. Il est très facile maintenant de se former une juste idée de la somme de ces rayons sortis des éléments intermédiaires //?,,, m3, m2, m, sous de telles directions qu'ils arrivent au point 0. Cette somme diffère de p d'une quantité précisément égale it la chaleur que l'élément mj, jouissant d'un pouvoir émissif total, peut envoyer par des réflexions successives au point 0. Plus le rang de ce dernier élément nij est éloigné, moins la chaleur sortie de cet élément et soumise à toutes les réflexions intermédiaires conserve d'intensité en arrivant au point 0. Il suit de là que, si l'on considère un nomhre immense de réflexions, la somme de toutes les quantités de chaleur envoyées par les éléments intermédiaires mit m3, m.,, mt ne diffère de p que d'une quantité insensible. Pour que cette différence fût appréciable, il faudrait supposer qu'un rayon, après avoir subi un nombre immense de réflexions, conserve une valeur sensihle, ce qui paraît entièrement contraire à la nature des corps. On peut même en conclure qu'il suffit d'un nombre assez borné de ces réflexions pour que la somme des rayons envoyés par les éléments intermédiaires diffère peu de la valeur complète.

Toutefois, si l'on voulait considérer le cas purement mathématique où le pouvoir d'absorption serait nul, il est certain que la somme des produits des réflexions successives n'équivaudrait pas au rayon total p. Mais on a vu que, même dans celte hypothèse, le théorème général que nous avons énoncé (1 )ne souffre aucune exception. (Art. XVII du Résumé théorique, p. 4'7-)