II

Si, dans un espace que termine une enceinte entretenue dans tous ses points à une température constante 6, on apporte un corps M dont la température est aussi égale à 6\ chaque élément w de la superficie de ce corps reçoit de l'enceinte, dans une direction qui fait avec w un angle quelconque <p, une quantité de chaleur entièrement indépendante du lieu où le corps est placé. Cette quantité ne dépend que de l'angle <p; elle est toujours proportionnelle à co sino, et elle est la même que si le pouvoir émissif de la surface de l'enceinte était nul. Aucun changement île l'état superficiel de l'enceinte ou du corps 31 ne trouble cette disposition, pourvu que les températures soient conservées. Mais il ne s'ensuit pas que la disposition dont il s'agit subsiste, si le corps apporté dans l'espace circonscrit a une température moindre ou plus grande que £. En faisant usage des principes que l'on vient de rappeler, il est très facile de distinguer les cas où la situation du corps 31 peut ou non influer sur la quantité de chaleur qu'il reçoit.

i° Si l'on place un corps 31, d'une figure quelconque, et dont la température est zéro, dans l'espace que termine une surface concave en toutes ses parties, dont la réflexibilité est nulle, et dont tous les points ont la même température S, l'action de cette enceinte sur le corps 31, quels que puissent être la figure de ce corps et l'état de ses surfaces, sera indépendante du lieu où on le place et de la forme de l'enceinte. Il s'échauffera toujours ou se refroidira de la même manière.

2° Cela aura lieu encore si la surface du corps est convexe dans toutes ses parties, quelle que puisse être la figure de l'enceinte.

Il n'en sera pas de même si l'on ne satisfait pas à l'une des deux conditions relatives à la forme convexe du corps, ou à la forme concave de l'enceinte. Dans ce cas, l'effet produit peut dépendre beaucoup de la situation du corps, quoique le pouvoir rayonnant de l'enceinte soit supposé total en chaque point.

3° Si la réflexibilité des surfaces de l'enceinte n'est pas nulle, et, à

plus forte raison, si elle n'est pas la même dans tous les points, la position de M peut influer beaucoup sur le progrès et le mode de réchauffement ou du refroidissement. Cela provient de ce que le corps M, dont la température n'est pas la même que celle de l'enceinte, intercepte une partie des rayons réfléchis. Cette relation entre le lieu du corps froid interposé etl'effet d'une enceinte qui réfléchit la chaleur n'a rien de paradoxal; elle est une conséquence assez évidente de la théorie : c'est la proposition contraire qui serait un paradoxe.

Si l'on réunit aux propositions rapportées dans les articles III, IV et VII du présent Mémoire la remarque qui est l'objet de l'article XVII du Résumé théorique, on connaîtra clairement en quoi consiste l'effet des réflexions multiples. Nous ne rappellerons point ici les conséquences que nous avons démontrées; nous ajouterons seulement, au sujet de la dernière remarque, que la démonstration rapportée dans l'article XVI du Résumé est nécessaire pour expliquer la conservation de l'équilibre lorsqu'il survient un changement clans l'état des surfaces. Il ne suffirait pas de prouver que la somme des quantités de chaleur qui sortent des éléments co,, co2, o>8, ... à l'infini, et qui parviennent après diverses réflexions au point 0, équivaut au rayon total /•. En effet, les distances des éléments co,, co2, co;i, ... qui s'envoient la chaleur pouvant être extrêmement grandes, on trouverait qu'en supposant l'équilibre déjà formé dans une enceinte entretenue à une température uniforme, et dont la réflexibilité est nulle, cette égalité des températures serait d'abord interrompue si l'état superficiel de l'enceinte était subitement changé, et si l'on n'avait égard qu'à la chaleur propre qui continue d'être émise. Il s'écoulerait un temps considérable avant que l'équilibre put être rétabli sensiblement par les seuls rayons qui continuent de sortir des éléments co,, co2, co.t, ... à l'infini.

La distribution de la chaleur serait d'abord troublée. Or, il est certain qu'aucun changement de l'état des surfaces ne peut produire un

m REMARQUES SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

tel effet. Quel que soit le nouvel état de l'enceinte, l'équilibre ne subit aucune altération, même momentanée, comme le prouve notre première démonstration. Donc, pour expliquer entièrement la conservation de l'égalité des températures après un changement quelconque de l'état des surfaces, il ne suffirait pas de faire entrer dans le calcul les quantités de chaleur qui sortent des éléments après leur changement d'état : il est indispensable de tenir compte de la chaleur déjà émise, sortie des éléments avant que leur état fût changé. Notre démonstration comprend implicitement l'un et l'autre effet; elle a toute l'étendue de la question à laquelle nous l'avons appliquée.

Lorsqu'on examine très attentivement cette question, on voit que la proposition principale est celle qui exprime qu'un changement quelconque de la superficie de l'enceinte ne cause aucune interruption, même momentanée, dans l'égalité des températures; car il est très facile d'en conclure que le produit des réflexions multipliées à l'infini équivaut au rayon total : il suffit de considérer que, d'après la nature connue des corps, la chaleur émise répandue dans l'espace disparait graduellement par l'effet des réflexions successives. Mais de cela seul que la somme des produits des réflexions en nombre infini équivaut au rayon total, on ne pourrait point conclure que l'égalité des températures n'est pas interrompue par le changement d'état de la surface.

J'ai remarqué, dans un Mémoire précédent, qu'on ne peut admettre la construction dont M. Poisson s'est servi en calculant l'effet des reflexions multiples. Les éléments d'une surface courbe peuvent sans doute être regardés comme des surfaces planes infiniment petites, et j'ai souvent fait usage de cette considération dans l'examen des effets de la chaleur directe ou réfléchie; mais il est nécessaire d'avoir égard à l'inclinaison mutuelle des plans. La construction dont il s'agit ne représente donc point, dans les surfaces courbes, le mouvement de la chaleur réfléchie. Je ne puis m'empècher de regarder celte conclusion

DE LA CHALEUR RAYONNANTE. U.i

comme évidente, et les explications données par l'auteur ne résolvent point la difficulté. Il suffira de citer l'exemple suivant : supposons que le point 0 soit placé au centre d'un cercle (fig. i) dont la circonférence est entretenue dans tous ses points à la même température, et que l'on veuille connaître la quantité de chaleur que ce point 0 reçoit d'un élément aa, soit directement, soit par une suite indéfinie de réflexions; il est manifeste que toute la chaleur ainsi envoyée au point 0 provient de l'élément aa et de l'élément a' a' diamétralement opposé. Or, suivant la construction qui a été l'objet de notre remarque, il faudrait désigner à l'extérieur de l'enceinte un point 0' aussi éloigné de la

Fis.

ligne aa que l'est le point 0, et mener par 0' deux droites O'a, C'a jusqu'à la rencontre de la circonférence aux points (3, (3. On marquerait ensuite un second point extérieur 0" aussi distant de la ligne [3(3 qui1 le point 0', puis on mènerait, par le point 0" et par les points [3, (3, deux droites jusqu'à la rencontre delà circonférence aux pointsy, y, ainsi de suite à l'infini. On conclurait donc que la chaleur envoyée par des réflexions successives, et qui passe de l'arc aa au point 0, provient des parties de l'enceinte [3(3, yy, oo, .... Or il est manifeste que les arcs a' a', aa sont les seules parties de l'enceinte qui communiquent cette chaleur réfléchie par aa, ou, ce qui est la même chose, qui la recevraient si elle partait du point 0. Donc la construction comprend «le-

arcs de plus en plus grands (3(3, yy, 00 dont la plus grande partie

n'appartient point à la question. On ne résout point cette difficulté en disant que la température du point 0 est suffisamment déterminée par

kkG REMARQUES SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

les rayons qui passent à une distance infiniment petite de ce point, et qu'il n'est pas nécessaire que ces rayons réfléchis passent mathématiquement par le point 0. Sans nous arrêter aux autres conséquences de cette explication, nous dirons que les rayons envoyés par les arcs (3fi, vy, oo, ..., selon les directions que la construction détermine, s'écartent de plus en plus du point 0, et ne restent point, comme on le suppose, à des distances infiniment petites. Les arcs aa, (3(3,77' ••• croissent comme les nombres 1, 3, 5, . . . , et le pouvoir d'émission pouvant être fort différent pour les différentes parties de l'enceinte, on voit que l'effet général exprimé par cette construction diffère extrêmement de celui que l'on trouverait en suivant un procédé exact. Il est manifeste que la réflexibilité plus ou moins parfaite des parties de l'enceinte différentes de aa, a' a' n'influe aucunement sur la quantité de chaleur qui est réfléchie par aa au point 0.

Dans le dernier Mémoire publié par le même auteur (Annales de Chimie et de Physique, janvier 1.82.5), on emploie (p. 48) une construction différente de celle qui est le sujet de cet Article. On attribue la forme cylindrique au rayon qui, tombant sur ?nt, est successivement réfléchi par mitm2, m,, ... à l'infini [fig. 5 (•)]. Désignant par a, [1, 7, 0, ... les éléments de la partie de l'enceinte que ce filet intercepte, et par i, i', i", ... les angles que les normales m,n,, m2n,, m3n3, . . . font avec les droites miO,m2mi, msm2, ..., fauteur donne les équations acos? = [i cosi' = y cosi", ... pour déterminer les rapports des éléments [ù, 7, . . . avec le premier a. Nous dirons, à ce sujet, que ces équations n'existent pas, et que les rapports L, l, ..., c'est-à-dire les dernières raisons des éléments de l'enceinte interceptés par les rayons réfléchis, ne sont point en général les rapports inverses des cosinus.

Quoique les parties infiniment petites des surfaces courbes puissent être regardées comme planes, il ne s'ensuit nullement que les mouvements de la chaleur ou de la lumière réfléchie puissent être ainsi représentés. Le rayon réfléchi ne conserve la forme cylindrique que

( ' ) Voir page 4<>9 'Ie cc Volume.

dans un cas très particulier. Les rapports des éléments de l'enceinte où ces réflexions s'opèrent, et que le filet circonscrit, dépendent de la nature des surfaces; c'est une conséquence nécessaire des principes de l'Analyse différentielle.

On voit, par tous les résultats de la discussion précédente, qu'elle ne porte point sur la vérité des principes et des propositions qui forment notre théorie de la chaleur rayonnante. Aucun géomètre n'a contesté la vérité de ces propositions. Seulement le célèbre auteur des Mémoires auxquels nous avons répondu regarde comme non applicable à tous les cas la démonstration que nous avons donnée d'un de ces théorèmes : savoir que, le pouvoir d'émettre la chaleur sous une direction déterminée étant égal au pouvoir de l'absorber sous la même direction, il s'ensuit que la distribution de la chaleur rayonnante dans une enceinte fermée qui conserve une température uniforme ne pourrait être troublée par des changements quelconques de l'état des surfaces de l'enceinte. L'auteur (Annales de Chimie et de Physique, juillet 1824, p. 22S et suiv.) reconnaît que l'équilibre des températures a lieu, en effet, quelle que soit la nature des surfaces. 11 juge cette proposition vraie et importante (p. 234); mais il en présente une autre démonstration fondée sur le calcul de l'effet total des réflexions multipliées à l'infini. Après avoir remarqué que j'ai prouvé la distribution homogène de la chaleur pour le cas où la faculté rayonnante est la même dans toute l'étendue de l'enceinte, il ajoute seulement : Mais je n'ai pas connaissance que l'on ail jusqu'ici démontré la même proposition, en ayant égard à la fois à la chaleur émise et à la chaleur réfléchie. Le sens de ces expressions est que l'auteur connaissait depuis très longtemps la proposition générale dont il s'agit, et la démonstration que j'en avais donnée; qu'il avait admis celte démonstration, mais qu'aujourd'hui il ne la croit plus suffisante (Annales de Chimie et de Physique, janvier 182"), p. \ i). Je ne pouvais donc me dispenser de rappeler, dans ma réponse au Mémoire cité, que j'avais le

premier énoncé e( prouvé ce théorème dans plusieurs Ouvrages rendus publics depuis 1811. Après les éclaircissements que renferme le présent écrit, je ne doute point que l'auteur du Mémoire ne reconnaisse l'exactitude rigoureuse de la première démonstration. On ne peut point soutenir une objection qui consiste à supposer que le changement survenu dans l'état d'une surface diminue la chaleur qu'elle avait envoyée avant d'être changée.

La discussion qui s'est établie dans ce Recueil au sujet de la chaleur rayonnante aura été utile à cetle nouvelle théorie, en donnant lieu d'exposer avec plus de détail qu'on ne l'avait fait jusqu'ici les principes et leurs conséquences importantes. Cette théorie est en ellemême beaucoup plus simple que celle du mouvement de la chaleur dans les solides, et ne suppose que les notions communes du Calcul intégral; mais l'examen des principes demande une extrême attention. En publiant prochainement, sous le titre de Théorie physique de la chaleur, les applications principales de la Théorie analytique, je présenterai de nouveau les propositions relatives à la chaleur rayonnante, en me restreignant toutefois entre de justes bornes; car une explication trop étendue peut devenir plus obscure qu'une démonstration très précise. J'ai compris dans ce second Ouvrage, outre la théorie de la chaleur rayonnante et diverses applications, la question générale des températures terrestres, et la démonstration des équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les liquides.

Pour faciliter la lecture du présent Mémoire, je le termine comme le précédent par une indication sommaire de l'objet de chaque article.