II

Pour compléter cette discussion, il faut déterminer quelle probabilité il y a que la quantité cherchée H est comprise entre des limites proposées A -f- D et A — D. A est le résultat moyen que l'on a trouvé, H est la valeur fixe que donnerait un nombre infini d'observations, el D est une quantité proposée que l'on ajoute à la valeur A ou que l'on en retranche. La Table suivante fait connaître la probabilité P d'une erreur positive ou négative plus grande que D, et cette quantité D est le produit de g par un facteur proposé ? :

2,46i3o T±ni

Chacun des nombres de la colonne P fait connaître quelle probabilité il y a que la valeur exacte H, qui est l'objet de la recherche, est comprise entre les limites A -+- gù et A — gï. A est le résultat moyen d'un grand nombre m de valeurs particulières a, b, c, d, . . . , n\ ï est un facteur donné; g est la racine carrée du quotient que l'on trouve en divisant par m le double de la différence de la valeur moyenne des carrés a2, b2, c2, d2, ..., nr au carré A2 du résultat moyen. On voit par cette Table que la probabilité d'une erreur plus grande que le produit de g par 0,47708, c'est-à-dire plus grande qu'environ la moitié de g, est \\. Il y a 1 contre 1 ou 1 sur 2 à parier que l'erreur commise ne surpassera pas le produit de g par 0,47708, et il y a autant à parier que l'erreur surpassera ce produit.

La probabilité d'une erreur plus grande que le produit de g par i,38j()r est beaucoup plus petite que la précédente; elle n'est que j^. Il y a 19 sur 20 à parier que l'erreur du résultat moyen ne surpassera pas ce second produit.

La probabilité d'une erreur plus grande que la précédente devienl

extrêmement petite, à mesure que le facteur 3 augmente. Elle n'est plus <|ue ,('MI lorsque 3 approche de 2. La probabilité tombe ensuite en dessous de ^-. Enfin, il y a beaucoup plus de vingt mille à parier contre i que l'erreur du résultat moyen sera au-dessous du triple de la valeur trouvée pourg". Ainsi, dans l'exemple cité, article VI, où l'on a 6 pour le résultat moyen, on peut regarder comme certain que cette valeur G n'est pas en défaut d'une quantité triple de la fraction 0,082, que la règle a donnée pour la valeur de g.

La grandeur cherchée H est donc comprise entre 6 — 0,246 el

Pour faciliter l'application de la règle qui sert à calculer la valeur de g, nous remarquerons que l'on peut retrancher de chacune des valeurs particulières observées a, b, c, d , . . . , n une quantité commune u, et opérer comme si les valeurs particulières étaient

On trouvera toujours pour g la même quantité que si l'on n'eût rien

retranché des valeurs a, b,c, d //. Par exemple, si, dans le calcul qui

s'applique aux valeurs suivantes, savoir, 1000 égales à 2, 2000 égales à "> et 1000 égales à 12, on eût retranché de chacune d'elles une quantité commune 2, on aurait eu 1000. o -4- 2000.3 -+- 1000.10 ou 16000 pour la somme des valeurs, et 4 pour la valeur moyenne A, dont le carié est i(>. Les carrés des valeurs particulières sont 1000 fois of 2000 fois (), et 1000 fois 100; la valeur moyenne de ces carrés es! 29 ^. Donc la différence entre la valeur moyenne des carrés el le carré du résultat moyen serait, comme précédemment, i3 ^. Cela aurait lien de la même manière, quelle que fût la quantité retranchée u.

De plus, on pourra considérer comme égales entre elles des valeurs particulières qui différeraient très peu; et en attribuant ainsi une grandeur commune à un certain nombre de ces valeurs, on rendra le calcul beaucoup plus facile.

.i',0 MÉMOIRE SUR LES RÉSULTATS MOYENS

En effet, on a principalement en vue, dans ces recherches sur la valeur des résultats moyens, de reconnaître si ces résultats sont très approchés, et de se former une idée juste du degré d'approximation. Il s'agit moins de calculer la valeur entièrement exacte de la probabilité des erreurs que de prouver que la grandeur cherchée est entre de certaines limites très voisines, et de comparer le degré de probabilité de cette dernière conclusion à la probabilité qui nous détermine dans les actes les plus importants de la vie. Il n'est donc point nécessaire, en appliquant la règle précédente, d'avoir égard à la différence très petite de deux valeurs observées. On peut, sans erreur sensible, les supposer égales; et d'ailleurs, si l'intérêt de la question l'exige, on dirigera le calcul en sorte que les conséquences s'appliquent a fortiori aux valeurs précises qui ont été observées. Les considérations de ce genre méritent toute notre attention, parce qu'elles s'étendent à la plupart des questions de l'Analyse des probabilités, et qu'elles en facilitent beaucoup les applications. Nous en avons déjà fait usage dans la théorie des assurances.

Nous ne pouvons point rapporter ici la démonstration analytique de la règle énoncée dans l'article VI, ce qui exigerait l'emploi des formules mathématiques. On peut regretter qu'une règle usuelle, d'une application aussi générale, n'admette point une démonstration plus simple; mais cela tient à la nature même de la question.

Cette même règle peut être présentée sous une autre forme qu'il esl utile d'indiquer, parce qu'elle montre ses rapports avec les règles connues. Pour déterminer la quantité désignée par g-, on peut prendre la différence entre chaque valeur particulière et le résultat moyen A, élever au carré cette différence, puis ajouter ensemhle tous les carrés; on extrait la racine carrée du double de la somme que l'on vient de former, et l'on divise cette racine par le nombre des valeurs : le quotient est la quantité g.

a, b, c, d, . . ., h désignant les valeurs particulières, dont le nombre

DEDUITS D'UN GRAND NOMBRE D'OBSERVATIONS. .ÏVI

est m, et A la valeur moyenne —(a-\-b + c-hd-+-...-h n), les diffé-

J ni v

renées entre les valeurs a, b, c,d,. .., n et leur moyenne A sont a — A, b — A, c — A, d— Â, . . . , « — A. On a donc cette expression

Par exemple, si les valeurs observées étaient au nombre de 7000,

savoir :

1000 égales à i3,

3ooo » 1 5 ,

on trouverait i5 f pour résultat moyen. Les différences entre ce résultat et chaque valeur particulière sont :

1000 fois — ^

3ooo — :

1 OOO -+- ip

On a <8*°00 pour la somme des carrés de ces dilFérences. La racine carrée du double de cette somme, étant divisée par 7000, donne, pour la valeur de g, 0,019617; on trouverait cette même valeur de g par la règle de l'article VI.

Dans l'exemple cité précédemment, article VI, on a trouvé 0,08216 pour la valeur de g, et dans celui-ci nous avons trouvé g' = 0,01962; ainsi le second résultat est beaucoup plus approché que le premier.

En appliquant à ce second exemple la table rapportée article XI, on connaîtrait quelle probabilité il y a que l'erreur positive ou négative du résultat moyen n'excède pus de certaines limites qui sont les produits de g par les facteurs o, '17708, i,'>8u)i,

Il s'ensuit qu'il est aussi probable que l'erreur du résultat moyen 6, dans le premier exemple, n'excède pas le produit de g par <>, £7708

qu'il est probable que l'erreur du résultat moyen i3 ~, dans le second exemple, n'excède pas le produit de g par le même facteur 0/47708. L'une et l'autre probabilité est {. La probabilité d'une erreur plus grande que le produit de g- par i,38jo,i dans le premier cas, et celle d'une erreur plus grande que le produit de g" par i,38jo,i dans le second, sont aussi égales entre elles; leur valeur commune est —•

En général, la probabilité d'une erreur plus grande qu'une limite quelconque A dans le premier cas, et celle d'une erreur plus grande qu'une autre limite A' dans le second cas, sont égales entre elles si le rapport de A à A' est celui de g à g'.

Ainsi, lorsqu'on veut comparer la précision d'un résultat moyen, qu'une certaine reclierclie a formé, à celle du résultat moyen donné par une autre reclierclie, il suffit de calculer les nombres g et g', et de les comparer. Si l'un est double de l'autre par exemple, le second résultat est deux fois plus précis que le premier. En effet, une limite quelconque A étant proposée, il est aussi probable que l'erreur du premier résultat surpassera A qu'il est probable que l'erreur du second surpassera - A. Les erreurs également possibles sont dans le rapport constant de 2 à 1 .

Dans les deux exemples que nous avons cités, le rapport de g à g' étant celui de 0,08216 à 0,01961, les précisions respectives sont dans le rapport inverse, de 1961 à 8216. Le second résultat est plus de quatre fois plus précis que le premier, parce que, à probabilité égale, les erreurs auxquelles on est exposé sont quatre fois plus grandes dans le premier cas que dans le second.

L'énoncé de la règle, tel que nous l'avons donné dans l'article VI, fait connaître immédiatement que la précision du résultat moyen augmente comme la racine carrée du nombre des observations. En effet, si l'on considère un grand nombre d'observations, on peut regarder la valeur du résultat moyen comme invariable et ne dépendant point

du nombre des valeurs, mais seulement de leur grandeur propre. Il en est de même de la moyenne des carrés de ces valeurs : ainsi la différence entre la valeur moyenne des carrés et le carré A2 du résultat moyen est sensiblement indépendante du nombre des observations. Or on divise la racine carrée du double de cette différence par la racine carrée du nombre m, pour trouver la valeur normale g, et le triple de g est la limite des plus grandes erreurs. On voit donc que cette plus grande erreur possible décroît à mesure que le nombre m augmente, et qu'elle décroît en raison inverse de la racine carrée du nombre m.

Quant à l'erreur dont la probabilité est r,, nous savons qu'elle est toujours proportionnelle à la quantité g\ et il en est de même d'une erreur quelconque dont la probabilité est donnée. Donc, pour une même recherche, la précision du résultat moyen change h mesure que le nombre des valeurs observées augmente. Elle devient double si le nombre des valeurs devient quatre t'ois plus grand, triple si ce nombre devient neuf fois plus grand, ainsi de suite. Cette conséquence est simple et remarquable; elle doit être connue de tous ceux qui se livrent à des recherches statistiques; elle montre combien il faut multiplier les observations pour que les résultats acquièrent un degré donné d'exactitude.

Ce Mémoire présente l'application des théories connues à l'une des questions fondamentales de la Statistique. Pour montrer l'ensemble des propositions qu'il contient, nous indiquerons dans l'alinéa suivant le sommaire de chaque article.

Quant à la conclusion générale, on peut l'exprimer ainsi : lorsqu'on a trouvé un résultat moyen A en réunissant un grand nombre m de valeurs particulières et divisant la somme de ces valeurs par leur nombre; m, il reste à évaluer le degré d'approximation. Il faut, pour cela, élever au carré chacune des valeurs particulières, former la valeur moyenne de ces carrés en divisant leur somme par leur nombre,

,'iiV SUR LES RÉSULTATS MOYENS

qui est m; ou retranche de cette valeur moyenne des carrés le carré \du résultat moyen; on divise le double de la différence parle nombre m, et l'on extrait la racine carrée du quotient; on trouve ainsi une quantité g qui sert à mesurer le degré d'approximation : la précision du résultat est en raison inverse de ce nombre g. L'erreur du résultat sera positive ou négative; mais on doit regarder comme certain dans la pratique que la valeur absolue de cette erreur est moindre que le triple de g. On trouverait aussi cette même quantité g en divisant par m la racine carrée du double de la somme des carrés des différences entre le résultat moyen et chacune des valeurs particulières.

Sommaires des Articles.

I. L'objet du Mémoire est de donner une règle usuelle et générale pour estimer la précision des résultats moyens.

II. Le degré d'approximation pourrait être indiqué par la comparaison des deux valeurs moyennes que fournissent deux séries d'observations.

III. L'expérience fondée sur des observations nombreuses et très variées peut faire connaître exactement les lois des phénomènes dont la cause est ignorée.

IV. Remarque sur le calcul de la durée des générations humaines.

V. Conditions nécessaires à l'exactitude des recherches de ce genre.

VI. Enoncé de la règle qui donne la mesure du degré d'approximation.