SUR

Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine; 1829.

Exposé de la question. Elle a pour objet de découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultat dépend des erreurs partielles des mesures.

On a publié, dans le IIIe Tome de cette collection, une règle qui sert à estimer la précision des résultats moyens déduits d'un grand nombre d'observations; on se propose de compléter ici l'usage de cette règle, en y ajoutant un procédé du même genre pour les résultats du calcul qui se forment de quantités de différente nature en nombre quelconque.

Dans les applications des Sciences mathématiques, les quantités inconnues qu'il s'agit de déterminer ne sont pas des nombres dont la valeur est entièrement fixe; ces valeurs sont seulement très approchées. Les erreurs qu'il est impossible d'éviter sont comprises entre certaines limites : la connaissance de ces limites est très importante; et l'on peut dire que toute application du calcul est vague et incertaine si l'on ne parvient pas à estimer l'étendue de l'erreur dont le résultat peut être affecté.

On a vu, dans le Mémoire cité M, Tome III de cette collection, année 1826 (page ix), qu'il est facile d'estimer la précision des résultats moyens : nous donnons maintenant une seconde règle dont l'application n'est pas moins simple et qui convient à des recherches beaucoup plus étendues.

Nous supposerons donc que plusieurs quantités a, b, c, ... sont données, et que l'on détermine par le calcul une grandeur inconnue x qui dépend des valeurs données a, b,c, ... ; le nombre de ces données varie selon l'espèce de la question.

On peut considérer seulement deux grandeurs connues a, b. La quantité cherchée x se trouverait en effectuant sur ces deux grandeurs a et h une certaine opération. Cela aurait lieu, par exemple, si l'on avait à déterminer une hauteur verticale nm dont l'extrémité

supérieure n est inaccessible. On trace sur le plan horizontal une droite pm qui joint un point/; de ce plan et l'extrémité inférieure m de la hauteur cherchée mn. On mesure : i°la longueur pm de cette base horizontale; 20 l'angle npm compris entre la base pm et la ligne inclinée pn. Si l'on désigne par a l'angle mesuré npm et par b la longueur de la base/w? mesurée sur le plan horizontal, la hauteur verticale mn peut être facilement calculée. Cette hauteur verticale mn est une certaine fonction des deux quantités connues a et b. Ce mot de fonction, dont les géomètres font un fréquent usage, exprime que, les deux quantités a et b étant données, on doit effectuer sur a et b une certaine opération dont le dernier résultat détermine en nombre la hauteur inconnue mn.

Le nombre des quantités données pourrait être plus grand; ainsi l'inconnue pourrait être une certaine fonction de trois données différentes a, b, c. On aurait à effectuer sur ces trois données une certaine opération dont la nature est supposée connue, et qui dépend de l'espèce de la fonction. Le résultat de la dernière opération effectuée sur les trois données a, b, c déterminerait en nombre l'inconnue x.

Par exemple, si l'on a mesuré sur le terrain la longueur a d'une base////?, et si l'on veut connaître la distance mn du point ni de celte

base à un point éloigné n que l'on ne peut pas atteindre, mais que l'on voit de ebacune des deux extrémités //? et p de la base, on sait qu'il suffit de mesurer : i° l'angle pmn compris entre la longueur inconnue //?/? et la base //?//; 2" l'angle npm. En effet, si l'on connaît en nombres la longueur mp de la base et les deux angles mesurés, savoir pmn et mpn, on détermine facilement, par une opération trigonométrique, la distance inconnue//?/?; elle est une certaine fonction des trois quantités mesurées, savoir de la base/;//?, que nous désignons par a, et des deux angles //?/;/? et pmn, que nous désignons respectivement par // et c. Il entre donc trois quantités connues a, A, c dans l'expression de l'inconnue x.

Il peut arriver que la nature de la fonction soit beaucoup plus simple; par exemple, si l'on se proposait de déterminer le volume d'un prisme rectangulaire dont on mesurerait la hauteur a, la longueur // et la largeur c, il suffirait de former le produit t\vs trois dimensions a, b, c, et ce produit exprimerait en nombre le volume du prisme.

Les exemples précédents suffisent pour donner une juste idée des questions qui sont l'objet de notre recherche.

On suppose, en général, que des quantités connues, en nombre quelconque, a, b, c, d, ... ont été mesurées, et qu'il s'agit de déterminer la valeur d'une inconnue ce, qui est une certaine fonction des

données a, b, c, d, La nature de la fonction est supposée connue,

c'est-à-dire que l'on sait comment on doit opérer sur toutes les données a, b, c, d, ... pour que le résultat de la dernière opération effectuée soit la grandeur inconnue x. Cela posé, il s'agit de connaître comment les erreurs, qu'il est impossible d'éviter dans la mesure des données, peuvent influer sur l'erreur qui en doit provenir lorsqu'on détermine par le calcul la valeur de l'inconnue x.

Exemples propres à faire connaître la nature de cette question.

Quelque soin que l'on apporte dans la mesure des quantités données, il est évident que l'on sera toujours exposé à des erreurs de mesures d'autant plus grandes que les instruments seront moins précis. On a vu, dans le Mémoire cité M, que, en multipliant les observations et prenant la valeur moyenne des résultats, on peut diminuer indéfiniment l'erreur de la mesure, et que, si le nombre de ces observations est assez grand, on obtient un résultat moyen qui ne peut être affecté que d'une très petite erreur; et, ce qui est fort important, on connaît, par l'application de la règle générale, l'erreur moyenne à laquelle on est exposé et dont la probabilité est \. Nous avons défini cette erreur moyenne dans l'article XI du Mémoire M; et il est nécessaire, avant de poursuivre la recherche actuelle, de se rappeler très distinctement cette définition et les conséquences exposées dans les articles XI, XIV et XV de ce Mémoire M. Nous supposerons donc que, par l'application de ces principes et de la règle générale qui en dérive, on connaît, pour chacune des quantités données dont la grandeur

inconnue est une certaine fonction, l'erreur moyenne dont la probabilité est |.

On déterminera, par le même calcul, les limites de la plus grande erreur possible. En effet, on a vu, article XI, Mémoire M, que le triple de la valeur désignée par g, article X (M), surpasse la plus grande erreur positive ou négative à laquelle on soit exposé; car, sur plus de vingt mille chances, il n'y en a qu'une qui donne lieu à cette erreur. Or le calcul fait connaître la valeur de g. Ainsi 3g est la limite de la plus grande erreur; et, en multipliant g par le facteur 0,47708, on détermine l'erreur moyenne.

Lorsqu'on cherche une quantité inconnue don! la valeur est une certaine fonction d'une base horizontale et de deux angles, on peut supposer que cbacun de ces deux angles a été mesuré par la répétition d'un assez grand nombre d'observations, et qu'il en est de même de la longueur de la base; en sorte que l'on connaît, pour chacune de ces trois grandeurs données a, b, c, l'erreur moyenne, dont la probabilité est i selon la définition de l'article IX (M). Par exemple, on estimerait à une minute l'erreur moyenne de cbacun des angles a et b, c'est-à-dire qu'il serait aussi probable que l'erreur commise en mesurant cbacun de ces angles surpasserait une minute qu'il serait probable que cette erreur serait au-dessous d'une minute. Quant à la longueur de la base, l'erreur moyenne pourrait être, par exemple, un centimètre; en sorte qu'on n'aurait pas plus de motifs de croire que l'erreur commise dans cette mesure serait plus grande qu'un cenlimètre qu'on n'aurait de motif de croire que cette erreur serait moindre qu'un centimètre. Or, abstraction faite du signe, l'erreur à laquelle on serait exposé en prenant pour la grandeur inconnue x la fonction des trois quantités a, b, c dépend des trois erreurs partielles que l'on aurait pu commettre en mesurant ces trois données. L'erreur commise dans la mesure de cbacun des angles influe d'une certaine manière sur l'erreur du résultat calculé, et l'erreur de la mesure de la base c influe aussi sur- l'erreur du résultat total du calcul. La question que nous avons en vue consiste à examiner quelle peut être l'influence II. 70

respective des trois erreurs partielles, en sorte que, connaissant l'erreur moyenne que l'on peut attribuer à chacune de ces mesures partielles, on en conclue l'erreur moyenne qui peut être attribuée à la valeur inconnue, fonction des trois quantités données a, b, c.

Le nombre des quantités données, dont l'inconnue x est une certaine fonction, pourrait être beaucoup plus grand que trois. Par exemple, si l'on avait à mesurer la différence de niveau de deux points éloignés, on diviserait la distance totale tm un certain nombre de parties, et, en appliquant l'instrument à chaque portion de cet intervalle, on en conclurait la différence de niveau des deux extrémités.

Il en serait de même si, ayant à mesurer la distance de deux points donnés, on appliquait la mesure à différentes portions de cet intervalle; la somme des résultats ferait connaître d'une manière approchée la distance totale.

C'est principalement à des opérations de ce genre que l'on se propose d'appliquer la règle qui est l'objet actuel de notre recherche. En général, on suppose qu'une grandeur x est une certaine fonction ¥(«,/>, c, d, . . .) de plusieurs quantités données a, b, c, d, .... Le caractère de cette fonction est connu. Par exemple, il suffit, pour, trouver x, d'ajouter ensemble toutes les quantités mesurées; généralement, il faut opérer d'une certaine manière sur toutes les quantités données a, b, c, d, e, . . . , et le résultat de la dernière opération est la valeur de x. Or on suppose que, pour chacune des quantités données, on connaisse par expérience l'erreur moyenne qui peut être commise, ou les limites entre lesquelles cette erreur est certainement comprise. On demande quelle est l'erreur moyenne qui correspond au résultat calculé, et quelles sont les limites entre lesquelles est certainement comprise l'erreur de ce résultat.

Expression différentielle de l'erreur du résultat calculé. Cette expression ne suffirait point pour résoudre la question que l'on doit se proposer.

Avant d'énoncer la règle générale qu'il faut suivre pour déterminer cette erreur moyenne du résultat du calcul, il est nécessaire de faire remarquer l'influence que peut avoir chaque erreur partielle sur l'erreur du résultat. L'Analyse mathématique résout facilement cette dernière question par la méthode différentielle; mais, comme l'expression analytique n'est point assez généralement connue, nous y ajouterons plus has une règle pratique d'un usage très facile, et qui, dans tous les cas possibles, conduit au même résultat. Voici, en premier lieu, l'expression analytique.

Nous désignons par da, db, de, . . . l'erreur de chacune des mesures partielles. La fonction Y(a, b,c, . . .) représente cette fonction connue qui exprime la valeur de x. Cette fonction indique une suite d'opérations qu'il faut effectuer sur les quantités données a, h, c, . . . , afin que le résultat de la dernière opération soit x. Cela posé, on diil'érentiera, par rapport à chacune des variables a, b, c, . . . , l'équation

et l'on trouvera

( 2 ) dx = Fj (a, b, c, . . . ) da ■+■ F2 (a, b, c, . . . ) db -+- F3 ( a, b, c, . . . ) de -+- . . . .

Les coefficients F, (a, b, c, . ..), F2(a, b, c, .. .), F3(«, b, c, ...),.. . sont des fonctions de ces mêmes variables a, b, c, . . . , et les valeurs numériques de ces fonctions, que nous désignerons par F,, F2, F3, .... peuvent être calculées, parce qu'on y attribue aux variables </, b, c, ... les valeurs respectives qui proviennent des mesures. Quant aux facteurs da, db, de, ..., placés dans la formule (2) à la suite des

coefficients différentiels F,, F2, F:! ils représentent des quantités

très petites, savoir les erreurs que l'on a commises en mesurant les grandeurs données a, b, c, .... Par exemple, si l'une des grandeurs

mesurées a est une ligne droite prise pour base, l'erreur de la mesure pourrait être d'un centimètre. Si cette grandeur a était un angle, l'er-

reur da de la mesure pourrait être exprimée ainsi da — -= — ^- ou une 1 l . 180.60

minute, - désignant, selon l'usage, la longueur de la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1. L'équation (2) pourrait donc faire connaître l'erreur de l'inconnue x si les erreurs respectives des grandeurs données da, db, de, ... étaient connues. Mais c'est une question très différente que nous avons à résoudre; car les erreurs effectives da, db, de, ... ne sont pas connues. On sait seulement, par l'usage répété de l'instrument qui sert à la mesure, que ces erreurs ne peuvent excéder certaines limites, et l'on regarde comme certain, dans la pratique, que la valeur exacte de la grandeur mesurée est comprise entre les deux valeurs que l'on trouve en ajoutant au résultat mesuré une quantité assez petite, que nous désignons par Da, et eu retranchant Da du résultat mesuré.

Or il faut trouver, pour l'erreur de la grandeur inconnue x, une petite quantité Dx analogue à Da, c'est-à-dire telle qu'on soit précisément aussi assuré que la valeur trouvée pour a; est comprise entre x — Dx et x -+- Dx qu'on est assuré que la valeur de a qui a été mesurée est comprise dans le résultat de la mesure augmentée de Da et ce même résultat diminué de Da.

Énoncé de la règle générale qui résout cette dernière question; calcul de la limite

de l'erreur.

Ayant résolu cette dernière question par une analyse exacte, nous sommes parvenu à une règle générale exprimée par l'équation suivante :

(3) IU- = sf( F, D^y r ( F* Db)*+(F3Dc)'- + ....

Les valeurs numériques de F,, F., F.,, ... sont connues. Celles des petites quantités Da, Db, De, ... sont données aussi, parce que l'ap-

plication répétée de l'instrument a fait connaître que les erreurs des grandeurs mesurées a, b, c, ... sont respectivement comprises entre

a — Da et a -+- Da, b — Db et b + Db, c — De et c -+- De, Ainsi

l'on déterminera, par l'équation (3), la valeur de Doc, et l'on en conclura que la valeur exacte de ce ne diffère de celle que donne l'équation (i), savoir x — ¥(a, b, c, ...), que d'une quantité positive ou négative moindre que Dx.

Nous avons remarqué plus haut que les limites. Da, Db, De, ... des plus grandes erreurs que l'on puisse attribuer aux valeurs mesurées a, b, c, ... sont indiquées par l'application répétée de l'instrument. En effet, si l'on calcule le nombre que nous désignons par g dans les articles IX et suivants du Mémoire M, on sera assuré que le triple de ce nombre g surpasse la plus grande erreur positive ou négative à laquelle on est exposé en prenant pour a le résultat moyen donné par l'instrument. C'est cette valeur 3g- que l'on prendra pour Da; en appliquant un calcul semblable à la valeur mesurée b, on connaîtra Db. 11 en sera de même des limites des erreurs qui conviennent à toutes les quantités a, b, c, On peut donc, en appliquant l'équation (3), calculer ainsi la valeur de Dr.

Application de la môme règle au calcul de l'erreur moyenne.

Considérons maintenant la valeur moyenne telle qu'elle a été définie dans l'article IX du Mémoire M, et désignons par d<v cette erreur moyenne qui se rapporte à la grandeur mesurée <•/. On sait que cette erreur moyenne dépend aussi du nombre g; ainsi, ayant calculé la valeur de g qui provient de la formule rapportée dans l'article X du Mémoire M, on multipliera g par le facteur 0,^7708, et l'on connaîtra l'erreur moyenne da. On opérera de la même manière pour b, c, . . . , et l'on trouvera les erreurs moyennes db, de, ... ; il ne l'esté plus qu'à substituer, dans la formule (3), ces valeurs da, db, de, ... au lieu de Da, Db, De, .... Le premier membre de l'équation

exprimera la valeur cherchée de dx; on connaîtra donc quelle est Terreur moyenne que l'on peut attribuer à l'inconnue.

Remarques sur l'emploi de cette règle; énoncé exact de la conséquence qu'elle fournit.

L'analyse précédente se réduit aux propositions que nous allons énoncer. L'équation (i), savoir x = Y(a, b, c, . . .), donne, par hypothèse, la valeur de x en fonction de a, b, c, ..., grandeurs connues qui ont été mesurées. Les valeurs qui proviennent de ces mesures sont

a, b, c et elles sont affectées de petites erreurs désignées par da,

db, de L'équation différentielle (2), savoir

dx = Fida -t- F<>db + F3 tfc -\- . . . ,

ferait connaître l'erreur dx du résultat si les erreurs partielles da, db, de, ... étaient connues. L'équation (3), savoir

(3) Dx = y/(F, Da)2+ (F2 1)6)* -t- (F, Dc)* + . . . ,

exprime que la valeur de x, déduite de l'équation (1) en mettant pour a, b, e, ... les résultats des mesures, est assujettie à une certaine erreur Dx, et que la valeur exacte de x est comprise entre x — Dx et x -+- D,r, Da, Db, De, ... désignant les limites des plus grandes erreurs que l'on peut supposer dans les résultats des mesures de a, b, c, .... Enfin l'équation (4), savoir

( (\ ) <\x = d\ F, da)2+( F2 db )2 + F3 de )* -+- . . . ,

exprime l'erreur moyenne dx de l'inconnue x, lorsqu'on désigne par da, db, de, ... les erreurs moyennes des résultats des mesures.

Ce sont ces équations (3) et (4) qui fournissent des conséquences très utiles et très générales dans les applications du calcul. Il ne faut jamais perdre -de vue la définition de l'erreur moyenne et considérer qu'une erreur moyenne partielle da est celle dont la probabilité est £; ainsi, en répétant la mesure un très grand nombre de fois, il arriverait

deux cas différents, celui où l'erreur serait moindre que da et celui où l'erreur commise surpasserait da. Or, en comparant le nombre des événements du premier cas à celui du second, le rapport de ces deux nombres approcherait d'autant plus de l'unité que le nombre des événements serait plus grand, et l'unité est la limite de ce rapport. Il en est exactement de même de l'erreur moyenne d.r exprimée par l'équation (4). L'erreur que l'on pourrait commettre en faisant x égal à ¥(a, b, c, ...) est précisément aussi possible que l'erreur da ou db, ou de, .... La probabilité de commettre une quelconque de ces erreurs est -,.

En considérant donc un 1res grand nombre de cas, il arrivera autant de fois que l'erreur commise en prenant x égal à F (a, b, c, ...) sera au-dessous de de qu'il arrivera de fois que cette erreur surpassera dx.

Application au cas où l'inconnue est égale à la somme des quantités mesurées.

Pour exposer complètement les conséquences que fournissent les équations (2), (3), (4), il conviendrait de multiplier les exemples; ceux que nous allons rapporter présenteront du moins quelques applications.

Le cas le plus simple est celui où l'inconnue est formée de la somme ou des différences des quantités mesurées. C'est ce qui a lieu dans les nivellements, et en général lorsqu'on divise en plusieurs parties la quantité inconnue et que, ayant mesuré séparément chacune des parties, on en conclut le résultat total.

Supposons donc que la fonction désignée précédemment par ¥(a, b, c, d, e,f, . ..) soit a-f- b -+-<? + d -+- e -f- .. ,, l'équation (1) devient (1) x=. a -+■ b -(-C-+-. . .;

on conclut, par la différentiation, L'équation (2) ou

( 2 ) dx- = da -+- db + de -+- . . . ;

donc, Da, Db, De, ... désignant les limites respectives des plus grandes erreurs que l'on puisse commettre en mesurant a, b, c, ..., on a

(3) Dx = y/Da2 + I)62 + De2 -h . . . ,

et, si l'on représente par da, db, de, ... les erreurs moyennes et supposées connues des quantités a, b, e, . . ., on a

I ', ) ùx = y/cïa2 -+- dbx 4- de2 -+- . . . .

Il faut donc concevoir : i" que l'application répétée des instruments a fait connaître que, en mesurant les quantités a, b, c, ..., les plus grandes erreurs que l'on puisse commettre sont comprises entre a — Da et a -+- Da, b — Db et b -+- Db, c — De et c -h De, . . . , et l'on conclut de l'équation (3) que la plus grande erreur que l'on commettra en prenant pour x la somme des longueurs partielles a, b, c, . . . est comprise entre cette somme fl + i + c + ... augmentée de N I>r + D6- -f- De2 + . . . et a -h b-hc -+- ...- VD«2 -+- De2 h- De2 4- . . . .

Cet énoncé donne lieu à la remarque suivante.

Remarque sur le résultai que l'on trouverai! en ne considérant que les plus grandes limites des erreurs partielles.

Puisque la plus grande erreur que l'on peut commettre en mesurant la quantité a est, par hypothèse, moindre que la valeur absolue Da, on conclut que la valeur de a est certainement comprise entre a — Da et a + Da; et, puisqu'il en est de même des limites ± Db, ± Dr, ... et des erreurs des mesures pour b, e, d, ... , il s'ensuit que, si, dans l'expression x = a -+- b -+- e -+- . . . , on donne aux parties a, b, c, ... leurs plus grandes valeurs possibles, qui sont a-hDa, b + Db, c -+- De, . . . , on trouvera la plus grande valeur possible de la somme. On trouverait ensuite la moindre valeur possible de la somme en prenant pour a, b, c, ... leurs moindres valeurs possibles, qui seraient a — Da, b — Db, c — De, .. .; donc la valeur de x serait eei-

tainement comprise entre la somme a + J + c-f-... augmentée de Da + Db -+- Dr -+- . . . et cette somme diminuée de Da -+- Db -+- Dr -+- . . . ; mais on n'aurait ainsi qu'une connaissance bien imparfaite des limites de l'erreur que l'on peut commettre en prenant pour x la somme a -h h + c+ . . . «les grandeurs mesurées. En effet, ces limites extrêmes

a -+- ô + c -t- . . . — Da — D6 — De — ... et

a + * + c + ...-i-Da + D6 4-Dc+...

comprennent certainement la valeur exacte de r; mais elles ne sont pas assez rapprochées, et l'intervalle est excessif, ce qui a lieu surtout lorsque les quantités données a, b, r, . . . sont en assez grand nombre. Il n'en est pas de même des limites que donne l'équation (3), savoir

a h- 6 + c + . . . + v/Da2+D62+l)c2-H... et

a •+■ b + c -+- . . .— y Da-' ■+- B62 + \)c2 -+-

Ces dernières limites correspondent précisément aux limites a — Da, b — Db, r — De, . . . , a -r- Da, b + Db, r -+- Dr, ... ; c'est-à-dire qu'il est précisément aussi probable que l'erreur àex, en plus ou en moins, n'excède pas -+- y Da2 -h Db2 -+- De2 -h . . . qu'il est probable que l'erreur de a, en plus ou en moins, n'excède pas Da. Une erreur de a plus grande que Da n'est pas rigoureusement impossible; mais, dans la pratique, on doit exclure cet événement, parce que sa probabilité est plus petite qu'un vingt-millième.

Or la possibilité de commettre, en plus ou en moins, une erreur plus grande que \ Da*H- Db- -+- De2 -(-. . . en prenant pour x la somme « + /; + c + ... est exactement la même que la possibilité de commettre sur la valeur de a une erreur plus grande que Da. La probabilité de l'un et l'autre événement est la même, et elle est plus petite qu'un vingt-millième.

La même conséquence s'applique.aux erreurs Db, Dr La probabilité de commettre, dans les mesures respectives de a, b, c des

erreurs positives ou négatives qui surpassent Da, Db, Dr, ... est, par

hypothèse, la même pour chacun de ces événements. Cela dérive de la manière dont on a déterminé ces limites Da, Db, De, ... ; car, après avoir trouvé, par le calcul du résultat moyen, et séparément pour a, b,e, ..., la valeur du nombre #, en faisant l'application de la règle de l'article IX, Mémoire M, on a pris, pour chacun de ces cas, le triple du nombre g. Par conséquent, la probabilité désignée par P, dans la seconde colonne du Tableau de l'article XI, sera la même pour chacun de ces cas, puisque le facteur d est le même, savoir 3. Or la probabilité P, commune aux erreurs Da, Db, De, . . ., est aussi commune à l'erreur Da? exprimée par l'équation (3). On serait exactement aussi fondé à croire que, en prenant pour x la somme a -h b -h c -+- . . . , on commettrait une erreur positive ou négative plus grande que \jDa- -+- Db2 -+- De'2 + . . . que l'on serait fondé à admettre

pour a, b, e, . . . une erreur plus grande que Da, Db, De,

On trouve la môme conclusion si l'on considère les erreurs moyennes

da, db, de, En effet, pour trouver ces petites quantités da, db,

de, ,.., on a calculé séparément les valeurs du nombre g qui conviennent aux quantités mesurées a, b, c, . . . , et l'on a multiplié chacun de ces nombres g- par un même facteur, savoir 0,47708 : c'est en cela que consiste l'application de la règle qui donne l'erreur moyenne, articles IX, X, XI du Mémoire M. Donc la probabilité de l'erreur moyenne da est la même que celle de l'erreur moyenne db ou de l'erreur moyenne de. Cette probabilité commune est -,', car les principes analytiques dont nous avons déduit l'équation (\) prouvent que la probabilité de commettre une erreur positive ou négative égale à \Jda--j- db- -+- de- -h . . . , en prenant pour x la somme o + i + c + ..., est la même que celle des erreurs partielles da, db, de,

Expression do l'erreur moyenne dans lo cas général.

En général, lorsqu'on emploie l'équation (4) pour estimer l'erreur que l'on peut commettre en prenant polira? la valeur donnée par le

calcul, savoir

x = F(a, b, c, . . .), on trouve que l'expression

d^ = v/(Fida)2+(F2(16)2+(F3dc)a + ...

est celle de l'erreur moyenne dx; ainsi la probabilité de se tromper, en plus ou en moins, de cette quantité dx est exactement 7,. Il y a autant à parier que l'erreur du résultat du calcul surpasse dx qu'il y a à parier que cette erreur est au-dessous de dx. Si donc on supposait que l'on applique un très grand nombre de fois la formule

(1) at = F(af6,c, ...)

en mesurant les données a. h, c, ... et prenant chaque fois x égal à ¥(a, b, c, ...), on commettrait dans chacun de ces calculs une certaine erreur sur la détermination de x, et cette erreur pour x proviendrait de celles que l'on aurait commises en mesurant a, b, c

D'un autre côté, on peut déterminer, par l'application de la règle générale des résultats moyens, Mémoire M, les erreurs moyennes da, db, de, . . . , et en conclure la quantité

dx = \J(F1daf--+- (F, d6)2+ (F., dc)2 + . . .

pour chacune des erreurs que l'on commet sur x en prenant x égal à V(a,b,c. ...); et il peut arriver que cette erreur surpasse dx, ou soit moindre que dx. Cela posé, la conséquence analytique exprime que l'un des cas est précisément aussi probable que l'autre : ils arriveraient l'un et l'autre un même nombre de fois sur un très grand nombre d'applications du même calcul. Le rapport de ces deux nombres de fois approche continuellement de l'unité, qui en est la limite.

Mesure île l.i probabilité d'une erreur quelconque.

Si, au lieu de multiplier le nombre g par le facteur 0,47708, on choisit un autre facteur commun, on trouvera une autre expression

de l'erreur du résultat. Cette erreur ne sera point dx, et la probabilité ne sera point {; elle sera égale au nombre P (Mémoire M, article XI) qui répond au facteur que l'on aura choisi. On connaîtra donc, dans tous les cas, la probabilité de cette erreur différente de dx.

L'erreur que l'on déduirait do l'expression différentielle serait excessive. Exemple particulier qui montre la vérité de cette remarque.

Nous avons dit que, en attribuant aux erreurs partielles Da. \)b. De, ... les plus grandes valeurs que l'on puisse admettre d'après la nature connue de l'instrument qui sert à mesurer ces quantités, on trouverait facilement les limites extrêmes de l'erreur que l'on peut commettre en prenant pour x la valeur

mais que ces limites sont trop distantes et diffèrent beaucoup des résultats exposés dans le présent Mémoire. En effet, si l'on applique l'équation différentielle

( 2 ) Dx = F, Da + F2 D6 -+- F3 De h- . . .

et si l'on attribue à Da, Bb, De, ... les plus grandes valeurs ou positives ou négatives qu'il soit possible d'admettre pour les erreurs de mesure Da, Db, De, . . . , il est certain que le second membre de l'équation (2) donnera pour Dx deux limites, dont l'une, formée de quantités toutes positives, surpassera la plus grande erreur possible, et l'autre, formée de quantités toutes négatives, excédera aussi la plus grande erreur négative. On serait donc assuré que toute erreur possible de x est comprise entre ces limites. Par exemple, supposons que la fonction F(a, b, c, . . .) soit celle-ci a2 + b- -+- r2 -4- . . . , on aura, pour l'équation (2),

1 2 ) 1),/ - iaDa 4- 2 ùDù -+- 2cDc -fc-. . . .

Si actuellement on connaît, par l'expérience commune de l'instru-

ment qui sort à mesurera, que jamais l'erreur commise en plus n'excède Da et que jamais l'erreur commise en moins n'excède Da, et si l'on connaît aussi pour les autres quantités b, c, ... les plus grandes erreurs Db, De, ... qu'il soit possible de commettre, on substituera, dans l'équation (2) :

1" Les valeurs extrêmes de Da, Db, Dr, ... qui rendraient tous les termes positifs;

20 Ces mêmes plus grandes valeurs de Da, Db, De, ... qui rendraient tous les termes nésratifs.

Prenant donc pour.' Dx la somme de tous les termes positifs, et ensuite la somme de tous les termes négatifs, on obtiendra deux limites entre lesquelles sera nécessairement comprise la valeur éventuelle de Dx, et l'on connaîtra, parce moyen, les limites extrêmes des erreurs auxquelles on est exposé en déterminante par le calcul, c'est-à-dire

en prenant x égal à la somme des carrés a2 -+- b- + c- ■+- Ce sont

les limites d'erreurs que l'on déterminerait par l'équation (2); mais. en ne faisant ainsi aucun usage de l'Analyse des probabilités, on estimerait mal la précision du résultat : il est plus exact que ne J'indique cette équation (2). On doit rapprocher les limites, et conclure que le résultat du calcul est compris entre ces nouvelles limites. C'est cette conclusion que donne l'équation (3), savoir

(3) Vx = ±\/(2aDay--h{2b\)by2+2c])cy2-t-....

En la comparant à l'équation (2), savoir

l>' >a Da + \h \)b — >.c Dr -+-...,

on voit ([lie. au lieu de prendre la somme des termes supposés tous positifs, on prend la racine carrée de la somme des carrés de ces mêmes termes. Or ce dernier résultat a toujours une valeur absolue moindre que la somme des termes tous positifs.

Celte dernière conséquence est générale. Construction qui la rend très sensible.

Dans le cas général, l'équation différentielle (2) est

dx = Fj da -+- ¥., db -+- F3 de ■+■ . . .

et l'équation ^3) est

(3) Dx = v/(F, Da)- -4- (F, Db)*- H- (F, Dc7T77. .

Celte dernière équation diffère de la précédente (2) en ce que la somme des termes F, Da, ¥2Db, . . . , que l'on supposerait tous positifs, est remplacée par la racine carrée de la somme des carrés de mêmes termes; or cette racine carrée est toujours moindre que la somme des termes supposés tous positifs. Une construction simple rend cette dernière conséquence sensible; en effet, à l'extrémité de la droite 01, dont la longueur est a, on élève sur 01 la perpendiculaire 1 2, dont la

Fis. 3.

longueur est b; puis, ayant tiré la droite 02, on élève perpendiculairement sur cette droite, au point 2, une ligne droite 2 3, dont la longueur est c. On mène la ligne o3, et sur cette ligne, au point 3, on élève la perpendiculaire 3 4» dont la longueur est <7, ainsi de suite.

Le carré 02 est égal à la somme des carrés a2 -+- b2; le carré o3 est égal à a2 -+■ b2 -+- c2 ; le carré 04 est égal à a2 -+■ b2 -+- c'1 -h d2, ainsi de suite, en continuant indéfiniment la construction. Le périmètre oi23Zj est la somme des termes a -+- b -+- c ■+■ d, et la dernière

diagonale 04 est égale à la racine carrée de la somme des carrés, ou

\/a2 -+- b- -f- c- + cl'1 .

Ainsi le second membre de l'équation (3), savoir

V/(F, Do)- + (F, M)- -h (F, De-)2 + . . . ,

a toujours une valeur absolue- moindre que le second membre de l'équation (2), formé de termes tous positifs, savoir

F,Da + F2D6 + F3Dc + ...;

car les valeurs de \)a, Db, De, ... sont ici les mêmes, et l'une des quantités est le périmètre 01234, l'autre est la diagonale o4- Donc l'application de l'équation (2) ne donnerait pas une juste connaissance de la précision des résultats du calcul; c'est l'équation (3) qu'il faut employer pour connaître les limites du résultat calculé qui correspondent rigoureusement aux limites des plus grandes erreurs dont les quantités mesurées puissent être affectées. Toutefois il n'est pas inutile de considérer ces limites extrêmes données par l'équation (2); car on acquiert d'abord une connaissance approchée des limites de l'erreur possible du résultat; ensuite on obtient une expression exacte en prenant la racine carrée de la somme des carrés des termes qui formaient le second membre de l'équation (2).

La môme analyse s'applique à la question qui a pour objet d'estimer la limite de l'erreur de la mesure d'une longueur composée d'un grand nombre de parties; résultat général de la solution.

La question que nous allons citer pour exemple s'est présentée, en effet, dans la pratique des arts, et elle est très propre à montrer l'usage des principes que l'on vient d'exposer.

L'analyse qui nous a servi à déterminer l'expression de l'erreur moyenne résout aussi la question suivante, dont les conséquences sont remarquables. Lorsqu'on mesure une quantité composée d'un grand nombre de parties en appliquant la mesure à chacune des par-

ties, l'erreur du résultat total dépend des erreurs partielles suivant une certaine loi qu'il s'agit de découvrir. Nous supposons que, en mesurant chaque partie, on puisse se tromper, soit en plus, soit en moins, d'une certaine quantité que l'on regarde comme une limite connue par l'expérience. On considère que, le nombre des parties étant considérable, on ne doit pas supposer que toutes les erreurs partielles seront du même signe; il est, au contraire, extrêmement vraisemblable que, l'erreur négative étant supposée aussi facile que l'erreur positive, il s'établira, dans un grand nombre d'erreurs partielles, une compensation qui tend à diminuer l'erreur totale. II n'est pas rigoureusement impossible que les erreurs partielles, même en très grand nombre, soient toutes positives ou toutes négatives; mais on ne doit point, dans la pratique, supposer qu'un tel événement a lieu, parce que sa probabilité est trop petite. Elle est comparable à celle de plusieurs événements que nous savons n'être pas entièrement impossibles, mais dont la probabilité est si faible que, dans l'usage ordinaire, aucun homme raisonnable ne les admet comme des motifs de ses déterminations. Il s'agit maintenant d'estimer l'erreur totale que l'on est fondé à craindre lorsque, ayant mesuré chacune des parties, on en prend la somme pour exprimer la longueur entière. On suppose que chaque erreur partielle à laquelle on est exposé peut être également positive ou négative, et que l'on sait, par une expérience répétée, que cette erreur est comprise entre de certaines limites. Il s'agit de déterminer les limites correspondantes de l'erreur totale; ces limites cherchées doivent être telles que l'on soit aussi fondé à croire que la longueur entière est comprise entre elles que l'on est fondé à croire que l'erreur d'une seule mesure est comprise entre les deux limites indiquées par l'expérience.

L'Analyse mathématique résout complètement cette question; en voici le résultat : si l'on désigne par e la limite de l'erreur positive ou négative à laquelle on est exposé en mesurant une seule partie, il faut multiplier cette limite e par la racine carrée du nombre n des parties, et le produit e\jn est précisément la limite de l'erreur positive ounéga-

tive que l'on pont commettre dans la longueur entière, composée d'un nombre n de parties.

Désignant par a le résultat total que l'on vient de trouver par l'addition des n parties, on est précisément aussi fondé à croire que la longueur cherchée est comprise entre a -+- eyfn et a — e\Jn que l'on esl fondé à croire que chaque résultat partiel est compris entre celui qu'on a trouvé, plus e, et ce résultat diminué de e. On commettrait donc une grande erreur si l'on multipliait par le nombre n la limite e d'une erreur partielle et si l'on concluait que la longueur cherchée est entre a -+- ne et a — ne. Ces deux limites sont beaucoup trop éloignées, et l'on n'aurait ainsi qu'une connaissance très imparfaite de la précision du résultat. C'est par la racine carrée du nombre n, et non par ce nombre, qu'il faut multiplier l'erreur possible de chaque opération partielle.

Exemple de cette dernière question.

La question que l'on vient d'indiquer s'est offerte plusieurs fois dans les applications, et, par exemple, lorsqu'on a voulu déterminer la hauteur de la pyramide de Memphis de Chéops. La construction de ce singulier monument permettait de mesurer séparément chaque assise, et les personnes qui se chargeaient de cette opération connaissaient par expérience la limite de l'erreur que l'on pouvait commettre, soit en plus, soit en moins, dans une mesure partielle. Il s'agissait d'estimer d'avance le degré de précision que l'on obtiendrait par ce procédé. La question ayant été résolue par l'analyse des chances, on reconnut que, pour estimer l'erreur totale à laquelle on serait exposé, il suffisait de multiplier la limite des erreurs partielles par i4, car le nombre des assises est 2o3. Lorsque l'opération fut achevée, on en put comparer le résultat avec celui des mesures trigonométriques du même monument, et l'on trouva entre les deux hauteurs, ainsi déterminées par des procédés très différents, une conformité singulière, dont on aurait pu être surpris si la' question analytique n'avait point II. 72

été résolue auparavant. Les mêmes conséquences s'appliquent aux grands nivellements, à la mesure des bases géodésiques et à diverses questions de ce genre.

Coefficients différentiels qui mesurent l'influence de chaque erreur partielle sur l'erreur

du résultat.

Nous poursuivrons maintenant l'exposition des règles générales qui servent à estimer la précision des résultats calculés. On a rapporté plus haut l'expression différentielle de l'erreur d'une fonction quelconque F(rt, b, c, ...), qui contient plusieurs quantités mesurées a, b, c, d, c, . . . ; cette expression

dx ■=. F, (a, b, c, . . .) da -\- F2(«, b, c, . . .) db -\-F3(a, b, c, . . .) de -h . . .

se forme en différentiant successivement la fonction proposée F(a, b, e, ...) par rapport aux variables a, b, c, — On trouve ainsi d'autres fonctions F, (a, b,c, . . .), F2(a, b, c, . . .), F.,(a, b, c, . . .), ... dans lesquelles les valeurs attribuées à a, b, c, . . . sont celles que les mesures ont données.

Les petites quantités da, db, de, . . . sont les erreurs inconnues que

l'on a commises en déterminant ces valeurs de a, b, c, II faut

remarquer que chaque coefficient, tel que ¥,(a, b, c, ...), fait connaître en nombre comment l'erreur da, commise dans la mesure de la seule grandeur a, influe sur l'erreur dx\ car il y a une première partie de cette erreur, savoir le premier terme F, (a, b, c, ...)da, qui se forme en multipliant l'erreur da par le coefficient connu F, (a, b,c, ...). Plus ce coefficient est grand, plus la seule erreur da concourt à l'erreur dx du résultat calculé. La considération de ces coefficients est donc importante; car chacun d'eux mesure l'effet provenant de chacune des erreurs da, db, de, ... pour former l'erreur dx; et il est très utile de connaître séparément l'influence de chacune des erreurs de mesure des quantités données, car on distingue ainsi quelles sont

celles de ces données qu'il est le plus nécessaire de mesurer avec beaucoup de précision.

Hègle pratique qui fait connaître facilement la première partie de l'erreur du résultat et le coefficient différentiel propre à cette partie.

L'emploi de l'analyse différentielle semble ici nous éloigner du but principal, qui est de rendre les applications faciles et usuelles; mais on peut heureusement suppléer à cet usage du Calcul différentiel. En effet, la fonction F (a, b, c, . . .) est connue par hypothèse; on sait comment il faut opérer sur les données a, b, c, ... pour déterminer x, dont la valeur est Y(a, b, c, ...). Cela posé, on donnera d'abord à a, b, r, ... les valeurs qui résultent immédiatement des mesures, et Ton calculera en nombre Y(a, b, c, . . .) : on aura ainsi un premier résultat que nous désignerons par F; ensuite on fera varier l'une des données, comme la première a, en augmentant la valeur que l'on vient d'attribuer à a d'une très petite quantité. Par exemple, si a est une longueur, on ajoutera à cette longueur un centimètre, et l'on recommencera l'opération précédente sans rien changer d'abord aux autres quantités b, c, cl, ...; on conservera donc exactement à ces autres quantités les valeurs b, c, d, ... que les mesures ont données; la valeur de a sera seule changée. Or cette nouvelle opération donnera un second résultat qui différera un peu du premier F. Nous le désignons par F-f-l\F. On écrit ici D„F pour indiquer que la différence du premier résultat au second est due à la seule variation de la quantité donnée a.

Celte petite différence D„F n'est autre chose que la partie de dx qui provient de la petite différence Ba que l'on vient d'ajouter à la valeur a, et cette différence est, comme on l'a supposé, par exemple d'un centimètre. Ainsi la différence DaFque l'on vient de trouverentre le premier résultat et le second est le premier terme F, (a, b,c, . . .) D„ de la valeur de dx donnée par l'équation (2). Ce premier terme est le produit de l'accroissement de a, que l'on a supposé ici un centimètre.

par le premier coefficient F, (a, b, c, ...), qui mesure l'influence partielle de la seule erreur de a.

Par conséquent, si l'on voulait connaître le premier coefficient, il faudrait diviser la différence trouvée X)aY par un centimètre. En effet, cette différence DttF du second résultat au premier exprime ce que chaque centimètre d'erreur dans la mesure de a produit d'erreur dans la détermination de x.

Au reste, il suffît à l'objet de notre recherche de trouver D„F; car c'est le premier terme de la valeur de dx donnée par l'équation (2).

La môme règle fait connaître toutes les parties de l'erreur du résultat et tous les coefficients différentiels qui s'y rapportent.

On trouvera de la même manière les autres parties de la valeur de dx. Ainsi, pour former la seconde partie F2(a, b, c, ...)db, on fera varier b d'une petite quantité Db, par exemple une minute ou une partie de minute si b est un angle, et un centimètre ou une partie de centimètre s'il s'agit d'une longueur. On attribuera donc à b la valeur b -+- DA, et l'on calculera la fonction F(«, b -+- Dj, c, . . .) en conservant aux autres quantités a, c, ... les valeurs que l'on avait employées pour calculer le premier résultat F(a, b, c, . . .) : on trouvera ainsi, par une seconde opération, une valeur un peu différente de F(a, b, c, ...), et, désignant par DAF l'écart très petit dont la nouvelle valeur surpasse F(«, b, c, . . .), on connaîtra la partie de dx que produit la variation Db de la quantité b. Cet accroissement de dx est égal à F2(«, b, c, . . .)Dé, c'est-à-dire à l'erreur que produirait dans la valeur de x une erreur D,, dans la mesure de b. Ainsi, divisant l'accroissement que l'on vient de trouver dans le second calcul par l'accroissement connu D6, on connaîtrait le coefficient F2(«, b, c, . . .) si l'on avait besoin de le déterminer; mais il suffît de considérer le produit F(«, b, c, . . .) Db, qui est la seconde partie de la valeur de dx.

Un troisième calcul fera connaître de la même manière le troisième

terme F:,(«, b, c, . ..)DC. Il faut faire varier la seule quantité e d'une petite quantité Dc, que l'on peut d'abord prendre arbitrairement, et calculer un troisième résultat F(«, b, c-^Dc, ...); en comparant ce que l'on trouve avec le premier résultat Y (a, b, c, .. .), on trouvera l'accroissement Dt.F, ce qui est la valeur de la troisième partie F3(a, b, c, . . .) Dt. de l'erreur dx.

On formera donc ainsi successivement tous les termes qui composent dx dans l'équation (2).

( 2 ) dx = Ft da -+- F2 db -+- F3 de -+- . . . .

En prenant la racine carrée de la somme des carres des termes que l'on a déduits de la règle précédente, on trouve : i° la limite de la plus grande erreur de l'inconnue: 2° l'erreur moyenne.

Nous avons dit que, dans ces calculs, on fait varier successivement a, b, c, ... de petites quantités qui pouvaient d'abord être regardées comme arbitraires. On eboisira, par exemple, pour Du la plus grande erreur que l'on puisse supposer dans la mesure de la quantité a, et l'on eboisira pareillement pour Db, De, ... les limites des plus grandes erreurs que l'on puisse supposer dans la mesure des quantités b, c, .... Ces limites sont celles que l'on trouve par l'application de la règle générale donnée dans le Mémoire M pour estimer exactement la précision des résultats moyens; ce sont ces limites que nous avons désignées, article IV du présent Mémoire, par Da, Db, Dc, ..., et qui entrent dans l'équation (3). On pourrait aussi prendre, pour les petites quantités D„, DA, 1)(., ... dont on fait varier a, b, c, ..., les erreurs moyennes da, db, de, ..., que l'on a déterminées aussi par la règle générale pour le calcul des résultats moyens. Cela posé, soit que l'on attribue à a, b, c, ... les plus grands écarts possibles Da, Db, De, . . . ou les écarts moyens da, db, de, ..., après avoir, par autant d'opérations séparées, trouvé les termes F, Da-f- 1\, Db-h F3 De, ... ou F, d« + F2 d/y-h F., de, ..., il ne reste plus qu'à prendre le carré de

chaque terme et la racine carrée de la somme des carrés. On formera ainsi les équations

]>.r = V(FiD«)-+ (F2D&)»4-(F3l)c)set

dx = ^(Flday-h(Fidb)*+ (F3dc)2 + .. . , ■

dont l'une fait connaître la plus grande erreur possible de la valeur Y (a, b, c, . . .) trouvée pour x, et l'autre l'erreur moyenne de ce même résultat.

Exemple simple de l'usage de cette règle; erreur sur la mesure du volume prismatique.

11 serait utile d'éclairer ces calculs par des exemples multipliés. Ceux ijiic nous allons rapporter suffiront pour montrer l'usage de la règle.

On peut considérer d'abord un cas extrêmement simple, qui est celui de la mesure du volume d'un prisme rectangulaire dont on a mesuré les trois dimensions a, b, c. Désignant par x le volume cherché, on a

x =r abc, dx — bc.da + ac.db -+- ab.dc.

Os coefficients bc, ac, ab mesurent respectivement l'influence des erreurs partielles da, db, de, c'est-à-dire qu'ils font connaître comment chaque erreur partielle contribue à former l'erreur totale. On voit que l'erreur dans la mesure d'une seule dimension, telle que a, ou b, ou c, concourt d'autant plus à l'erreur totale dx que la base bc, ou ac, ou ab, à laquelle cette dimension est perpendiculaire a plus d'étendue. On trouve ensuite

(3) Dx = \Jbic°-J)ai-+-a-ciJ)bi+ fl^62Dc2.

Définition de l'erreur relative, différentielle logarithmique.

On peut aussi donner à ce calcul une autre forme, comme il suit. On a x = abc ou logj: = loga + logb ■+- loge,

ET SLR LES ERREURS DES MESLRES. 575

et, en différentiant,

. . dx da db de

Or chaque terme, tel que — > exprime l'erreur relative de a ou l'erreur que l'on commet sur chaque unité de longueur en mesurant la ligne a:

il en est de même de -r- et de — : ces termes représentent l'erreur

relative, ou par unité de mesure, sur les dimensions b et r. Enfin —

exprime, selon la même définition, l'erreur relative de x. L'équation (e) fait donc connaître que, dans le cas dont il s'agit, l'erreur relative du volume x se forme de la somme des erreurs relatives des trois dimensions. Cette relation spéciale provient de la forme tri's simple de la fonction abc, et elle n'aurait pas lieu pour une fonction différente.

De l'équation (e), que l'on peut écrire ainsi

dx = — da -+- y db -\ de,

abc

on conclut, par les principes ci-dessus exposés, et en désignant par Dr. Da, \)b, De les limites des plus grandes erreurs,

ce (jui équivaut à l'équation précédente (3),

Dans la question actuelle, on suppose que la limite de la plus grande erreur relative est la même pour chacune des trois dimensions; on en conclut la limite de la plus grande erreur relative du volume calculé.

Le quotient — exprime, comme nous l'avons dit, l'erreur relative que l'on commet en mesurant la quantité a. Par exemple, si, dans cette mesure, on se trompait d'un centimètre par mètre, le quotient serait -j^j.

Ainsi — désigne la plus grande erreur relative à laquelle on soit exposé en mesurant la quantité a. Or on n'a point ici de motif de

croire oue -r- ou — diffère de cette même fraction — ; et, puisque les > b c a l '

trois quantités a, b, c, qui sont de la même espèce, sont mesurées par

, ., . . . * a D« Dft De , . ,

le même procède, on voit que les trois tractions — , -r-, -j- doivent,

généralement parlant, être supposées égales, si Ton excepte les cas particuliers où les procédés ou instruments de mesure ne seraient pas les mêmes. Écrivant donc

on trouve

ou

Dc

Dx =

Bx

-Dai/3,

ou enfin

Or — est la limite de l'erreur relative de x, c'est-à-dire de l'erreur

que l'on pourrait commettre par chaque unité en mesurant l'inconnue r; donc la limite de l'erreur relative sur le volume se trouve en multipliant la racine carrée de 3 par l'erreur relative sur une seule dimension. Ce résultat ne pouvait être fondé que sur la théorie analytique exposée ci-dessus.

Calcul d'une hauteur verticale; expression de la limite de l'erreur.

Voici une autre question presque aussi simple, et dont les conséquences sont encore plus remarquables.

Si l'on mesure la base horizontale b et l'angle a dans le plan vertical, on trouve b tanga pour l'expression de la hauteur x que l'on

veut déterminer. L'équation principale (i) est

x = h tanga; on peut la mettre sous cette forme

log^- = logi -+- Ioetanea.

'o**- — *"© " ' lw& '

Si maintenant on prend la différentielle du second membre par rapport à b et à a, on a

. . ùx éb cl a

x b sinacosa'

car la différentielle du logarithme de tança est- Ainsi l'équa-

0 D sinacosa l

tion (2) fait connaître que l'erreur relative sur la hauteur inconnue x se forme de deux parties, savoir de l'erreur relative de la base mesurée b, et de l'erreur da. de l'angle a divisée par le produit sina cosa. On a

dx = -- db -\ — : da ;

b sinacosa

ainsi les coefficients de db et de don. qui expriment les parties de l'er-

OC

reur totale correspondantes aux erreurs de mesure db et da. sont j et

-5 ou tan" a et

sinacosa ° cos~a

L'erreur de la mesure d'un angle n'est point relative, mais elle est toujours exprimée

par un nombre abstrait.

Si actuellement on forme l'équation (3), qui fait connaître la limite des erreurs de x, on a

/ 62Da2

Dx — i/ tang2 a Db1 -+- -

y eus' y.

L'expression — est, à proprement parler, l'erreur de x comptée pour chaque unité de mesure, ou l'erreur relative de x. Quant aux erreurs sur la mesure des angles, elles sont absolues et non relatives: IL 73

car la différence entre un angle donné et la valeur qu'un instrument indique, c'est-à-dire l'erreur de la mesure, est indépendante de cet angle. On ne compare point l'erreur à la grandeur de l'angle; ainsi cette erreur est un nombre; elle est, par exemple, égale à » „ si l'erreur commise est d'une minute sexagésimale. Ce nombre, qui exprime l'erreur d'un angle mesuré, est comparable à — > qui est aussi un nombre lorsque la grandeur mesurée a est une longueur.