XXIV

Dans la question actuelle, l'erreur relative de la hauteur inconnue est formée de deux parties.

En appliquant cette remarque à l'équation (2) que nous avons trouvée plus haut, savoir

dx db doc

x b sinacosa

on voit que l'erreur relative de la hauteur inconnue x se forme de deux

parties, savoir -r, qui est l'erreur relative de la base b, et — 1 b ' sni!

ia cosa

ou le quotient du nombre da. par le produit sinacosa, qui est ainsi un nombre. Si l'on supposait que l'angle a, dans le plan vertical, est exactement mesuré, c'est-à-dire si l'erreur du. était nulle, l'erreur rela-

. • dx -,,,(//;,,.. . . . .

tive — serait égale a -p ; c est-a-dire nue la hauteur verticale x serait

mesurée avec le même degré de précision que la base horizontale/?; et cette conséquence est, pour ainsi dire, évidente d'elle-même. Si la base était mesurée avec une exactitude parfaite, en sorte que l'erreur db dut être supposée nulle, on aurait

dx dot.

x sinacosa et, le produit sina cosa étant égal à ~ sin2a, on aurait

dx idv.

x ~~ sin2a

Ainsi l'erreur relative de la hauteur inconnue x serait égale au double de l'erreur de l'angle, divisé par le sinus du double de l'angle a. Mais, dans le cas général, où l'on ne peut supposer nulle l'erreur db ou l'erreur dix, il faut calculer comme il suit la limite de la plus grande erreur relative de x et l'erreur moyenne de cette inconnue.

Expression de la limite de cette erreur relative et expression de l'erreur relative moyenne.

En appliquant les principes ci-dessus exposés, et en désignant par X)x la limite de l'erreur de x, on a

!>•'• . //'^V / tia

x V \ b ) \sina cosa ou, mettant pour sina cosa la valeur ' siii2a,

Hx I

Dby ( 2 De

b I \sin2a

Telle est l'expression de la plus grande erreur relative que l'on puisse commettre sur la hauteur verticale que l'on ne mesure pas immédiatement, mais que l'on déduit de la mesure d'une base horizontale et d'un angle dans le plan vertical. Quant à l'erreur moyenne, dont la probabilité est -,, il suffit, pour en former l'expression, de changer le caractère D qui affecte les quantités connues; on a donc

dx , //dby / ida

VU

x V V b / V sin 2 a

Le caractère d indique ici l'erreur moyenne de la mesure des quan* tités b et a; et l'on a rapporté, dans le premier Mémoire M, la règle qui sert à déterminer cette erreur movenne.

Conséquence remarquable de la dernière solution; on détermine, par les solutions de ce genre, les conditions les plus favorables à la précision. Application à la question actuelle.

Nous exposerons maintenant une des applications les plus utiles des principes qui nous ont servi à estimer la précision des résultats du calcul. Elle consiste à déduire de cette même théorie la connaissance des conditions les plus favorables à la précision. Par exemple, dans la question précédente, où l'on ne peut pas mesurer immédiatement une hauteur verticale x, on la conclut de la mesure d'une base b et d'un angle a; il s'agit d'indiquer la disposition la plus favorable parmi toutes celles que l'on peut choisir, c'est-à-dire de trouver sous quel angle a il convient d'observer l'extrémité de la hauteur verticale afin que le résultat de l'opération soit, toutes choses d'ailleurs égales, plus précis que si l'on eût choisi une disposition différente. 11 n'y a personne qui ne sache qu'il est préférable de se placer à une distance telle que l'angle a soit un demi-droit. L'usage a indiqué cette position comme préférable, et, dans une question aussi simple, il n'est pas difficile d'en apercevoir la raison; mais il s'agit de la déduire d'une méthode générale qui s'étende aux questions les plus composées. Cette méthode est fondée sur les notions précédentes, qui donnent la mesure exacte de la précision des résultats calculés. Cette précision devient une quantité proprement dite; elle est exprimée en nombre : il suffit donc de reconnaître les conditions de figures qui rendront cette expression un maximum. Par exemple, on a trouvé que, en formant dans le plan vertical un angle a, la limite de la plus grande erreur que l'on puisse commettre dans la détermination de la hauteur inconnue, et pour chaque unité de mesure, est égale à — > dont la valeur est

/(—Y ( aDa \

y \ h ) \sin2a/

On voit, par cette varie avec l'angle a. Si l'on suppose que l'instrument qui sert à me

D v On voit, par cette expression, que la limite — de l'erreur relative

surer les angles soit donné, et que le procédé qui sert à mesurer la Itase b soit aussi déterminé, on voit que, sans rien changer à ces deux modes de mesures, on pourrait faire varier beaucoup la précision du résultat, qui est ici représenté par — - L'erreur commise par chaque unité de mesure dans la détermination de la hauteur inconnue x deviendra plus petite si, \)b et Da demeurant les mêmes, le sinus de 22

devient plus grand. Si l'on donne à sin2a sa plus grande valeur, qui

1) v est 1, on aura pour — une valeur moindre que si, en conservant \)b

et Da, on donnait à sin2a une valeur quelconque différente de 1.

Donc, en faisant usage d'un instrument donné pour la mesure i\c^

angles et d'un procédé donné pour la mesure de la base b, on ne peut

rien choisir de plus favorable à la précision du résultat que de faire

l'angle a égal à un demi-droit; alors sin2a sera 1; l'expression de —

aura sa moindre valeur possible, savoir

!)./■ /7Di

Si l'angle a n'était pas égal à un demi-droit, la valeur de — serait plus grande que celle qui est exprimée par l'équation précédente. Le résultat de l'opération trigonométrique serait moins précis; et la théorie précédente donne le moyen de comparer la précision relative que l'on obtient lorsque l'angle a est un demi-droit à celle qui répond à une autre valeur de a : il suffit de prendre le rapport des deux valeurs

de On considère ici les erreurs relatives, et c'est la limite de cette

erreur relative que l'on prend dans la question actuelle pour la mesure de la précision.

Les mêmes conséquences s'appliquent à l'erreur moyenne relative. La plus petite valeur a lieu, toutes choses d'ailleurs égales, lorsque l'angle a est un demi-droit; et, désignant cette cireur moyenne par le caractère d, on a

(»<br.

Nous terminerons ce Mémoire par le résumé général des propositions qu'il renferme. C'est l'objet de l'article suivant.

Résumé et remarques diverses.

Plusieurs quantités a, b, c, ... sont regardées comme connues parce que la valeur de chacune d'elles est mesurée au moyen d'un instrument dont l'application peut être répétée. Une quantité inconnue x est exprimée par une certaine fonction des données a, b, c, ... ; la nature de cette fonction est connue; c'est-à-dire que l'on sait de quelle manière il faut opérer sur les données a, b, c, . . . pour que le résultat de la dernière opération soit l'inconnue .r; chacune des données a, b, c, . . . est sujette à une certaine erreur de mesure, que l'on doit regarder comme inévitable, mais qui ne peut excéder certaines limites. Il est évident que les erreurs de toutes ces mesures influent sur l'erreur de l'inconnue a?. La question consiste à déterminer exactement les limites entre lesquelles l'inconnue x est comprise, lorsque

l'on connaît les limites de chacune des données a, b, c, Tant que

ce dernier problème n'est point résolu, on ne se forme qu'une idée imparfaite de l'erreur du résultat x.

Pour résoudre la question précédente, il faut premièrement déterminer, pour chacune des grandeurs a, b,c, ..., les limites entre lesquelles leur valeur est comprise. On trouve ces limites en répétant plusieurs fois l'application de l'instrument et en faisant usage de la règle générale énoncée dans un Mémoire précédent (M). Cette règle consiste à déduire les limites cherchées des différentes valeurs que l'on a obtenues en mesurant plusieurs fois une même quantité, telle que a. On calcule d'abord la valeur moyenne de ces diverses quantités a,, a.2, «3, . . ., am en divisant leur somme aK -+- a., -+- a3 +. . .+ am par leur nombre m. On prend ensuite les carrés de ces différentes valeurs, et l'on divise la somme à\ -+- al -+- a\ -+- . . . ■+- à)n de ces carrés

par leur nombre m, ce qui donne la valeur moyenne des carrés, savoir

On compare cette valeur moyenne des carrés au carré de la valeur

moyenne, savoir

fl„

, et l'on retranche de

la valeur moyenne des carrés le carré de la valeur moyenne. Le reste est ainsi exprimé

(a]-ha\ +

On divise le double de ce reste par le nombre m, et l'on extrait la racine carrée du quotient; désignant par g- cette racine carrée, on a

v/£<flï+B3

+ a* + ...+ ajn)

C'est ce nombre g qui fait connaître la limite de l'erreur de la quantité mesurée a: il suffit de prendre le triple du nombre g; on doit regarder comme certain, dans la pratique, que la valeur exacte de a est comprise entre a — 3g- et a -+- 3g. L'erreur positive ou négative de la valeur a donnée par la mesure est moindre que ± 3g.

Pour connaître le sens exact de cette proposition, il faut considérer que, si l'on pouvait répéter un nombre infini de fois la mesure de la quantité a, et si l'on prenait la valeur moyenne de ce nombre infini de valeurs différentes qu'on aurait obtenues, cette moyenne serait une quantité entièrement fixe; c'est-à-dire que, en mesurant de nouveau une infinité de fois cette même grandeur, la moyenne que l'on obtiendrait par cette nouvelle opération ne différerait aucunement de celle que l'on aurait obtenue par l'opération précédente. La valeur moyenne d'une infinité de résultats donnés par la mesure d'une même grandeur est invariable; on la trouverait toujours la même.

Cette dernière proposition est démontrée depuis longtemps; elle dérive d'un principe fondamental de l'Analyse des probabilités. Nous désignons par A ce résultat moyen et invariable d'un nombre infini de mesures d'une certaine grandeur a.

Si cette grandeur n'a pas été mesurée un nombre infini de fois, mais seulement un nombre de fois fini et désigné par ?n, la valeur moyenne de ces m mesures diffère, en général, de la quantité fixe A, et c'est la différence de cette valeur moyenne a à la grandeur fixe A que nous appelons Y erreur de a; or cette erreur de a est comprise entre a — 3g et a -+- 3g.

Il est nécessaire de remarquer que cette conséquence s'applique aux erreurs fortuites dont la valeur a peut être affectée, soit en plus, soit en moins. Si l'instrument de mesure était sujet à une erreur constante qui se reproduirait toujours, et autant de fois qu'on appliquerait l'instrument, il est manifeste que cette erreur uniforme subsisterait aussi clans la valeur moyenne, quelque grand que pût être le nombre des applications du même instrument. Quant aux erreurs fortuites, elles disparaissent de plus en plus à mesure que le nombre des opérations devient plus grand. On peut toujours, en répétant indéfiniment le nombre des mesures, faire disparaître toutes les erreurs fortuites ; c'est-à-dire que la différence de la valeur moyenne à la grandeur fixe A devient de plus en plus petite lorsqu'on augmente le nombre des mesures, et cette erreur peut devenir moindre que toute quantité donnée.

On détermine, par un calcul semblable, l'erreur moyenne de la grandeur mesurée a; pour cela, on ne multiplie point par 3 le nombre précédent g; on multiplie ce nombre par le facteur 0,47708. Ce produit est l'erreur moyenne de a, et la probabilité de cette erreur est^; c'est-à-dire qu'on est aussi fondé à croire que l'erreur de a surpasse le produit qu'on est fondé à croire que cette erreur de a est au-dessous du même produit.

Ainsi la limite de l'erreur positive ou négative dont la valeur a peut être affectée est ± 3g\ et l'erreur de a qui a pour probabilité ~ est 0,47708^ : c'est cette dernière erreur que nous appelons moyenne. Quant au produit 3g, il exprime la plus grande erreur que l'on puisse, dans la pratique, attribuer à la quantité mesurée a : cette plus grande erreur n'est pas rigoureusement impossible, mais sa probabilité est

extrêmement petite; elle tombe au-dessous de ^r,,- Après avoir ainsi déterminé la limite de l'erreur de a et l'erreur moyenne de cette même quantité a, il faut en déduire : i° la limite de l'inconnue a?; 2° l'erreur moyenne de cette même inconnue .r, qui est une certaine fonction

¥(a, b, c, ... ) des grandeurs mesurées a, b, r, d Pour résoudre

ces deux questions, on opérera comme il suit sur la fonction donnée Y (a, b, r, ...) :

i" On désigne par D« la limite de l'erreur de l'une des données a, et par Db, De, ... les limites di^ erreurs des autres données b, c, ...; ces petites quantités Da, Db, Dr, . . . sont connues par l'application du procédé que l'on vient de rapporter. Cela posé, on substitue pour <i, b, c, d, . .., dans la fonction F (7/, b, c, ...), les valeurs qui résultent immédiatement des mesures, ce qui donne un premier résultat F; ensuite on augmente une seule des grandeurs, telle que a, de cette petite quantité Da qui exprime la limite de l'erreur de a, et l'on calcule la nouvelle valeur F(a-hDa, b, c, ...); c'est-à-dire que l'on recommence le calcul précédent en faisant varier la seule grandeur « de l'accroissement Da, et conservant à toutes les autres données leurs valeurs précédentes. On trouve ainsi un second résultat F', qui diffère 1res peu de F. Nous désignons par DaF la différence F — F, pour indiquer qu'elle provient de l'accroissement Da, attribué à la seule donnée a dans la fonction ¥(a, b, c, ...). On opère de la même manière pour une autre donnée b, et successivement pour toutes les autres c, d, c, ...; et l'on trouve les différences D„F, D6F, D(,F, . .. qui

répondent aux variations D„, Dé, D, 11 ne reste plus qu'à prendre

les carrés de ces différences, et la racine carrée de la somme de ces carrés : l'expression

D.r ^Ul)„Kr-(l)J-r-+-l)fKr^...

esi celle de la limite D.r de l'erreur de l'inconnue x : on est assuré que la valeur de x est comprise entre ¥(a, b, c, . . . ) — Dr cl V ( a, b, r, . . . ) — Da?.

2" Si maintenant on désigne par de/ l'erreur moyenne de l'une des M.

grandeurs connues a, et par db, de, ... l'erreur moyenne de chacune des autres données b, c, . . ., ces erreurs moyennes seront données par l'application de la règle que l'on a rapportée plus haut, et qui consiste à multiplier g par le facteur 0,47708. On fera varier une seule des grandeurs, telle que a, de la petite différence da, et l'on obtiendra un résultat qui, étant comparé à Y {a, b, c, . . .), donne une différence que nous désignons par d„F. Ayant déterminé ces différences pour chacune des autres quantités b, c, . .., on ajoute tous les carrés et l'on prend la racine carrée de la somme. L'expression

dr = v/(daF)2+(dAF)2+(deF>H- ...

est celle de l'erreur moyenne de l'inconnue x; la probabilité de cette erreur est |; il est précisément aussi possible que l'erreur commise en prenant x égal à Y(a, b, c, . . .) surpasse cette erreur moyenne dx qu'il est possible que l'erreur commise soit au-dessous de cette même erreur moyenne.

On peut aussi trouver, par l'Analyse différentielle, les petits accroissements que nous avons désignés par DaY, Db¥, DCF, ... ou d„F, dAF, . . ., en différentiant la fonction donnée F(a, b, c, . . .) par rapport aux quantités a,b,c, ...; mais l'opération pratique qui vient d'être indiquée supplée à ce calcul; et, si l'on excepte des cas très simples où la différentiation exige peu de calcul, on trouvera que la règle usuelle qui vient d'être donnée conduit beaucoup plus promptement à la connaissance des valeurs de D„F, DéF, . . . , d„F, dbY, ....

Au reste, pour la facilité de l'application, on doit faire les remarques suivantes. Dans la fonction donnée ¥(a, b, c, ...), il s'agit de faire varier une seule des grandeurs, par exemple a, d'une très petite quantité Da, que l'on vient de déterminer par la règle des résultats moyens. On fera d'abord varier a d'un petit accroissement exprimé par un nombre simple, par exemple d'une minute ou d'une seconde si a est un angle, ou d'un centimètre ou d'un millimètre si a est une longueur. On fera donc, dans la valeur précédente de

qui vient d'être calculée, la petite correction que doit produire cet accroissement d'une seconde ou d'un millimètre. II ne restera plus qu'à multiplier cette correction par la valeur trouvée pour D«. En opérant de cette manière pour toutes les autres variations D/>, De, . . ., àb, de, . .., on obtiendra facilement les accroissements D„F, D^F, . . ., daF, dèF, .. . qui entrent sous le signe radical dans l'expression de la limite Dj? ou de l'erreur moyenne d.r. Le calcul numérique que cette règle exige est beaucoup plus prompt que celui qui proviendrait des différentiations, presque toujours compliquées, des formules trigonomé triques.

Les règles précédentes déterminent donc : i° l'expression de la limite de l'erreur d'une inconnue x qui est une fonction donnée F(a, b, c, .. .) de grandeurs mesurées a, b, c, ... ; 20 l'erreur moyenne de cette même inconnue, c'est-à-dire l'erreur dont la probabilité est £. Ces deux résultats complètent la connaissance que fournit le calcul, et l'on se forme ainsi une juste idée de l'erreur à laquelle on est exposé dans chaque application.

L'expression analytique de la limite de l'erreur de l'inconnue ou de l'erreur moyenne conduit à une autre conséquence remarquable; elle fait connaître comment les grandeurs mesurées concourent à déterminer soit la limite Dj?, soit l'erreur moyenne dx, et, par conséquent, elle sert à résoudre cette question : Quelles sont les conditions de figure et, en général, quelles sont les valeurs des données a, b. c. ... qui sont les plus favorables à la précision du résultat du calcul? Ces valeurs sont celles qui donneraient la moindre valeur possible à la limite Dr de l'erreur de l'inconnue et, par conséquent, à l'erreur moyenne il.r. Ainsi, dans les opérations trigonométriques dont l'objet est de déduire, de certaines grandeurs qui peuvent être mesurées, d'autres grandeurs que Ion ne pourrait point mesurer immédiatement, il est important de connaître quelles sont, parmi les conditions dont on peut disposer, • elles qui rendraient le résultat plus précis. Il est facile de les distinguer lorsque l'expression trigonométrique est très simple, par exemple lorsqu'on veut conclure une hauteur verticale de la mesure d'une base

horizontale; mais, dans des cas un peu plus composés, cette discussion nécessite un plus long examen, et la solution régulière de la question doit être l'ondée sur les théorèmes énoncés dans le présent Mémoire. Non seulement on parvient ainsi à connaître les conditions de ligure qui doivent être préférées, ou dont il faut se rapprocher le plus qu'il esl possible; mais on distingue quelles sont les quantités qu'il importe le plus de mesurer avec précision. On peut estimer, par cette théorie, le degré de précision, et comparer numériquement celle qui résulte de certaines conditions de ligure avec celle que l'on obtiendrait si ces conditions étaient différentes. Nous avons, dans notre premier Mémoire sur les résultats moyens, donné une règle générale et facile pour estimer le dv^vi' d'exactitude de ces résultats. Nous étendons maintenant l'usage de cette règle à tous les cas où l'on déduit par le calcul une valeur inconnue des diverses quantités qui peuvent être mesurées immédiatement, mais dont la détermination est sujette à des cireurs inévitables. Il en résulte que la valeur calculée est elle-même sujette à une erreur correspondante. Nous déterminons les limites de relie erreur. L'emploi du calcul devient donc comparable à celui d'un instrument dont on connaît exactement la précision. Nous pensons que la publication de ces théorèmes sur les erreurs des mesures et suc la précision des résultats du calcul contribueront à perfectionner les applications des Sciences mathématiques. Ces considérations appartenaient naturellement à une Collection qui a pour objet d'observer et île constater tous les principaux éléments de la prospérité publique.

Sommaire îles Articles.

J. Exposé de la queslion. Elle a pour objei de découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultai dépend des erreurs partielles des mesures.

IL Exemples propres à faire connaître la nature de cette question.

III. Expression différentielle de l'erreur du résultat ealculé. Celte expression ne suffirai! point pour résoudre la question que l'on doit se proposer.

IV. Enoncé de la règle générale qui résout celte dernière question; calcul de la limite de l'erreur.

\ . application de la même règle au calcul de l'erreur moyenne.

VI. Remarques sur l'emploi de cette règle; énoncé exact de la conséquence qu'elle fournit.

VII. Application au cas où l'inconnue est égale à la somme des quantités mesurées.

VIII. Remarque sur le résultai que l'on trouverait en ne considérant que les plus grandes limites des erreurs partielles.