MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS LES FLUIDES

(Lu à l'Académie royale îles Sciences, le \ septembre 1820.)

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France, l. XII, p. "107 a 53o. Paris, Didol ; 1 8 î 3 ( ' i.

On est parvenu à exprimer par des équations générales à différences partielles les conditions du mouvement des fluides. Cette découverte, qui est un des plus beaux résultats de la'Géométrie moderne, est due à d'Alembert et à Euler. Le premier a publié ses recherches dans l'Ouvrage qui a pour titre : Essai sur la résistance des fluides. Euler a traité ce même sujet dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, année 17V). Il y donne ces équations sous une forme simple et distincte qui embrasse tous les cas possibles, et il les démontre avec cette clarté admirable qui est le caractère principal de tous ses écrits.

Les équations générales qui se rapportentau mouvement des liquides sont au nombre de quatre : trois d'entre elles expriment l'action des forces accélératrices; la quatrième est donnée par la condition de la continuité.

Pour connaître le mouvement du liquide, il faut pouvoir déterminer à chaque instant la vitesse actuelle d'une molécule quelconque, la

(') Fourier étant mort le i<> mai i8>o. ce Mémoire ;i été imprimé d'après le manuscrit qu'il avait communiqué à l'Académie; l'extrait qui le suit a dû être tiré des papiers laissés par l'illustre géomètre. G. I).

direction de son mouvement, et la pression qui s'exerce en ce point de la masse fluide. Ainsi l'on regarde, dans cette analyse, comme grandeurs inconnues, trois quantités qui mesurent les vitesses partielles d'une même molécule dans le sens des trois coordonnées orthogonales, et une quatrième quantité qui mesure la pression: Ces quatre inconnues, et le temps écoulé, sont les seuls éléments du calcul. Dans les fluides élastiques, tels que l'air, la densité est variable, et elle a avec la pression un rapport très simple que des expériences réitérées ont démontré. Il y a donc toujours un nombre d'équations précisément égal à celui des quantités inconnues. Les conditions physiques de la question se trouvent ainsi déposées dans le calcul et rigoureusement exprimées, ce qui était l'objet spécial de cette recherche.

Après cet exposé, nous remarquerons que la température variable des molécules fluides est aussi une cause dynamique, que l'on ne doit point omettre d'introduire dans le calcul. Elle influe toujours sur le mouvement dans les substances aériformes; car il ne peut y avoir de changement de densité ou de pression sans qu'il en résulte des changements de température; et cette même cause concourt aussi à déterminer les mouvements des liquides toutes les fois que la distribution de la chaleur n'est pas uniforme. Nous retrouvons cette action de la chaleur dans les grands phénomènes de la nature. Les mouvements généraux et périodiques des diverses parties de l'atmosphère, et les courants principaux de l'Océan, sont occasionnés par l'inégale distribution de la chaleur solaire, dont l'effet se combine avec ceux de la gravité et de la force centrifuge. Ces considérations, et plusieurs autres du même genre, m'ont porté à rechercher avec beaucoup de soin l'expression analytique des mouvements de la chaleur dans l'intérieur des masses fluides. Il est évident de soi-même que la température de chaque molécule fluide est un élément variable qui modifie tous les mouvements intérieurs; mais il ne suffit point d'introduire dans le calcul de ces mouvements une quantité qui désigne la température; il faut ajouter une équation spéciale qui se rapporte aux variations de la chaleur en exprimant la distribution instantanée. L'objet précis de notre Mémoire

est de découvrir cotte nouvelle équation, afin «le la joindre à celles qui représentent l'effet des forces accélératrices, et de compléter ainsi l'expression analytique des mouvements des fluides.

Nous avons considéré principalement les fluides qui ont été appelés incompressibles. Les mômes principes s'appliquent aux fluides aériformes, quoique la forme des équations soit différente; mais nous pensons, en ce qui concerne cette dernière espèce de corps, que, pour achever entièrement la recherche des équations générales, il faudrait se fonder sur une série d'observations que nous ne possédons point encore.

A la suite des quatre premières équations hydrodynamiques, qui sont connues et démontrées depuis longtemps, j'ai écrit celle qui exprime les variations de la température. Les géomètres jugeront de ce nouveau résultat.

a, [3, y désignent les trois vitesses orthogonales d'une molécule dont

les coordonnées sont x, y, z; i est la densité variable de cette molécule; 0 est la température; / le temps écoulé.

Cette cinquième équation se forme, comme on peut le voir, d'une première partie qui exprime la distribution de la chaleur dans les masses solides : elle coïncide en cette partie avec l'équation générale que j'ai donnée dans mes premiers Mémoires en 1807, et elle contient de plus les termes qui dépendent du déplacement des molécules.

Dans la première partie de notre démonstration, nous avons rappelé celle des équations qui expriment le mouvement de la chaleur dans l'intérieur des solides et à leur surface. Si l'on examine ces questions avec toute l'attention qu'elles exigent, on reconnaîtra, comme nous l'avons dit plusieurs fois, que les principes mathématiques de la Théorie de la chaleur ne sont ni moins clairs ni moins rigoureusement démontrés que ceux des théories dynamiques; qu'ils sont féconds en applications utiles, et que les résultats sont exactement conformes

ii ceux des expériences; enfin, que ces principes sont indépendants de toute hypothèse physique sur la nature de la chaleur.

C'est dans les écrits de Newton que l'on trouve les premières vues sur la théorie mathématique de la chaleur. Ensuite, l'Académie des Sciences de Paris n'a cessé de diriger sur cet objet l'attention des géomètres. Amontons avait fait la première expérience propre à éclairerla question de la propagation de la chaleur. Cette question fut proposée comme sujet d'un prix pour l'année 1788. La collection de nos Mémoires contient, outre la pièce couronnée, dont l'auteur est Euler, deux autres pièces qui furent approuvées et publiées, comme remplies de vues cl de faits très bien exposés : ce sont les termes du Rapport. L'une est de Mme Emilie du Chàtelet, l'autre de Voltaire. Je ne citerai point ici les recherches ultérieures qui ont été faites sur le même sujet : j'ai voulu seulement rappeler que cette branche de la Physique mathématique a toujours été spécialement cultivée en France, et qu'elle doit à cette Académie ses progrès les plus remarquables.

11 me reste à donner une idée générale du principe que j'ai suivi pour former l'équation du mouvement de la chaleur dans les fluides.

Si l'on suppose qu'un liquide pesant est contenu dans un vase où la masse est actuellement en équilibre, et si l'on conçoit que les molécules viennent tout à coup à recevoir des températures inégales, l'équilibre cessera de subsister. Il s'établira dans toutes les parties du liquide des mouvements infiniment variés, et les conditions de ces mouvements ont des rapports nécessaires avec la distribution de la chaleur initiale. Si, indépendamment de l'inégalité des températures, qui suffirait pour occasionner ces déplacements, on suppose que la masse fluide est soumise à des impulsions extérieures qui ne se font point équilibre, les mouvements des molécules seront encore plus composés. Ils mêleront de plus en plus les différentes parties de la masse, et concourront ainsi ;i faire varier les températures; en sorte qu'il y a une influence réciproque des effets dynamiques proprement dits et de ceux qui dépendent de la distribution de la chaleur.

Il parait d'abord singulièrement difficile d'assujettir ii un calcul

exact toutes ces variations de température, et de les comprendre dans une équation générale. Mais un examen très attentif de cette question montre qu'elle peut être complètement résolue.

Pour parvenir à cette solution, il faut concevoir dans l'intérieur de la masse un espace déterminé, par exemple le volume d'un prisme rectangulaire compris entre six plans dont la position est donnée. On examine tous les changements successifs que subit la quantité de chaleur contenue dans l'espace prismatique. Cette quantité varie à chaque instant, et par deux causes très distinctes. L'une est la propriété que les molécules du fluide ont de communiquer leur chaleur aux molécules assez voisines, lorsque les températures sont inégales. En vertu de cette propriété, dont les liquides ne sont point dépourvus, comme on l'a quelquefois supposé, la chaleur tend à se distribuer d'une manière plus égale, et se dispose insensiblement à l'état d'équilibre : elle pénètre donc à travers les surfaces rectangulaires qui terminent le prisme, et l'effet instantané de cette propriété de la chaleur est celui qui aurait lieu si la masse était solide.

A cette première cause, commune à toute espèce de matière, il s'en joint une autre qui est propre aux fluides. Les molécules elles-mêmes se déplacent, et elles apportent dans cet espace prismatique la chaleur qu'elles contiennent; ou, en sortant de ce même espace, elles emportent cette chaleur qui leur est propre.

La question se réduit donc à faire séparément le calcul de la chaleur acquise par l'espace prismatique en vertu de la communication, et de la chaleur acquise par cet espace en vertu des mouvements des molécules. Nous connaissons l'expression analytique de la chaleur communiquée, et ce premier point de la question est pleinement éclairci. 11 reste donc à tenir compte de la quantité de chaleur transportée : elle ne dépend que des vitesses des molécules et des directions qu'elles suivent dans leurs mouvements.

On calcule donc premièrement combien il entre de chaleur par l'une des faces du prisme, soit par voie de communication, soit à raison de l'écoulement du fluide; secondement, combien il sort de chaleur par

la face opposée, à raison de l'une et de l'autre cause. Appliquant ce calcul à chacun des rectangles qui terminent le prisme, on connaît combien il acquiert de chaleur pendant un temps donné; et si l'on distribue cette chaleur acquise entre toutes les molécules, on connaît l'augmentation moyenne de la température pendant ce même temps. En rapportant les expressions précédentes à la durée d'un instant, et à un prisme infinitésimal, on forme l'équation dont nous avons parlé. Elle est à différences partielles, comme celles du mouvement des fluides. Par là, on introduit dans l'analyse de ces mouvements une nouvelle variable, la température, et une nouvelle équation qui sert à la déterminer.

Equations générales du mouvement et de la température des fluides incompressibles.

x, y, z, coordonnées d'un point de l'espace occupé par une molécule; /, temps écoulé;

a, (3, -y, vitesses partielles de la molécule pour augmenter les coordonnées oc, y, z:

p, pression qui s'exerce contre la molécule; £, densité variable de la molécule; 0, température variable de cette molécule.

Les coefficients K, C, h mesurent la conductibilité propre de la masse, la chaleur spécifique et la dilatabilité, a, (3, y, p, s, 0 sont des fonctions de x, y, z, t.

i dp da doc „dtx dot.

£ dx dt dx dy ' dz

i dp dS de rdë d§ „

£ dy dt dx dy ' dz

i dp dy dy , dy dy „

r^K/^0 à'O d2 dt — C [ dx*

On désigne par X, Y, Z les trois résultantes orthogonales des forces qui agissent sur une molécule quelconque dont les coordonnées sont ce, y, s; e est la densité qui répond à la température zéro, assez éloignée du changement d'état.

Les quatre premières équations sont connues et démontrées depuis longtemps.

La cinquième exprime le mouvement de la chaleur dans les fluides incompressibles.