DES NOTES .MANUSCRITES CONSERVÉES PAR L'AUTEUR

On se propose d'étendre la recherche des lois du mouvement de la chaleur à une question qui parait d'abord très composée, savoir celle de la distribution de la chaleur dans les fluides. Nous ne considérerons ici que les fluides qui ont été désignés sous le nom d'incompressibles. On concevra donc une masse liquide dont toutes les molécules, inégalement échauffées, sont soumises à l'action de forces accélératrices, et dans laquelle la situation et la température de chaque molécule varient à chaque instant. Il s'agit de déterminer toutes les quantités qui font connaître la vitesse actuelle des molécules, la direction de leur mouvement et leur température.

Nous désignons par a la vitesse avec laquelle une molécule dont les coordonnées sont ce, y, z s'avance parallèlement à l'axe des ce; fi est la vitesse de la même molécule dans le sens suivant lequel les coordonnées y augmentent; et y est la vitesse parallèle à l'axe des z. Il s'agit de déterminer a, fi, y en fonction des coordonnées x, y, z et du temps écoulé /. Nous désignons par 0 la température que cette même molécule a acquise à la fin du temps /.. Il est évident que, si les trois IL 76

vitesses orthogonales a, fi, y et la température 0 étaient ainsi exprimées en fonction des coordonnées x, y, z et du temps /, il ne resterait plus rien d'inconnu dans l'état variable de la masse fluide, en sorte que l'on pourrait déterminer cet état pour chaque instant : p est la pression qui s'exerce à la fin du temps / sur la molécule fluide dont x, y, - sont les coordonnées; t est la densité actuelle de cette molécule. Cela posé, nous admettons comme démontrées les quatre équations suivantes :

i dp doc doc „ doc doc e ox dt dx dy ' dz

£ dy dt dx dy ' dz

1 r)p .i. dy 4 a dv l a °y + v ày

e dz "' dt +adx + ? dy+ / dz~

ds àzoc dî& diy

77 + -,— + -r- -+- V1 = °dt dx dy dz

Le terme X exprime en fonction de x, y, z et l la résultante des forces accélératrices qui agissent parallèlement à l'axe des x sur la molécule dont.r, y, z sont les coordonnées; Y est la résultante de ces forces parallèle à l'axe des y, et Z est leur résultante agissant dans le sens de l'axe des z. Ces forces tendent respectivement, quand elles sont positives, à augmenter les coordonnées x, y, z.

Il serait inutile de rappeler les démonstrations si connues de ces équations. Nous supposons que l'on se représente les éléments de cette question tels qu'ils sont exposés dans les Ouvrages d Euler (Mémoires de V Académie de Berlin pour l'année 1 755).

Concevons maintenant que, par un point m de la masse fluide, on trace un plan perpendiculaire à l'axe des z, et cherchons quelle quantité de chaleur passe, pendant un instant dt, de la partie de l'espace qui est au-dessous de ce plan dans la partie de l'espace qui lui est supérieure. Soit w l'aire infiniment petite d'un disque dont le centre est en m, et qui est perpendiculaire à l'axe des z. Si toutes les molécules étaient immobiles, et que les changements de température dussent

résulter seulement de la communication de la chaleur, qui tend toujours à se distribuer uniformément, il a été démontré ( ' ) que la quantité de chaleur qui s'élèverait au-dessus du plan à travers le disque to pendant le temps infiniment petit dt aurait pour expression -K-riorf/. C'est la mesure exacte de la chaleur communiquée, qui, abandonnant certaines molécules, passe dans celles qui leur sont contiguës. Le coefficient K est celui que nous avons défini. Il se. rapporte à la substance liquide elle-même, et exprime la facilité avec laquelle la chaleur s'y propage comme dans un milieu solide.

Indépendamment de cette chaleur qui passe d'une molécule à une autre, il faut considérer celle qui est transportée par les molécules elles-mêmes à travers le disque eu. Nous avons désigné par C la quantité de chaleur qui, étant ajoutée à l'unité de volume du liquide, porterait la masse occupant ce volume de la température o à la température i de Pébullition de l'eau. D'après cela, si, pendant l'instant dt, il s'écoulait à travers le disque w, de bas en haut, une masse liquide d'un volume \x et d'une température exprimée par 0, cette masse apporterait dans l'espace supérieur au plan une quantité de chaleur égale à Cu.0. On regarde ici comme une constante la quantité de chaleur que la masse contient lorsqu'elle est à la température zéro de la glace fondante, et l'on ne calcule que les différences, ou positives, ou négatives, qui sont ajoutées à cette constante commune, ou qui en sont retranchées. Or le prisme fluide qui traverse le disque pendant l'instant dt a pour base l'aire a>, et cette section co, qui au commencement de l'instant dt coïncidait avec le disque, s'en est éloignée pendant la durée de cet instant, en sorte qu'à la fin de cette durée sa distance au disque, mesurée perpendiculairement au plan de ce disque, est ydt. La quantité de chaleur transportée par l'effet de ce mouvement au-dessus du plan est donc Ca>y <-// 0.

Elle s'ajoute à la chaleur qui s'est communiquée dans le même temps en passant d'une molécule à une autre, comme cela aurait lieu

( • > Théorie de la chaleur, Chap. I'". art. 98.

dans un corps solide. Ainsi la quantité totale de chaleur qui, pendant le temps dl, s'élève à travers le disque au-dessus de son plan, soit en vertu du déplacement des molécules, soit en vertu de la communication, a pour expression

uydt(~K~ -t-CyôY

Si le mouvement du fluide était supposé connu, c'est-à-dire si les quantités a, [3, y étaient données en fonction de x, y, s et t; et si, de plus, on connaissait la valeur de 0 en fonction de ces mêmes variables, on déterminerait donc facilement la quantité de chaleur qui, pendant un temps donné T, s'écoule à travers une portion déterminée d'un plan perpendiculaire à l'axe des z; car, désignant par zéro et a, zéro et b les limites de l'aire rectangulaire tracée sur ce plan, on écrirait dxdy au lieu de l'aire infiniment petite w, et l'on prendrait la valeur de l'intégrale définie

( *f"ji'(-K!'+c?5)rf-''-

Y et 0 étant des fonctions supposées connues de x, y, s, /, K et C des nombres constants, et a, b, c, t, T des nombres donnés, on trouverait la valeur numérique de l'intégrale, ou de la quantité de chaleur qui, dans le temps donné, et toute compensation faite des grandeurs positives et négatives, a passé à travers le rectangle au-dessus du plan.

La même conséquence s'applique à toutes les positions que l'on pourrait donner à l'aire infiniment petite w qui passe par le point m. Si cet élément était situé sur un plan perpendiculaire à l'axe des y, la quantité de chaleur qui, traversant l'élément, passe pendant l'instant dl de l'espace antérieur au disque dans l'espace opposé serait

et, si le plan de l'élément w était perpendiculaire aux x, la quantité

de chaleur qui le traverse pendant la durée dt serait

En général, on appliquerait cette conséquence à toutes les positions du plan o>. Il suffirait de remplacer a et j- par les quantités qui mesurent la vitesse de la molécule m perpendiculairement au plan, et le flux de la chaleur communiquée suivant cette direction. C'est ainsi que l'on déterminerait, dans une masse fluide dont le mouvement et la température variables seraient connus, le flux total de chaleur, soit transportée, soit communiquée, à travers un diaphragme dont la figure et la position seraient données.

Considérons maintenant une capacité prismatique comprise entre six plans rectangulaires infiniment voisins, dont trois passent par le point m. On déterminera, au moyen de la proposition précédente, la quantité de chaleur qui entre pendant la durée dt dans cet espace prismatique à travers le rectangle dxdy, et l'on en retranchera la chaleur qui, pendant le même temps, sort de cet espace a travers la face opposée. On connaîtra ainsi la chaleur que l'espace prismatique acquiert en vertu du transport, ou de la communication qui s'opère dans le sens des ordonnées z. On trouvera un résultat semblable par rapport à l'axe des y, et un troisième résultat pour l'axe des x. En ajoutant ces trois quantités, on connaîtra combien l'espace infinitésimal que l'on considère acquiert de chaleur pendant un instant, soit par voie de communication de molécule à molécule, soit par le transport de ces molécules. Soit A cette quantité totale de chaleur acquise par le volume rectangulaire dont les dimensions sont d.r, dy, dz. On considérera qu'une quantité de chaleur égale à Cdxdydz élèverait une masse de liquide occupant ce volume de la température o à là température r. Par conséquent, sera l'augmentation de température due à la

\^à CIjC Cl y Cl -3

chaleur acquise A. Il ne reste plus qu'à établir le calcul :

dyds(—Kj^ -+-Ca9\dt

est la quantité de chaleur qui, pendant la durée dt, traverse l'aire dy dz et entre dans le prisme. Pour connaître la chaleur qui sort à travers la face opposée, il suffit d'ajouter à l'expression précédente sa différentielle prise par rapport à x seulement, et l'on a pour l'expression de cette chaleur

dy dz I — K h G ad I dt -+- dy dz I — K h G -5— ) dx dl.

Retranchant cette quantité de la précédente, on trouve

, , , /„ (P9 da9\ .

dxdydz(K^-C-d-y/t

pour l'expression de la quantité de chaleur acquise par l'effet de la communication ou du déplacement qui s'opère dans le sens des ce. On trouvera donc aussi

dx dydz[K-^-—C -£— dt J \ dy1 dy )

pour exprimer la chaleur que la molécule prismatique dont la température était 0 acquiert durant l'instante, en vertu de la communication et du transport selon l'axe des y. Enfin l'expression

dx dy dz ( K -t-t — C —— ) dt J \ dz- dz J

mesure la chaleur acquise par la même molécule, en vertu de la communication et du transport selon le sens des z.

On ajoutera donc ces trois quantités de chaleur acquises; et divisant

la somme par Cdxdydz, on connaîtra l'augmentation -r-±dt de la tem-

1 ^ ° dt

pératurc pendant la durée dt de l'instant. On forme ainsi l'équation

.„, rd9 vfà*6 d29 d*9\ tJda9 d$6 dy9\

dt \dxl dy- dz1 J \ dx dy dz J

C'est cette équation qui doit être jointe aux quatre précédentes (1) et ( 2), afin que le mouvement et les températures variables de toutes les parties de la masse fluide soient généralement exprimés.

On a considéré les variations de température dans un élément prismatique rectangulaire, et la matière qui occupe ce volume infiniment petit subit pendant la durée dt des changements dans sa densité, sa vitesse et la direction de son mouvement. Si de là il restait quelques doutes sur l'exactitude rigoureuse de la démonstration, on pourrait parvenir au même résultat par une voie différente.

En effet, si les quantités a, (3, -y et 0 étaient connues en fonction de x, v, s, /, on pourrait déterminer la quantité de chaleur qui, pendant la durée du temps At, s'ajoute à celle que contenait déjà un volume prismatique fini, compris entre des faces rectangulaires données. Il suffirait de calculer, au moyen de la proposition démontrée dans l'article précédent, combien, pendant le temps donné Al, il entre de chaleur à travers une des faces, et combien il en sort à travers la face opposée. En faisant un calcul semblable pour chacune des six faces, on connaîtrait la nouvelle quantité de chaleur que l'espace prismatique acquiert pendant le temps donné.

Or on pourrait aussi déterminer par un autre calcul cette même quantité de chaleur. 11 faudrait pour cela chercher combien une partie infiniment petite de ce prisme reçoit, pendant un instant dt, d'augmentation de température, et, multipliant cette augmentation par le coefficient C qui mesure la capacité spécifique, on connaîtrait combien l'élément infiniment petit acquiert de chaleur pendant un instant. On intégrerait ensuite par rapport aux variables oc, y, z entre les limites données, par exemple depuis x = x, y=y, z = z jusqu'à x = x-j-Ax, y = y h- Ay, z = s-{-Az; et l'on intégrerait aussi, par rapport au temps t, depuis / = / jusqu'à / = / -+- Al. Le résultat de celte intégration serait la quantité de chaleur acquise par l'espace prismatique; et il serait précisément égal au résultat que l'on aurait trouvé précédemment en ayant égard aux quantités de chaleur qui pénètrent chaque face, soit pour entrer, soit pour sortir.

On voit par là que, si les quantités a, (3, y, 0 étaient trouvées eu fonction de x, y, z, l, ces fonctions satisferaient à la condition que l'on vient d'énoncer. Il faut donc exprimer cette identité des deux ré-

sultats, et l'on formera ainsi une équation qui doit subsister entre les fonctions inconnues.

La quantité de chaleur qui, pendant le temps A*, pénètre dans le prisme à travers une première face perpendiculaire à l'axe des x est

rt+Lt y+Ay z + Az, d9 ,

On doit écrire après les intégrations x ■+- Ax à la place de x, et retrancher le second résultat du premier, puisque l'on a vu que le premier résultat mesure la chaleur entrée par l'une des faces, et le second la chaleur sortie par la face opposée. En désignant, pour abréger, par P la fonction placée sous les signes d'intégration, on aura donc

,t-hAt „y+Ay „z+Az

/t -r- ut ~j -r ^j si ~ -t- <-»-■

dt i dy / AP dz

pour exprimer la quantité de chaleur acquise par le prisme en vertu du transport dans le sens des x. Maintenant on doit remarquer que l'on peut écrire

au lieu de

fdtfdffAPdz;

et surtout que, si l'on prend l'intégrale par rapport à x entre les limites x et-r + A-r, on effectue par cela même la difTérentiation finie indiquée par le signe A. En effet, soitcp(a) une fonction quelconque de x :

on écrira au lieu de <p(#), i y dx ou / y'(x)dx, et si l'on prend

cette intégrale depuis.r = irjusqu'à.r = ;r-i-A.:r, on a<p(o;-f-Aa;) — o{x), c'est-à-dire A ©(#•). Il suit de là que la quantité

// + A^ „y+Ay „Z + Az

dt / dy l AI» dz,

ou l'expression de la chaleur acquise par la communication et le mou-

DANS LES FLUIDES, vement dans le sens dos x peut être mise sous cette forme

.f + At

/ *jf „,/ >/

<lz

dz.

On aura un résultat semblable si l'on calcule la différence de la chaleur entrée par une face perpendiculaire à l'axe des y à la chaleur sortie par la face opposée. Ce résultat est

L'expression qui se rapporte au plan perpendiculaire à l'axe des z est

On omet d'écrire les limites des intégrales, qui sont les mêmes dans ces trois expressions. Leur somme sera la quantité totale de la chaleur acquise par le prisme pendant le temps A/.

D'un autre côté, la chaleur totale qui, dans l'étendue du prisme, a déterminé les augmentations de température est exprimée, d'après ce qui a été dit plus haut, par l'intégrale

et les limites des intégrations sont les mémos que celles des intégrations précédentes. On doit donc égaler les deux résultats; et en différentiant par rapport à /, r, v, s, on aura la mémo équation que colle qui a été trouvée précédemment.

Les coefficients C et K ont été regardés comme constants, quoiqu'ils subissent en effet quelques variations à raison des changements de IL 77

(i 10 SUR LE MOUVEMENT DE LA CHALEUR

densité. Il serait nécessaire d'y avoir égard si l'on considérait le mouvement des milieux aériformes, ou si les différences de température étaient extrêmement grandes. Mais dans les questions qui se rapportent aux liquides, on doit faire abstraction de ces variations presque insensibles des coefficients. Au reste, il serait très facile d'introduire les variations dont il s'agit dans le calcul en suivant les principes que nous venons d'exposer.

Nous reprendrons maintenant les équations (i) et (2), et nous remarquerons que la densité £ a une relation nécessaire et connue avec la température 0. Désignant pare la densité qui répond à une température donnée b, on aura généralement

car, les températures étant comprises dans des limites assez peu éloignées, les accroissements de densité, à partir d'un certain terme, demeurent sensiblement proportionnels aux accroissements de température. On pourrait aussi ne point regarder ce rapport comme constant, et avoir égard à ces variations. Il suffirait de modifier l'expression précédente de la relation entre sel 0. Le coefficient h exprime, comme on le voit, la dilatabilité de la masse fluide : on le suppose connu par les observations.

On pourra substituer la valeur précédente de 1 dans les équations (1 ) et ( 2 ), et ajouter à ces équations celle que nous avons démontrée. Les cinq équations contiendront, comme grandeurs inconnues, les vitesses orthogonales a, S, y, la pression/; et la température 0. L'équation (2) deviendra

(I nous parait préférable de conserver les équations {1) et ^2), qui se rapportent au mouvement du fluide et contiennent la densité e, en v ajoutant la cinquième équation (3) qui détermine les variations des températures. Il suffira de remarquer qu'il existe entre z et 0 une rela-

DANS LES FLUIDES. (ill

tion donnée par l'expérience, et que l'on peut en général représenter

comme il suit :

t = e[i-h h(rJ — h)\.

Les mouvements et les températures variables des diverses parties d'un fluide incompressible sont donc exprimés par les équations (i), (2) et ( 3). La dernière est celle qui exprime les températures : elle montre que le changement instantané que ces températures subissent résulte de deux causes. L'une correspond à la première partie du second membre. Elle consiste dans la communication de molécule it molécule. L'autre partie du second membre se rapporte à la seconde cause, qui est le déplacement des molécules inégalement échauffées.

Indépendamment des conditions générales exprimées par ces équations, chaque question particulière présente des conditions spéciales qui se rapportent à l'état de la surface. Cette remarque s'applique aussi aux températures; et les principes que nous avons posés serviront dans tous les cas à former les équations propres à la surface. On ne les considère point ici, parce qu'on a seulement en vue d'exprimer les conditions les plus générales, communes et applicables à toutes les questions, et qui déterminent les mouvements des molécules ou la distribution de la chaleur.

On a supposé que le vase qui contient le fluide est imperméable à la chaleur. La déperdition qui s'opère au contact des parois ou à la superficie exposée à l'air produit dans les températures des changements qui seraient exprimés par les équations à la surface.

Il est nécessaire de remarquer que l'on ne considère point dans ces recherches le cas de l'équilibre non stable, c'est-à-dire de celui qui satisfait aux conditions mathématiques de l'équilibre absolu, mais qu'une impulsion extérieure pourrait détruire aussitôt. Les ebange- * ments de température contribueraient à l'impossibilité physique (Yuw pareil état, et la distribution de la chaleur qui aurait lieu dans le changement d'étal est l'objet d'une question spéciale que nous ne traitons point ici.

Le coefficient h, qui mesure la dilatabilité, a une valeur assez petite, que l'on peut omettre dans plusieurs cas. Alors les quatre premières équations (i) et (2) sont celles qui expriment le mouvement des fluides incompressibles. L'équation (2) devient

dot. do dy

ôx a y ôz

en sorte que la cinquième équation (3) prend dans ce cas la forme suivante :

nd6 ,-iôir) <r-0 dld\ / 00 rô0 dd\

„ i ô"J <r'J O'0\ -, / (J'J rov o1) \

On y retrouve encore les deux parties du second membre qui correspondent à deux effets distincts.

Le coefficient K, qui mesure la conductibilité propre de la masse, n'a point une valeur entièrement nulle, mais ce coefficient est très petit. On a fort peu d'expériences à ce sujet. Celles que nous avons entreprises, il y a quelques années, nous ont montré que les liquides ne sont point dépourvus de la propriété de transmettre la chaleur, et que les diverses substances présentent cette propriété à des degrés assez différents. Mais il nous a toujours paru que la valeur du coefficient est fort petite, en sorte que les changements de température sont presque entièrement déterminés dans les liquides par des mouvements intérieurs. L'effet de la communication n'est point nul, ou presque insensible, comme le supposait le comte de Rumford; mais il est certain qu'il n'influe que très lentement sur la distribution de la chaleur.

Si dans l'équation (3) on omet le coefficient très petit K, les changements de température sont exprimés par l'équation du premier

ordre

00 00 rd0 ôO ôt ox dy ôz

Si la masse fluide demeurait en repos ou en équilibre, en sorte que

I)\NS LES FLUIDES. tii:*

les vitesses a, Ç, r; eussent des valeurs nulles, il est évident que les changements de température ne résulteraient que de la conductibilité propre; et, dans ce cas, la cinquième équation (3) coïncide entièrement avec celle que nous avons donnée autrefois pour exprimer les mouvements de la chaleur dans l'intérieur des masses solides.

On pourrait également, en suivant les mêmes principes, former l'équation générale qui exprime les températures variables dans les fluides élastiques en mouvement. Mais il serait nécessaire d'y introduire des éléments que des observations précises pourraient seules fournir. On connaît exactement les relations qui subsistent entre la pression, la densité et la température; on peut regarder ces résultats comme fondés sur des observations constantes. Il faudrait connaître aussi, avec le même degré de certitude, les rapports de la densité des substances aéri formes avec leur capacité spécifique, et la propriété de recevoir la chaleur rayonnante. Cette branche de la Physique expérimentale n'est point encore assez perfectionnée pour que l'on puisse en déduire exactement l'équation générale qui exprime les changements de température. Il faut remarquer que, dans les fluides élastiques, les communications immédiates de la chaleur ne sont point bornées à des distances très petites, comme dans l'intérieur des masses solides ou liquides. Les rayons de chaleur traversent les milieux aériformes et se portent directement jusqu'aux plus grandes distances. II en résulte que l'équation différentielle prend une forme très différente de celle que nous avons trouvée pour les substances solides. Elle est d'un ordre indéfini; ou plutôt elle se rapporte à cette classe d'équations qui comprennent à la fois des différences finies et des différentielles. Nous pensons que cette recherche ne pourrait être aujourd'hui entièrement achevée, et qu'elle nécessite une série complète d'observations que nous ne possédons point encore.

Il n'en est pas de même des équations propres aux fluides incompressibles. Celle qui exprime les changements de température est aussi rigoureusement démontrée que celles qui se rapportent au mouvement du fluide. C'est cette démonstration qui est l'objet de noire

614 SI K LE MOUVEMENT l>L LA CHALEt IJ, ETC.

.Mémoire. Elle ajoute à l'expression analytique des mouvements des fluides celle des températures variables de leurs molécules, et eu même temps elle donne une nouvelle extension à la théorie mathématique de la propagation de la chaleur.

PRÉSENTÉ A L'ACADÉMIE DES SCIENCES DANS LA SÉANCE DU 9 AVRIL 1821 i ' i.

I. Deux particuliers ont sollicité du Gouvernement l'autorisation d'établir une nouvelle tontine dont ils deviendraient les administrateurs perpétuels. Le Ministre de l'Intérieur, à qui le projet a été présenté, a désiré que l'Académie des Sciences choisît dans son sein une Commission chargée d'examiner les articles qui règlent les intérêts respectifs des actionnaires. La Commission a pris connaissance de toutes les pièces relatives à cette affaire, et elle propose le Rapport suivant.

On ne rappellera point ici la première origine des projets de ce genre, l'emploi qu'on en a fait dans les emprunts publics, les motifs qui ont obligé de recourir' à des modes d'emprunt et de remboursement plus ingénieux et plus utiles, les résultats récents des tontines établies par des particuliers, et les contestations judiciaires auxquelles elles oui donné lieu. Tous ces faits sont assez connus, et montrent dans tout son

i1) La Commission était composée de .MM. Lacroix, Poisson cl Eourier, rapporteur. Lu

Rapport est publié dans Y Analyse des travaux de l'Académie des Sciences pour Vannée 1821. Cette analyse est la dernière qui ait été faite par Delambre, auquel Fouriei a succédé comme Secrétaire perpétuel. Voir le Tome V, p. 26, des Mémoires de /' icàdémie Royale des Sciences, années 1821 et 1822, daté de 1826. Nous avons tenu à publiei Rapport, dont Cousin parle dans son Éloge de Foncier et qui a excité beaucoup d'inti rê a l'époque où il a paru. G. D.