FRERE : AM NA «TOUT: EXTRAITS DE LETTRES) A J.-J. SYLVESTER

PA SR Ce Dane ON — Prouvons d’abord la seconde partie, ou RS ‘réciproque. Voici Mae des: équations (1), par élimination des p, gr, résultent les Ne (a). | | Ë Par conséquent, AX:Pe HÉret a b.2%, lrétant quelconques, mais satisfaisant aux en (3) on peut de ue Didi au moyen des Re (h Soient À, PR De di dr mm Yet. . arbitrairement, Pet, hi: , d, a, 6, .:., À déterminés par (1) et (1 bis). Suivant 1 hypothèse, on à | Ca. A 1) =@(4, D LC eh dede do N)ce DA Be AL

ne. ru Fe | HN cam RE a. D hPa ee 0)

Dre on peut détér miner P;Q;...- parles équations (1 ter), ce & qu il fallait démontrer. |

Démontrons maintenant la première partie, ou théorème direct. ar. OS Me ES Didier miy "étant Dris 4 VOIORtE et a, b,...,41, «x, B, ...,X déterminés au moyen de (r)et (1 bis), ail en résulte les équations (1 ter). :

Des équations (1) résulte le système (2); de même, de (1 bës) et de (1 ter') résultent :

(o bis)

(ater) are F,(æ, GERS RAR Dir) 0!

som se see 0 se se ne

Je dis que le système (2 ter) résulte de (2) el de (2 bis).

En ofiét a: 0,-...,1et a, Bi. -Awétant définis que par (P} et (1 bés), le système (2 ter) résulte de (1) et de (1 bis) par l’élimina- On Et 0 .....et À, D ..., EL: Mais Félhmiñation de p, IE . remplace le. système (1) par le système (2), celle.

de &, y, ... remplace le système (1 Dts) par (2 dis); donc (2 ter). … résulte de l'élimination de À, B, ..., L entre (2)et(2 bis).

Le système (2), (2bis) est formé par 2(n—m) équations, et cependant l'élimination de 7 lettres A, B, ..., L, au lieu de IE donner (x — 2») équations, en donne (n — m), les équations (21er).

64415) OEUVRES DE G.-H. HALPHEN. o Si done on élimine seulement n—m lettres À, B, ..., G, les m autres, H, ..., L, disparaîtront d’elles-mêmes. Tirons A, B, : . :,G des équations (2) ét nous aurons | Au AD Co D USE HSE ba D W(a, b, .. AS H, ... EY

Tirons de même À, B, ...,G des équations (2 bis) et nous aurons

Az Va Br: AH) b), B= we 6,.., 4 Ho,

nement se ee se

Le résultat de l’élimimation est donc représenté par 2 — m équa-

tions telles que

Pa, be, deg EN NT (4) Dita, 0.1 ST ES PERS On re ne PE

et l’on sait que H, .. ns disparaissent, d'eux-mêmes, de ces équations.

En assignant donc.à H, ..., L des valeurs numériques à volonté, on voit bien que les équations résultantes, équivalentes à (2 (er), ont

la forme P'CAS DES DEAR ERA

See see esse ss cm de

C'est ce qu'il fallait démontrer.

6. Remarques. — Si les équations (4) sont rationnelles, la dispari-

ion de H, ..., L exige que W ait la forme suivante : p.22 D a: bh DE CH A LE OU OL)

et de même pour W,, .... Sous cette forme, on voit que 0 et Ÿ disparaissent dans les équations (4), et Pinvariant résultant est ®.

Mais, si les équations (4) sont irrationnelles, la disparition

de H,..,, L peut n'être pas immédiate. En assignant à H, .... Ldes valeurs numériques à volonté, comme on l’a dit dans la démonstra- Uon, c’est-à-dire en considérant H, ..,, L comme des constantes