SET

38. Soit maintenant F une intégrale aus de G(y). Nous prenons, pour la forme f, d’après le théorème I, n° 8, f—=u®F. Le multiplicateur quadratique correspondant est M; nous prenons la forme quadratique A = u° 7,M, et nous avons

of :

Nous faisons ensuite rés LR et FF’ est une nouvelle intégrale cubique; le multiplicateur correspondant étant désigné par M’, nous

DA considérons la forme quadratüque A!'—= uw», M'— q q 2 0 0%

Soient p et p' les coefficients de y"? dans M et M' respectivement. Les coefficients correspondants dans A et A’ sont

1 U?A 1 ff

Ana = UP =-— = - —=) PAPE or? DOS

ve à IVOTAT [1 OA

ls —= U ie : Ed + RPC RE or ee Dal

De là résulte que a. est égal au déterminant des dérivées secondes

de À, divisé par 12, ce qui peut encore s'exprimer ainsi. Posant

A = Ea;i;x;x; -

et employant les lettres- « pour les coefficients de la forme adjointe,

savoir Ÿ x 5»+ oo — 11 22 — Ai», Loi —= Lo2 Aj2 — oi A2, ete 5.9 | on aura

FR É sd Ci Wet

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 243

Pour obtenir le coefficient de y’4— x5 dans le covariant +, on n’a

qu'à remplacer, dans le déterminant qui représente ce covariant, f of 1 OA 3 ; à :

par —— et À par- ——. Il en résulte, pour ce coefficient, l'expression

0Ta 2 0L3

S' £ ! l — 2j; A ;9 À; ñ ij dia À j9,

où les lettres a’ représentent les coefficients de la forme A’

== / Q “ A'=Ea;;x;x;.

D’après la théorie générale, nous aurons à prendre, dans les covariants X, les coefficients de y = +2. Il nous faudra donc remplacer,

n 1 73 | se dans les formules, f et A par 5 An) = dia) el © par le coeflicient que

nous venons de considérer. À cause de l’homogénéité, nous pou-

- vons multiplier les deux premiers par 3, le second par 3?. Ainsi

fr Are D seront remplacés respectivement par & = Lg a, — u œ ! es 4 [ (63 22 — U° S0P; 22 — U°£0P : 32 © Hij ir A ja.

Il reste à exprimer les deux invariants S, T par les coefficients de À et A!. Pour y parvenir, on n'aura qu’à calculer le discriminant de xA + À A"; 1l s'exprime par &a;, et &>+ comme A,) par A et f, au moyen de la relation (37). On connaîtra ainsi la forme U(x#, À) et le problème sera résolu.

39. Je vais introduire une modification qui simplitie les calculs dans les applications et rend, en outre, les formules symétriques. Au lieu de prendre la forme A’, j'en considère une autre quelconque A;, du faisceau xA + À A”, et l’on conçoit que l’on puisse parfois en apercevoir immédiatement une qui soit plus simple.

Soient ainsi deux formes conjuguées À et À,; posons

Ar Da tit A = Zb;jxix;, P = 2, Pi = 030,

à 2 pe or: Di = ae Bis)

2 > C = 3 Eœijbi;, Ci= 3 2 Pi dis.

Les lettres $ désignent les coefficients de la forme adjointe de A,, comme & précédemment pour À.

Soit D,, le discriminant, calculé comme D et D,, pour la forme IA +, AÀ,. Ce discriminant est une fonction comprise daus le faisceau /P + 7,P,. IL est d’ailleurs composé linéairement avec D, C, C,, D,. Donc Cet C,, comme D et D,, sont comprises dans le même faisceau. Désignant par 5, w, w, t et les mêmes lettres affectées de

l'indice 1 des coefficients constants, j'aurai donc

DSP DR Di: 9; Pi, + ww P:

à I C= wP + tPi, =G=wPi+ét, En

La forme A’, considérée tout à l'heure, appartient au faisceau

(À, À,). Nous avons donc x*P + AD — [P + leP1:

d’où résulte L= x + 5ù, li = wi.

Par cette substitution U(#, À) se change en une forme V(/,/,),et, d’après (37), nous aurons