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où x est un entier premier avec 3; il y a trois solutions dont le produit est rationnel.

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 241

comme bien connue la théorie des formes cubiques ternaires, et Je rappelle d’abord les formules dont ; je vais faire usage.

J’emploie les mêmes notations et, pour les invariants et covariants, les mêmes facteurs numériques que l’on trouve dans Clebsch (!). Je mets seulement les indices o, 1, 2 aux indéterminées au lieu de 1, 2,5, pour rappeler que ces indéterminées sont 11.

L'NT PLV; Ty — Pre

La forme cubique est désignée par f, ses invariants du quatrième et du sixième degré par S et T respectivement, sa héssienne par A, l’expression numérique de A est le déterminant des dérivées ne de f, divisé par 36. Il y a, en outre, à considérer un covariant ©, dont l’expression est la suivante : le produit — 2.3 est égal au déterminant des dérivées secondes de f, bordé par les dérivées premières de A. Enfin un autre covariant Ÿ intervient, à savoir

i à Tf?+ ss af U— — — © — — / 4° 12 8 S et ce dernier est un combinant pour le faisceau (f, A).

Avec les invariants S, T est composée une forme binaire, biquadratique et équianharmonique aux indéterminées x, À, que je désigne par U(x, À), et qui dans Clebsch est désignée par la lettre G :

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Voici, par le moyen de ces éléments, les résultats que J'ai à rappeler :

1° La hessienne A,) de la forme xf + À A est égale à , 1 /OU OU (37) ane (Ta).

2° Si x:Àest racine de U — 0, la forme 4/ + ÀA est décomposable en facteurs linéaires X4, X,, X,, qui sont les covariants 1rrationnels.

(1) Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, publ. par Lindemann, p. 562 et suiv.

3° Les fonctions symétriques de ces facteurs sont exprimées ainsi :

Fe QE ap A EE PRE EE CRT NOR PH AE at AT de 2 A ; Spies — -}2 ME <

(38) Xÿ X3 X3

Dep D HOTRR Ré tal Se 2. A?

; X3X? + XHXIE NEXS—— (X3 Ho pete