P + UP

où L: /, est racine de V(l,l,)—o. La première formule pourra

s’écrire de même

(40) #27 2ÿ+2i+ 3$= mP + mu Pi,

et les coefficients constants m, m, sont à calculer. La substitution directe donne immédiatement, à cause de l'expression deS,

$ (wl— ol}?

mi Es (6 l }” 2/9 st

à 9/7(2+ww)—(wl—ol;) r L . # x L2 2

Par symétrie, il en résulte une formule analogue pour m* :1iln°y a qu’à échanger L, L,; w, w,; s, 5, et changer le signe de æ. Mais ce résultat est insuffisant, car l’une seulement des deux racines cubiques de m, m° peut être arbitrairement choisie : l’autre doit s’en déduire. Pour lever cette difficulté, il suffit de calculer le rapport m : m1,

d’après (38).

On trouve ainsi, par substitution directe,

m ml? Aolls— 3wli

MS 201(5l —wl)

En même temps a lieu da formule symétrique

ms > wii — 4oilil+3w 2 m 2/(oi— wii)

La concordance de ces deux formules se vérifie aisément, en vertu . . È L'A Le, PA # de V —o, et il sera plus simple de les remplacer par l'égalité symétrique

me? (or — wi l1)l

m? Fe (sl —wl)l ;

qui suffit à fixer les rapports des racines cubiques de m° et m\. Dans la suite du calcul jintroduirai encore une constante ue qui est ‘exprimée symétriquement ainsi :

ol ol d4 À — w ls == > Se pa RE TRE EEE © lim? lm?

Remarquons aussi que la constante Æ donne lieu à l'égalité

Il en résulte que la troisième équation (38) nous donne, en dési-

gnant par Ÿ le coefficient à retenir dans le covariant À :

: L I <Ÿa 2041 Fri ais — (zizi +aih=

Il reste à trouver l'expression explicite de Ÿ. D'après tout ce qui précède, nous avons d’abord

D] 6 I 3 ? d = 2; lie jo = RE 3@w9S — s;w?)P?

(41) ÿ =— ce

+ AC Ne CIE T0

La forme A, à laquelle appartiennent les coefficients a', est égale

bi

"hs

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIOYS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 247

one ll ererulle déhord

1 ! k Eœ;;a;sd'ja = WE ;;b;s D jo + = G(S A2 + 2Wba)E a;; a;

—w2a;;bab;rt 6 (SP +2wPi)(P+wP, ).

D'autre part, on véritie sans peine l'égalité Zi; Dj Dj» = Dos Dj D;j — (to o Bai — 2%! Soi + 1 Boo ):

La quantité SE 400 311 == 2%o1 Boi + Xi 360

va subsister dans la formule définitive. En substituant dans (41) et faisant toutes les réductions dont on peut abréger le calcul par raison

de symétrie, on trouve £

Donc enfin nous avons pour dernière formule I Ï I : é I (42) AE ART LRQ + Pr P. HS CP + mu Pi).

Les égalités (39), (40) et (45) déterminent trois quantités 3 qui sont respectivement égales à trois quantités ug,n, et le problème est complètement achevé.

Pour formuler le plus simplement possible le résultat acquis, faisons les observations suivantes :

1° Si nous prenons les discriminants et les invariants C sans les coefficients numériques qui se sont introduits ici, en écrivant comme il est d'usage

D — 3 2j. CE a«;0;;, …) 2, 2 x Il faudra mettre 3 3 0) ce. À la place de 5, w. Ce changement ne

modifie en rien /, l,, m, m4.1l faut seulement remplacer 4 par : me

2° Si, au lieu d’opérer sur À et À,, on opère suroAetoA, (oétant une fonction quelconque), D, C sont remplacés par 0%D, 0C, ... et Q par 6*Q. On pourra conserver les formules précédentes en changeant seulement Q, si l’on change en même temps les quantités 3.

Je ferai un tel changement dans l’énoncé en prenant 6 — ——, de s Ï | \ ui £g9

façon que le calcul porte sur les multiplicateurs eux-mêmes. Voici le résultat final.

A0. ProsrÈme. — /ntégrer l'équation ln) = Yon + 3yin + 3y2n + Yan = 0, sachant qu'une forme cubique ternaire, composée avec trois solu-

tions n, et à coefficients constants, a pour expression o(x).

SoLurION. — On prendra la fonction adjointe G(y) et, par les formules (32), on calculera un multiplicateur M du second degré

pour G(y), avec 3ÿi o(x) pour coefficient de y"?. Soit M ce multiplicateur M = Za;; y" yU), 29 — 3 y$ AA Pa

Ce multiplicateur a un conjugué M, M, — Zb;; y® yÜ, D3o ne 1(T) = ne

jouissant des propriétés suivantes :

Si l’on désigne par x, $ les coefficients des formes adjointes d M, M, ;

> Log — 11 do2 — As, Xo1 — Lo di2 — oi A2,

et qu'on prenne les invariants

EST ; I D=-Ea;u}, CSV; a; C1=Za;;f;;, Dr

: Zbi;k:;,

on aura entre ces quantités les relations suivantes où 5, w, w, désignent des constantes :

a D — 5P + wP,, aD, — d1P1+wP, d

il s [ Sa ml PP, Ge Psp.

AE , = Tel 6 : à La quantité a sera égale à mn e 1% etles coef ficien ts constants ÔÜ

satisferont à la relation

(43) WW — 4001 = 3 w?.

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 249

On obtiendra donc le conjugué M, en calculant le discrimi-

nant D de M, et prenant pour source P, une fonction arbitraire : D

du faisceau (aD, P).

On calculera, en outre, la fonction Q = 90 Bit — 2 oi Por + %11 Boo:

On prendra une racine l': 1, de l'équation, à coefficients constants, DANS A5 —6wE2 1? + 401 LS — m1 li — O, et deux autres constantes m, m, déterminées .par les relations concordantes

LS (oil — oil} + in 64 a Se (wl—st} À mi =64 | mis (oil ofli)l mt Gh—vl)h

et enfin une dernière constante Lk

G ly— wl ee di L — w14 l4

PROD im?

En fonction de ces diverses quantités, on aura trois solutions n de l'équation proposée, au moyen des racines de l'équation algé-

brique (44) yént—(mP + mi Pi)vént Qa I I | += + —(oPi+o P2)+ —(mP + nu Pi) | yon É NS He se 1) v6

SPP PE 0:

APPLICATION

AA. La solution qui vient d’être exposée n’est pas en défaut dans le cas où o(x) est identiquement nul. C’est à ce cas particulier que se rapporte l'application numérique suivante :

Intégrer l'équation 3 ee L 172

4n"+ = 'n + 2 4 ne d"n = 0, : - “PNA

250 ŒUVRES DE G.-l. HALPHEN.

où % désigne un polynôme du troisième degré (y = Lori + 3 Vi a? + 3%æ SE Us,

sachant qu'il existe entre trois solutions n une relation homogène du troisième degré, à coefficients constants.

L’adjointe est 1c1

tt a Be à L D ve 7 BOIRE FÉSER ERENRee WT.

On pourra aisément, par les équations (82), vérifier le multiplica-

teur ayant les coefficients suivants :

P = 0, FRA HET ARE ER l=—o2, | m = — 7,

! [ LA It ! !

MEN PRET SAUT Se RNRRE

Le discriminant de M est — 443; la quantité a est égale à -. Les

multiplicateurs conjugués ont donc, pour coefficient de y”?, la quantité 2. É Van les coefficients de l’un de ces multiplicaieute

= 342 ERP OR M Là p =3%#, pans: nt rnb 0 IE 3 5 UIUE 54 ÿ/ h = — L' fo nn. {2 — ee. , 2 è A ( 36 ae dés 23,33 23,92

On peut abréger les calculs en écrivant les deux multiphicateurs ainsi :

ÉAUE ES Enr 4 (vr +2 Vr')r D PL (4 ME (4 ARS vr) men LE =)

2 9 ñ RTE gp"

te 2 TUE ar > pee 7 LP É 5 (4 Tia ) vo care

En faisant alors l |!

f = Ti, F = Lo;

on n’altère pas les formes qu’il faut calculer, et l’on opère sur des

FN CEE

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 251

- coefficients plus simples :

(DE ST O, 1 d, oo — \ , js —= 0, do2 = — 2 d, doi — 0; X29 — G d”, 11 = — 4 Ÿ2, Xao — O0, Goo oz = 24?, Xo1 — O0, — [1 læ) ! (114 bs5=53%7, Hp te bo= (EE), 2 72 mA 3 9 GAUIUM | /4 by2 = 0, bo2 = — te, Do: = ie 18 DE

" ë né 5 VER lo 3 LR Een gs 4" D 25,3* , POUTT-S 72 Ts Di = Gps Go + Ani A51 + Gao Mo = — 4 V5, gs 9 Ut," 1/1 LE UE D; = b62 Bo2 + 601 Bo1 + Boo Boo = 55 36 EAN RE ÿ :

ee ERA re 2 “ts 2 55 CSV — 2 Yi D Vi Ya), CS os Ce

DR 7 free po Lo d'un EE !

Le Dj 5 3 (Ÿ > dd ee 3 (PT — Yob),

1 D Q = 00 B11 — 2%o1 Bo1 + &11 Boo — FE Au

On a, d’ailleurs,

A —= v' | Pa 0, P: = 342, il en résulte D—=—— EL s —= O, 3 , I [ 9

LE a Chi Va 20 — V6 Ys), Ee 235 (91 Yo),

et, d’après (43), = (UE — Yobe )°

Si l’on fait /, — 12, /= d,t+4,, l'équation V(/, /,)—=o se change en celle-ci :

ARS Ste

AL Ÿ3 345 id

(45) Votr+ jhili+ Gba jar + T

dont la forme est remarquable; son premier membre a pour dérivée |

On trouve ensuite

(es) = Rte RS 9

PAM (Lot + di}? ; um 2 ale Volet

Changeant n° en m,n*, et divisant tous les termes de (44) par f, il reste | 4 + | { 2 — ! a (46) co bas LE jai DCE DR ARE Vol + di (hot +} Trois solutions n sont données par l'équation (46), où t est une racine quelconque de (45).

Le dernier terme de (46) peut s’écrire encore d’une autre manière :

(47) ù SO VE = hp 3%oY'(4)

(doré + di (bt+d}

co

c’est ce qu’on voit immédiatement par l'égalité

SA see À AN tue 0 QE Vans AU