DIGRESSION SUR UNE ÉQUATION DU- TROISIÈME ORDRE
42. Je vais entreprendre maintenant un calcul dont le but est de vérifier cette solution, puis de faire connaître les propriétés d’une classe d'équations à laquelle appartient celle que je viens d'intégrer.
Pour abréger l'écriture, je mettrai partout ce qui suit: :
Fa Fa ne no" #0 JR ht
J'envisage ces trois quantités 3 déterminées par (46), en sorte que, posant
391= 29 + 31 + 32, AO 20231 + 31 32 + 39 30, Se Z0Z1 32,
on ait pour définition des 3
48 Si= 2 RES / — $S — (4 ) 1 2, D 9 De Rd Ÿ- S 3 8 dt)
où £ est une racine de (45).
La première partie du calcul suivant a pour but d'exprimer d(x) en
SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 9253
fonction des 3. À cet eflet, je calcule d’abord les deux quantités (Yi— Yoda) et (3VodiYa— 24i— VE Ya).
Les expressions de S, et S, me donnent, sous forme homogène, NA ! : (£ à \ (49) gyc= UE (sys,
Observons maintenant que l'équation (45) peut s’écrire (50) d'C)Y(E)— = (= 0,
comme on peut le vérifier sans calcul, grâce à cette propriété que les premiers membres possèdent, de reproduire Ÿ(£) par une dérivation. D'après (50), on peut transformer (49) en cette autre :
2 2 (51) AUATRE (Si — S3)?.
Prenant les expressions (49) et (51) de Ÿ”4’(#) et de Ÿ’?4(#) pour les substituer dans l'identité
(52) 34"24(r) + ae) — 3 V6) DCE) V= 2233453 + 245 — 34, Vide) nous trouvons ce résultat
: ste ete D put ; 28,3 WCT S3 + — 2s,s s Si:
D'autre part, suivant (47) et (48 ), nous avons aussi
p'LP L'expression de S, nous donne Ÿ”(x) qui, sous forme homogène, sera (53) | voa) = Paye) L'identité
D(æ) — 247 VX) = 22,32( 44 — VoYai)
donne d'(x), et enfin l'identité (52), où l’on mettra x au lieu de £, donnera %(x). Son expression, rendue homogène, prend la forme
" \3 b(x) = se (4S3— 38282 + 48:83 — 6S;S, 8, + S2):
la parenthèse contient le discriminant née 33— 3S,3°+3S25 —S3); par suite, 3 ; ER ARE | :
(51) Y(xr)=— 55 31 [(3o— 31) (31— 22) (32 — 5).
Remarquons, en passant, que cette expression simple du discriminant conduit, pour la résolution de l’équation du troisième degré (46), suivant la méthode usitée, à un résultat peu compliqué que voici :
El
de ADEME CRETE ue BAS AN Chr diner Vi (dot+ Yi}
où lés deux racines cubiques doivent être extraites de manière que
À + B reste fini pour x infini.
