RER(RIOT = (JUL

où L contient seulement les lettres n, 3 etles dérivées partielles de Y ;

son expression sera écrite plus loin. Si maintenant gs ent compte

de (55) qui TE à un facteur constant près, px) pour R, on a facilement, au lieu de la dernière égalité,

| m1 3 LIN J AVE TE I (Vo + 1) : :

ve ste SCA re | W(x) Be

En vertu de (55) et (56), nous avons semblablement une égalité de la forme

et, d’après (55),

De Îlà résulte

(57) QYM + SU (£+a)yv BUY I ee | = — — — RE a ia RY a Y(x) ae

La quantité L provient de l'opération

No (31 — 22 (Be = + na (o — 5) 7e

répétée trois fois de suite. Elle se compose de trois parties suivant l’ordre des dérivées paruelles qui y figurent. Dénotant ces dérivées par des indices et écrivant seulement le type de chaque sorte de

terme, nous aurons L= Es + EE Lx,

L; — Yooon à (31 — 25}?

+ 3Yooininr (2Z1— 22)? (32 — 25)

+ 3Yoinont (31— 22) (22 — 36}

+ 6 Yo12 0 120231 — 32) (22 — 20) (20 — 31)

+ 6 autres termes par permutation des indices, Lo 3Yo0n3(2%1— 32) [(31— 3)? + 3(223123:— 3120 — 2: %)]

— 3 Yion1n2[(Z0 — 31) (31 — 32) (3: — 20)

+ 3(231— 22) (328 — 2021 — Z1 722 — 2220) | + 4 autres termes,

Li = Yono[(31 — 32) + 9 (233 — 32) (25 — 23031 — 22041) | + 2 autres termes.

La quantité M est simplement

M = Yono(z1 — Zo)[10( 23122 + 3930 + 3031) — 35 — 39 — 25 | + 2 termes.

Enfin R est déjà connu. On vérifiera sans peine, en formant le coefficient de Y,, l'identité |

Li+M+S8R(Yoro+ Yini+ Ya) = 0,

d’après laquelle la parenthèse du second membre de (55) pourra s’écrire L;— Lo — (18% A 1)M TR 8(SI B Y + Yono + Yini:t Y:2)R.

Si l’on suppose Ÿ = con + Ci + Cone, où les c sont des constantes

ROSE ; i I He arbitraires, et, en outre, à — — Te B—=— gr” Cette quantité sera nulle. Quant au premier membre de (55), il devient

o / Pa # Duve A VS LS MN F2 el a

c’est précisément celui de l'équation différentielle dont nous étions partis d’abord. La solution de cette équation est ainsi vérifiée.

44. Je vais maintenant envisager une équation plus générale. Je

ferai n? ù n(n+3)({;n —3) EE EN SR Re TS

&X — br

RTE 22,34

et le premier membre de (55) prendra la forme P )) P

n(n+3)({in—3)

I n?\ Ness 9 1 Pr [14 45 #8 1/4 NACRE PU 7 (EL ENS QU vy 2 fi TA RS PONT TER re

Supposant, en outre, que Ÿ soit une fonction homogène en ns, ñ1; n2,

et du degré (4n — 3), j'aurai, à cause de cette homogénéité,

Juan (nm :

(RAR EM) Nono tk Venir E Yer2)].

CYoi+ di)

G, PEN Le aa a (x)

L'équation aux dérivées partielles, obtenue ici comme transformée de G—o, peut revêtir des formes diverses à cause de l’homogénéité

attribuée à Y. Pour reconnaître l'identité de deux formes, d'apparence différente, le plus simple est de les ramener toutes deux à ne contenir

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 257 que des dérivées du troisième ordre par les égalités

(gn—5)(4n —4)Y; = Yoon$+ 2 Yirinin2+..., (4n — 5)Yrj= Yoijno +...

Le premier membre étant écrit sous l’une ou l’autre des formes

symboliques

U = [5 A;n: Y:]6 + [2 Bin Yi [2 + (n —1)2 Cini Ys,

4(4n —5)UÙ = [SPin;Y;]®, on aura

Po00 = 4(4 7 — 5) A 000 + 4 Boo + Co,

/ Pooi = 4(4 7 — 5) Aoo1 += (Boo + 2 Boi) PAUSE NON (58) | < È

4 I Pois = 4(47n —5)Ao1r + (Bai + B;5+ B20) + + (Co + C1 + Go), 3 3

She) PTS atienole fe era) siiptele eo le for sole er ol em ere) en Sie als late eo so ed eue) ele) ee + 6,707 6 5 + eee

Mettons, pour les.coefficients À, B, C, ceux de la forme ci-dessus, en observant que les derniers peuvent s’écrire ainsi

Co=(n+i1)Yo+2(72 +4)R,

où y, est le coefficient de Y,n, dans M. Prenons maintenant les nouveaux coefficients suivants : e

A 500 = À 600 + ri == re

14 Re à = nu HART se Bo — Boo + —R+ 2 vo, | B61 = Boi + = R+ Li,

Les 0:

En mettant ces coefficients A’, B', C’, dans (58), au lieu de À, B, C, on trouve les mêmes quantités P. Vous avons donc, pour-transformée de G(Y) = 0, cette équation (écrite symboliquement)

(59) LS An Y:]® + [2 Bin: Y:]2 = 0,

dans les coefficients de laquelle la constante n a disparu.

Voici quels sont les coefficients, en mettant pour abréger,

S — 10(2021 + 2122 + 2220) — (28 + 27 + 3); A 500 = (Zi — 32}? ere vo1= (31 %2) (32 — 30) ne =", .

bri= (81 32) (22 70) + - Se = Et, 2= SR;

| 21 ( Do = 3(231— 22) + 9(721— 232 )(231 32 — 31 39 — 32 30) + 5 À + À S(&1—22),

9 re Qt + SEC E 31)(3235— 2031 — 3122— 3122) + 2 R — À S(50— 41).

Il faut avoir soin d'observer que les autres coefficients se déduisent des précédents par permutation circulaire des indices, en sorte que l’échange de deux indices produit un changement des signes. Ainsi,

‘en échangeant les indices o, 1, on change A°,, en —A',,,B