DOTE

45. L'équation (59) jouit de la propriété suivante : elle admet pour solutions une infinité de polynômes entiers par rapport aux variables n.

Soit n un entier quelconque, positif et premier avec 3 : ileæiste trois de ces polynômes, ayant pour degré 4n — 3. Sin est multiple de 3 plus 1, ces trois polynômes ont les formes

ño F(Zo, 31, 42), n1 F (21, 32, 30), 9 F(232, 36, 21),

A A dé f IDR I , e où Fest un polynôme entier du degré a » SYmétrique par rap-

port aux deux dernières lettres. Si n est multiple de 3 plus 2, les

, ; à A TS TRE formes sontni Ps, 7), 2), ouest du COTE = et jouit de la même symétrie.

Par conséquent, l'équation

À 9 ë ir (60) QI UV fi E)YY n(n+3)(4n Eye

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 259

où est un polynôme du troisième degré, et n un entier, premier avec 3, est intégrable algébriquement (on va voir dans un instant que À peut être négatif).

Cette proposition me semble difficile à établir sur l’équation (60) elle-même. Je l'ai démontrée dans mon Mémoire sur la réduction des équations différentielles (!) à propos de l'équation qui se déduit

: : à : d de (60), quand on prend, pour variable indépendante, l'intégrale 1 :

La théorie des fonctions elliptiques fournit, pour cet objet, des procédés très faciles. Mais la proposition admise, on a, par l’équation (59), un moyen assez simple de déterminer le polynôme F dans chaque cas particulier. Il suffit, en effet, en substituant l'intégrale à coefficients indéterminés, de prendre un petit nombre de termes pour déterminer les coefficients. De plus, si l’on substitue ,F ou n5F, suivant le cas, dans le premier membre de (56), le résultat contient le facteur Go(Z1—%2) OÙ nG(z1— 22),

et, ce facteur supprimé, il reste un polynôme entier par rapport aux z seulement, symétrique en 3,, z:. J'ai vérifié de cette manière et par un calcul très rapide, pour le cas 7 — 2, la solution

trouvée autrement dans le mémoire cité; j'ai calculé encore cette autre, pOur — 4, Y = no 30 EL 320(31 + 232) — 152023? + 22) + 24202129 + (3 +22) |. 46. L’équation (1) se change en son adjointe quand on change n en — x; si l’on appelle Y, Z deux solutions de (10), on aura une solution 5 de l’adjointe ainsi + F = V2(YZ'— ZY').

% 1 Si maintenant on tient compte de ce que 4° diffère de R seulement par un facteur constant, et que l’on fasse usage de la formule (56), on reconnaîtra l’exactitude de l’énoncé suivant :

L’'équation (59) admet encore une infintité de solutions ration-

(1) Page 291. [ Œuvres d’Halphen, t. II, p. 255.]

nelles, d’une seconde forme, comme il suit : soient 2, T deux des

polynômes, de la première forme, et du même degré 4n—53,onen

déduira la solution

Ê M1 (232 — 20 — 31) Lo T1 — ZiTo) + n102(220 — 31 —232)(L1T2— LT) + 200 (231 — 232 — 20)( L2 To — ZoT 2)

Cette équation Y est aussi une solution de l'équation (6o) quand on y a changé n en —n, et que l’on considère les n comme exprimés en x par le moyen des relations (48). On peut alors supprimer le dénominateur de Ÿ, qui est une constante.

D’après la forme de la solution ainsi trouvée pour l'équation différentielle (60), dans laquelle » est entier, positif ou négatif, et premier avec 3, il est manifeste que le produit des trois solutions particulières envisagées est fonction entière de x. Ainsi cette équation a toujours des multiplicateurs quadratiques à coefficients entiers.