SUSPENDU PAR UN POINT DE SON AXE
Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 100, 1885, p. 1065.
Un mémoire, que Jacobi a laissé inachevé, contient l’énoncé suivant : La rotation d’un corps grave de révolution, autour d’un point de son axe, peut être remplacée par le mouvement relatif de deux corps sur lesquels n'agit aucune force accélératrice. Ce précieux fragment (t) indique le procédé de démonstration, mais laisse le lecteur si loin du but, qu’il semble utile de le CARRIER C’est ce que je me propose de ee ICI.
Tout d’abord, 1l est indispensable de généraliser la notion du mouvement d’un corps qui tourne autour de son centre de gravité, sans être sollicité par aucune force. Ce mouvement, on le sait, est celui de l’ellipsoïde central d'inertie (E) qui, fixé en son centre, roule sur un plan invariable avec une vitesse de rotation proportionnelle au rayon vecteur qui va du centre au point de contact. Rien n'empêche d'employer cette définition, purement cinématique, pour le cas où (E) ne serait pas un ellipsoïde d'inertie, pour le cas même où ce serait une quelconque des surfaces à centre du second degré. C'est donc ainsi que nous entendrons ce mouvement E, qui sera caractérisé par les rapports de cinq quantités, a, b, c demi-axes de (E), k distance du centre au plan fixe, RROC constant du rayon vecteur à la vitesse de rotation.
(1) €. G. J. Jacobÿs gesammelte Werke, t. II, p. 480 (édition nouvelle).
Pour la comparaison de deux mouvements analogues, 1l faut faire quelques conventions. Je supposerai toujours b? compris entre a? et c?, k? entre a? et b?. On considérera deux systèmes d’axes rectangulaires fixes, l’un.dans l’espace, l’autre dans le corps. Ge dernier se compose naturellement des axes de figure, mais 1l faut y préciser les sens positifs. Pour ce but, prenons (E) dans la position znttiale, où l'axe moyen b est parallèle au plan fixe; choisissons le plan des coordonnées fixes æz:, perpendiculaire à b, l’axe 3 perpendiculaire, l’axe x parallèle au plan fixe. Les axes @, c sont dans le plan #2. Nous fixerons les sens positifs par la condition que les trois quantités n(a?— h?)cos(az), cos(cz) et cos(ax) aient des signes choisis, une fois pour toutes, les mêmes dans tous les cas, que les axes y et D aient pour sens positif commun la position où serait amené x par une rotation de 40° autour de 3 dans le sens choisi pour positif. La rotaion instantanée sera dirigée de manière à donner une composante positive sur l'axe z, et l'origine du temps sera PRISE dans cette position initiale. |
Nous avons ainsi une définition précise du mouvement E, défini par a, b,c,h,n; c’est celui des trois axes à, b, c mobiles par rapport à trois axes fixes x, y, 3; et aussi du mouvement inverse E/, celui de +, y, 3, supposés mobiles, par rapport à @, b, c, supposés fixes.
Le théorème de Jacobi, énoncé d’une manière défectueuse dans le fragment cité, consiste en ceci: Deux mouvements E, E, étant convenablement choisis, on suppose que le corps (E) entraine le corps (Ei), les axes &;, b,, ©, coïncidant respectivement avec a, b, c; par rapport à x, y,z,ces derniers exécutent le mouvement E, el, par rapport à y, Ébp Cr les axes Lis Vis 31 SON animés du mouvement E; de plus, les origines du temps coincident pour les deux mouvements. Le mouvement résultant DOUT Li, Vas 81 6SE celui d’un corps grave, suspendu à l’origine des axes, de r'érolution autour de z,; et l'axe 3 est dirigé suivant la verticale.
Les deux mouvements E, E, dépendent ensemble de huit constantes, tandis que le mouvement M d’un corps grave dépend seulement de cinq constantes. Il y a donc, entre les éléments de E, E,, trois relations. On doit répondre aux questions suivantes : 1° quelles sont ces trois relations? 2° étant donnés E, E,, déterminer les constantes de M; 3° étant donné M, trouver E, E
sert:
ss Là 0, LR !
Se
SUR LE MOUVEMENT D'UN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 263 1° Pour abréger, posons a?(b?+ ©?) — b?c!— @4 ‘b2(c? + a)— cat,
'Q=+H Var br TE bre tea —fabie (ar three)
Voici les trois relations entre E, E, :
h? — ai h? — b? h?— ci nihi Q
» a?(hR2— a?) ”
B2(h2-— b?) + PCR ce). nh 28
Pour répondre aux deux autres questions, il faut dire quelles sont les constantes du mouvement d’un corps grave de révolution. Elles figurent toutes dans le polynôme
F(E)= GG—E)(af—Ar— Gt) —(3+ Art),
dont voici le rôle. L’angle 0, compris entre la verticale dirigée de bas
en haut et l’axe du corps dirigé du point fixe vers le centre de gravité, satisfait (!) à l’équation
(< cos 0
dt
) = F(cosb).
Les lettres À, B représentent les moments d'inertie autour de l’axe de révolution et d’un axe perpendiculaire passant par le point fixe; G la distance de ce point au centre de gravité, muluipliée par le poids; f, à, r des constantes de grandeur quelconque; la dernière est la vitesse de rotation autour de l’axe du corps. L’homogénéité réduit ces quantités à cinq seulement, que je choisis ainsi :
4e SPDÉRENME PAT 2e Ô CR Re te US pe np Elles sont soumises à une seule restriction 2B > A. 2° Voici ces constantes exprimées par celles de E, E, : 2 À 2a2b?c?— (a? b2+ be + ca?)h? h; I CT = —) SRE D EE RETENUS ET ET DENT NN VON. = — SAS n nhQ ni 2 DRE CRE REC EP)RER REe h cc?) (ha?) # . n?h?
gb? a?)(h?2— b?2)(h2— c?) LE PE CR NENA TER PNNENT RRRTERCRRRES hR2— a?)(h2— b?)(h?— ce?) Sn tn" pe) ©),
ns 3 Q3°
(') Lagrange, Mécanique analytique, t. II, p. 233 (édition de M. J. Bertrand).
et l’on trouve, pour seule restriction, mMhy > 0.
3° Voici les constantes de E, E, exprimées par celles de M:
hi I h:
soient X => X'> \'et X, > X° >> X° les racines toujours réelles des équations
F DAT D F 2X1+ gq mue P 2 pP el) PE ?
formées avec le polynôme F ei-dessus; on aura
X ha Par) en KÉChI DIV (hier
Deux cas particuliers méritent une mention spéciale; dans lunet autre, l’axe du corps passe périodiquement sur la verticale, le centre l’autre, l’axe d d t I ticale, 1 t de gravité au-dessous du point de suspension dans l’un de ces cas O P P ) caractérisé par x— y, au-dessus dans l’autre, caractérisé par 7=— y. L'un des axes de (E) est alors nul.
—sQ
SUR LA
