ALGÉBRIQUE

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 100, 1885, p. 145.

Les fractions continues algébriques s'offrent, pour ainsi dire, comme succédanés des séries procédant suivant les puissances d’une variable. Bien qu’on ne sache rien sur les conditions générales de leur convergence, quelques rares exemples font pressentir des différences profondes, à cet égard, entre les fractions continues et les séries. Un de ces exemples, très remarquable, a été donné par M. Laguerre (!): il concerne le logarithme intégral, et Von y voit une fraction continue qui converge, alors que la série correspondante ne converge pas. Le nouvel exemple, dont j'ai à parler ici, offre encore cette circonstance; mais il offre aussi la circonstance opposée : des valeurs de la variable, qui font converger la série, font diverger la fraction continue. :

Il sera, je crois, possible de faire la théorie générale du développement des fonctions algébriques en fractions continues, au point de vue de la convergence. Dans l’exemple actuel, je dois en avertir, les traits principaux de cette théorie générale sont effacés; 1l présente une simplicité qu'il ne faudra pas s'attendre à retrouver ailleurs. Cet exemple est fourni par le développement de la racine carrée d’un

ex dx

(!) Sur L'intégrale [ (Bull. de la Soc. mathém., t. VIE, p. 72; 1879).

[Œuvres de Laguerre, t. 1, p. 428.]

>0lynôme X. du troisième degré, sous l’une des deux formes POLY ) sre;

| ee T° (1) VX = a+ b,x+ es À a = Da D EEE A3 + b3T +. € x?

An +bnT +. k Q:, ra Le (2) LYX = di + bit ca :

T re de az + Par +. re An + PnT +..

(3) X 2 qu+ qe + qua + qua.

La simplicité du résultat, que je vais énoncer, est due essentiellement à la supposilion que les coefficients de X sont réels, ainst que les trois racines. La théorie serait très différente si, les coefficients étant réels, deux racines -élaient imaginaires.

La variable x étant supposée imaginaire, les fractions continues (1) et (2) convergent toujours et représentent toutes deux la fonction vx, rendue uniforme moyennant deux coupures rectilignes. Les deux coupures couvrent les intervalles À,, À, si zéro est dans l’un des deux autres; elles couvrent, au contraire, les intervalles À, A, si zéro est dans lPun des deux premiers. Sur ces coupures seulement, les fractions continues ne convergent pas. Nous trouvons donc là des fractions continues qui convergent, alors que la série correspondante diverge. Voici maintenant comment s'offre la circonstance opposée.

Tant que la partie imaginaire de x a une valeur finie, la convergence est uniforme,comparable même à celle d’une progression géométrique; mais cette uniformité disparaît quand x devient réel. Sauf des cas particuliers, dont je parlerai plus loin, la convergence est alors non uniforme dans tout intervalle. Voici, en termes précis, son caractère : Soient deux nombres arbitraires «&, b, dont l'intervalle ne soit pas sur les coupures, d’ailleurs aussi rapprochés qu’on le voudra. Soit aussi » un nombre à volonté. Il existe, entre a et b, des nombres x, pour lesquels, parmi les réduites de rang supérieur à m, il s’en trouve une rigoureusement égale à — Y/X, tandis que la fraction continue finit toujours par converger vers + VX. On remarquera que l'intervalle (a, b) peut contenir zéro, en sorte que cette convergence non uniforme, si voisine de la non-convergence, a lieu

* EEE