SUR LA CONVERGENCE D'UNE FRACTION CONTINUE ALGÉBRIQUE

même pour des valeurs de æ plus petites que toute quantité donnée. Ce n’est cependant pas encore l'absence totale de convergence; mais nous allons la trouver dans les cas particuliers que je réservais tout à l'heure.

Ces cas particuliers sont caractérisés chacun par une relation algébrique entre les coefficients de X. Pour le plus simple, voici cette

relation :

(4) 3243 qa(4goqiq2— qi —8q8g3) = (Âg2qo— qi}.

Cette relation ayant lieu, 1l faut signaler à part une valeur de x

Elle est placée dans la région où VX. est développable suivant les puissances ascendantes de x. Pour cette valeur (5) de +, les réduites de rang 1,0, 11,..., (3721), ..., dans la fraction continue (1), sont rigoureusement égales à VX, mais celles de rang 4,9, 14,..., (5n +4), ... sont égales à — VX. Dans la fraction continue (2), les réduites de rang 3, 8, 13, ..., (5n +8), ... sont égales à + VX, et collés derans POS (ONCE), Le dx;

Les deux fractions continues sont donc ici divergentes, tandis que la série correspondante converge.

Quand la condition (4) est satisfaite, toutes les irrégularités se concentrent dans la seule valeur (5) de +; pour toute autre valeur réelle, en dehors des coupures, les fractions continues convergent

uniformément.

[a J r L Les cas analogues à celui que caractérise la relation (4) sont en nombre illimité. On peut les définir-tous ainsi; ce sont les cas où les

. 5 I . . . ° > ° CE deux intégrales de —= prises, en ligne droite, depuis zéro jusqu'à 3 X

l’une ou l’autre des limites de l'intervalle À, où se trouve zéro, sont commensurables entre elles. Dans chacun de ces cas, 1l existe des valeurs particulières de 4, analogues à (5), en nombre limité. Pour une quelconque de ces valeurs particulières de +, l’une des fractions continues (1) ou (2), ou toutes deux à la fois, oscille de — VX à x: les fractions convergent uniformément pour toutes les

autres valeurs de +, en dehors des coupures.