SUR LES FORMES QUADRATIQUES DANS LA THÉORIE

DES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 101, 1885, p. 664.

Si, entre diverses solutions d’une équation différentielle linéaire, solutions d’ailleurs inconnues, 1l existe une relation connue, on peut, en général, intégrer complètement cette équation différentielle. C’est ce que J'ai montré dans un récent mémoire (1). Mais j'ai signalé, en même temps, une exception très remarquable, que voici. On connait, en fonction de la variable indépendante, l'expression d’une forme quadratique à coefficients constants, où les indéterminées sont remplacées par les solutions inconnues; pour une relation de cette nature, la théorie générale tombe en défaut. Une théorie spé- ciale est à faire sur l’usage des formes quadratiques pour l'intégration des équations différentielles Hinéaires. Je n’ai réussi à l’achever que pour les équations différentielles jusqu’au sixième ordre.

L'ordre de l’équation étant désigné par n, soient ÿ,, Y»,..., Yn des solutions, distinctes entre elles, et y (y1,Y2,-.:, Yn) où abréviaüvement (y) une forme quadratique, à coefficients constants, dont on connaît l’expression (x) en fonction de la variable indépendante æ. Prenons, au lieu de y, une nouvelle inconnue 3, en posant

= ay +by,

et réservant le choix de a et b, qui dépendront de x. A chaque solu-

(*) Sur un problème concernant les équations différentielles linéaires (Journal de Mathématiques, 3° série, t. 1, p. 11) et Sur les multiplicateurs des équations différentielles linéaires (Comptes rendus, t. XCVII, p. 1408 et 1451; t. XCVIII,. p. 134). [ Œuvres d'Halphen, t. IV, p. 193, et p. 102.]

dés à

TU0n MMS Se de l'équation proposée correspond une solution 31, 22,... de la transformée. Mettant ces dernières dans la forme 4 on aura

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Le coefficient de a* est donné : c’est (x). Celui de ab est égal à © ‘(&). Quant au dernier, on peut, à l’aide de l'équation différentelle, l’exprimer linéairement par © (x) et ses dérivées successives ; c'est une fonction 4 (x) que l’on peut effectivement calculer. Si donc on détermine le rapport a : b par l’équation

ap(x)+ ab? (x) +b?4(x)= 0,

la forme (3) sera nulle, et l’on est ainsi conduit à considérer uniquement les équations différentielles linéaires dont les solutions vérifient une relation quadratique CPS à coefficients constants.

Ces équations spéciales ont déjà été étudiées pour le troisième et le quatrième ordre. Grâce aux résultats qui les concernent, on peut conclure ainsi : Étant connue, en fonction de la variable indépendante, l'expression d'une forme quadratique composée avec les solutions d’une équation différentielle linéaire, cette équation se ramène, st elle est du troisième ordre, à une équation linéaire du second, et, si elle est du quatrième ordre, à deux équations linéaires du second ordre.

Les résultats vraiment nouveaux, dont je dois parler, concernent les équations du cinquième et du sixième ordre : si l’équation est du cinquième ordre, elle se ramène à une équation linéaire du quatrième, et, si elle est du sixième ordre, à deux équations linéaires, l’une du second, l’autre du quatrième ordre. C’est une idée géométrique qui m'a servi de guide; car le problème, qui consiste à chercher l’abaissement de l’ordre pour ces équations différentielles, coïncide avec celui de la recherche d’une ligne asymptotique sur une surface gauche. Avant de montrer ces propriétés singulières, 1l me faut exposer quelques faits concernant les équations d'ordre quelconque.

Soit, comme précédemment, y (y) une forme quadratique, composée avec des solutions d’une équation linéaire d'ordre n. Il peut

: , 7 arriver que, non seulement y (y), mais encore y (y'), (y ), -.. soient égales à zéro. Prenons, parmi ces formes, no AD IQE qui ne soit pas nulle, et disons alors que l'équation différentielle est derangr PEN) la forme Ce rang 7 a pour maximum

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le plus grand entier contenu dans : (4e — 1); 1l existe effectivement,

pour chaque ordre, des équations de chaque rang Jusqu'au maximum.

Le rang se caractérise aussi, d’une manière toute différente, par la considération de l’équation adjointe. Soient G (y) et l'(n) les premiers membres de l'équation différenuelle et de son adjointe, en sorte que, y et n restant indéterminées, la combinaison

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est la dérivée exacte d’une forme B (y, n) bilinéaire, par rapport à y, Vice) d'unelpart el, 162 d'entre part CerLe loue est d’ailleurs toute connue, et ses coefficients s'expriment très simplement par ceux de G (7).

À chaque forme quadratique 4) correspond, Dour Or un multiplicateur F,(n), qui est aussi une fonction linéaire et homogène de n et de ses dérivées, mais d’ordre au plus égal à (nr — 1), et dont on peut calculer facilement les coefficients quand on connaît l'expression de (y) en fonction de x. Le caractère distinctif du multiplicateur peut être précisé de deux manières, au fond, équivalentes : 1° si l’on considère n comme une indéterminée, le produit T(n)T,(n) est une dérivée exacte, c’est-à-dire la dérivée d’une fonction quadratique en n,n ,..., dont les coefficients sont des fonctions de æ, toutes connues ; 2° si l’on effectue la substitution y =T,(#), l'équation F(n) — 0 a pour transformée G(y)—= o. Cette deuxième manière d'envisager les multiplicateurs donne une ouverture sur une question nouvelle et fort importante, la recherche des substitutions qui transforment une équation linéaire en elle-même : mais je ne peux m'y arrêter, et je reviens à la définition du rang par le moyen du multiphcateur. Elle résulte de la proposition suivante :

Le rang de l'équation G(y) = 0, relativement à la forme (y), étant désigné par r, l’ordre du multiplicateur correspondantY,(n) est égalà(n—1—2r).

On voit par là que, pour les équations de rang maximum et d'ordre

pair, le multiplicateur est d'ordre 1 et prend la forme An'+B, tandis que, pour les équations de rang maximum et d'ordre impair, il est de la forme la plus simple, An.

Le but de la théorie générale actuelle consiste dans la réduction de toute équation de rang 1 à une autre, de rang maximum; après q D ) 5 > AP quoi, on aura à chercher l’abaissement de l’ordre pour les équations de rang maximum. Dans une seconde communication, si l’Académie le permet, j'exposerai la théorie de la réduction du rang. Je montrerai ensuite que les équations du cinquième et du sixième ordre, de rang maximum, sont des transformées d'équations linéaires du 5 ) q quatrième ordre.

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