SUR UNE NOUVELLE CLASSE

D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

- INTÉGRABLES

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 101, 1885, p. 1238. &

Je me propose de faire connaître les caractères distinctifs des équations linéaires, sans second membre (à inconnue y et à variable x), dont la-solution générale revêt la forme

G) J = etf(r) + ebrp(x) Het (x) +...

les symboles f,, 4,... désignant des fractions rationnelles. |

Pour bien entendre l’énoncé qui va suivre, il faut se rappeler qu'une méthode fort simple, due à M. Fuchs, permet de reconnaître si la solution générale d’une équation linéaire est une fonction uniforme (pour toutes les valeurs de la variable).

TaéoriMe. — Pour qu'une équation linéaire

dn-1 Y

d Ve ie Nr Pyy = 0

f dry P (2) Mer ss dx

s'intègre sous la forme (1), cl faut et il suffit : 1° que ses coefjtcients P sortent des polynômes entiers, dont le degré ne surpasse pas le degré du premier d'entre eux P,; 2° que son intégrale générale soit uniforme. |

Les deux conditions sont nécessaires. Pour la seconde, c’est évident. Pour la première, c’est une conséquence immédiate de la théorie des intégrales irrégulières, commencée par M. Thomeæ, continuée récemment par M. Poincaré. Mais cette théorie ne semble