NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES INTÉGRABLES

pas encore permettre de prouver que les deux conditions sont suffisantes. On aurait même cru d’abord qu’elles ne le sont pas. C’est ce qu’on va comprendre par l'examen d’un cas particulier.

En général, si tous les polynômes P sont d’un même degré m, soient À,, À,, ..., À, les coefficients de x”: dans chacun d’eux : les constantes a, b, c, ..., qui figurent dans l’expression (1) de y, sont les racines de l'équation

Si donc P, est seul du plus haut degré, les constantes a, b, c, ... seront toutes nulles, et y sera rationnel. Or on sait, par la théorie des intégrales régulières, que nécessairement, si y est rationnel, P, est au plus du degré m —1, P, du degré m— 2, ...., P, du degré m—n. On serait donc, dans ce cas particulier, tenté de croire insuffisantes les deux conditions énoncées. Il n’en est rien : la seconde entraîne avec elle, d’une manière cachée, cette loi des degrés des polynômes.

Ces considérations justifient, je pense, la méthode détournée, quoique très simple, par où je prouve mon théorème, en faisant appel aux fonctions elliptiques (‘). Il suffira d'indiquer ici, par quelques mots, ma démonstration. |

Toute équation (2), qui satisfaitaux conditions énoncées, peut être considérée comme la dégénérescence d’une autre équation, à coefjicients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. Ceci devient presque évident quand on a divisé le premier membre (2) par P, et réduit chaque coefficient en fractions simples, si alors, dans chaque coefficient, la somme des résidus est égale à zéro. Mais cette restriction disparaît si l’on a soin d’envisager une équation à coefficients doublement périodiques ayant » points singuliers de plus que la proposée. On peut prendre les valeurs de + qui répondent à ces points singuliers sous la forme &w + &,, & 42, ..., où w désigne une demi-période. Si maintenant on fait converger vers zéro les deux invariants des fonctions elliptiques, les éléments simples, relatifs aux points singuliers supplémentaires, tendent tous vers zéro, pourvu que 4, &, ... conservent des valeurs finies. En même temps, les

(!) On peut aussi démontrer la proposition par une autre méthode, où les fonctions elliptiques n’interviennent pas.

éléments simples, relatifs aux points singuliers primitifs, convergent vers les fractions simples qui forment les coefficients de l'équation proposée (2).

Par un beau théorème, dû à M. Picard (!), on connaît la forme générale de la solution pour une équation à coefficients doublement

ë périodiques et à intégrale générale uniforme. Cette forme dégénère

en la forme (1) quand les invariants convergent vers Zéro. Ma propo-

sition se trouve ainsi prouvée. |

J'avais déjà, 1l y a six ans (?), indiqué qu’on peut, des équations à coefficients elliptiques, déduire d’autres équations intégrables sous la forme (1). Mais, à cette époque, je n'avais pas soupçonné l’existence d’un théorème aussi général et aussi simple. Voici les exemples que j'avais alors donnés (7 est un nombre entier, qui, dans le second exemple, ne doit pas être divisible par 3); le premier est, depuis bien longtemps, classique :

. n(n +1) Fa

MAT ET Vin? à Ÿ t De Fr 23 + ÿJ = 0:

DOS Vars Robe PA — dites 3)(n — Abe æ? mr: æ*

DAX Sat

les

Voici maintenant des exemples nouveaux; on peut en composer à

volonté :

m 2(n+H1) nn 6n ue er.

Dans celui-là, outre la solution y = aæ?— 2(2n—1), il y a deux

. 1 IE L ff \ : .

autres solutions de la forme eV" f(x), où f est rationnel :