PROBLÈME DE GAUSS CONCERNANT L'ATTRACTION D'UN ANNEAU ELLIPTIQUE

Cette solution même, que Gauss recommande à l'attention, n'offre, à vrai dire, de réellement remarquable que la dernière partie, celle où, pour la première fois, il est question de la moyenne arithmético-géométrique. Quant aux calculs employés par Gauss pour réduire à la forme canonique les intégrales elliptiques dont la solution dépend, ils ont perdu tout intérêt depuis qu'on y a reconnu les calculs élémentaires qui servent à rapporter un cône du second degré à ses axes de symétrie.

D’après:les progrès les plus récents accomplis dans la théorie des fonctions elliptiques, on sait que la réduction à la forme canonique n’est pas nécessaire pour le calcul des périodes (1). 11 y avait donc lieu de reprendre le problème de Gauss pour en donner une solution explicite n’exigeant pas la résolution préalable d’une équation du troisième degré. Cest ce que J'ai fait. Je me contenterai ici d'exposer la solution, sans.qu’il soit besoin d’en fournir la preuve. On y remarquera que je laisse arbitraires les axes de coordonnées; je ne les suppose même pas rectangulaires. Cette circonstance importe aux applications, comme on peut le voir dans le mémoire de M. Hill.

La masse d’un arc infiniment petit, sur l'orbite attirante, est proportionnelle à l'aire du secteur ayant cet arc pour base et le foyer pour sommet, Dans les formules ci-après, la masse est prise égale à cette aire. |

Désignant par x, y, z trois indéterminées, je compose, avec ces indéterminées, une forme quadratique ®, qui a quelque analogie avec le potentiel : sotent æ,, Yo, 3, les coordonnées du foyer (le Soleil) et a, $, y celles du point attiré; après avoir pris les dérivées partielles D nie Le st l’on y remplace x, y, 3 par-Zo— %, Yo — 8

0%: 0y -0z V Fa 20 — y, on obtient ainsi les composantes de l'attraction.

La forme ® est composée de trois autres, M, L, A : 1° la forme M représente le carré de la distance d’un point à l’origine des coordonnées ; 2° la forme L, égalée à zéro, représente un cône égal et homothétique à celui qui a pour base Porbite et pour sommet le point attiré ; 3° la forme A, égalée à zéro, représente le cône réciproque (polaire réciproque par rapport à une sphère concentrique). Cette forme À est prise de telle sorte que son disceriminant soit réciproque de celui de la forme EL. |