PROBLÈME DE GAUSS CONCERNANT L’ATTRACTION D'UN ANNEAU ELLIPTIQUE

L’algorithme F désigne des séries hypergéométriques. Les lettres À et B représentent des transcendantes numériques très connues, savoir

l dx af © =1,311028777140..., à Vi— xt TS be TA —= 0,599070117367...

Il est, en outre, nécessaire de donner une seconde expression de la transcendante o(E) pour le cas où £ est voisin de l’unité. C’est là une circonstance ordinaire dans la théorie des séries hypergéométriques. Mais alors 1l y a deux formes différentes répondant au signe + du produit K;,23. Dans les deux cas, les développements procèdent suivant les puissances ascendantes de la quantité 6,

Si, en ce cas, &, se réduit à zéro, la transcendante v disparaît. C’est ce qui arrive quand le cône, ayant pour base l'orbite et pour sommet le point attiré, est de révolution.

2° Dans le cas où K,23 est négatif, le développement est plus compliqué; il comprend la série

Si, en ce cas, &, devient voisin de zéro, cette circonstance indique que le point attiré est voisin de l’orbite attirante. Tel est le résumé de la nouvelle solution que je propose pour le

problème de Gauss.

- LA Ld Si, par exemple, on prend pour axes de coordonnées les axes de

symétrie de l'orbite, de grandeur a, b, avec la perpendiculaire au NE ; S > 0; Ï

plan de cette orbite, on aura les expressions suivantes pour les formes M, L, À et les invariants K :

d Mary 22, (yx— az)? yy — bz} 3°?

en RNA Ro ee AS 1

A— AT? by— (ax + By + y}, K; = a? —- ÉRESRIEEE Gr 2 Ko = ab? b2a2— a?B2—(a?+ b2)y?,

4 te 2 Lempd ee — 4 K3 = — Aire h= {- /

Pour avoir les composantes de l'attraction, il faudra, après avoir pris les dérivées partielles de ®, y remplacer x, y, 3 par c — a, —$,

— y, € étant la distance du foyer au centre, ou V/a?— b?.

Die. ds ll

LAN RAY. 2 x Ca 2

SUR LE

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 104, 1887, p. 807.

La recherche du mouvement d’un, corps solide dans un liquide indéfini se ramène à l'intégration de six équations différentielles simultanées, établies par M. Kirchhoff(!}, et qui ont fourni à Clebsch le sujet d’un beau mémoire (?). Trouvant, par une méthode entièrement neuve, plusieurs cas encore inconnus où le problème se réduit à des quadratures, Clebsch nous à fait comprendre qu'il existe, sans doute, un nombre indéfini de pareils cas. Parmi ceux que l’on connaît maintenant, le plus simple, déjà signalé par M. Kirchhoff, un peu étendu par Clebsch, conduit à des quadratures elliptiques. Par l'emploi des fonctions elliptiques, il existe donc un cas où ce beau problème est susceptible d’une solution complète, où tous les élé-

ments du mouvement peuvent s'exprimer en fonction expheite du

temps (*). |

Ayant voulu faire effectivement cette application nouvelle des fonctions elliptiques, j'ai rencontré des formules d’une simplicité assez marquée eu égard à la complication du problème, des formules par lesquelles on se rend compte aisément du mouvement cherché. Mais l’étude de ces formules m’a conduit, en outre, à une conclusion inattendue.

(!) Vorlesungen über Mathematische Physik, p. 256.

(?) Mathematische Annalen, t. III, p. 238.

(5) On omettrait le travail le plus intéressant peut-être, parmi ceux qui se rapportent au mouvement d'un solide dans un liquide indéfini, si lon ne mentionnait un beau mémoire de M. H. Weber, publié dans les Mathematische Annalen, t. XIV, p. 173. Là aussi, dans un cas particulier, tous les éléments du mouvement sont exprimés en fonction explicite du temps, par le moyen des fonctions hyperelliptiques.

L’attention a été récemment appelée (!) sur un admirable théorème, trouvé par Jacobi, et d’après lequel'le mouvement d’un corps grave de révolution, suspendu, dans le vide, par un point de son axe,se décompose en deux mouvements à la Poinsot. C'est dans les formules elliptiques, représentant le mouvement du corps grave, que Jacobi a su lire cette décomposition, dont M. Darboux à donné, il y a deux ans, une démonstration directe et élégante.

Parmi les formules nouvelles dont j'ai parlé, celles qui représentent la rotation du corps solide dans un liquide font apparaître aussi une décomposition analogue, à peine plus compliquée, en deux mouvements à la Poinsot et une rotation autour d’un axe fixe dans le corps. Dans le cas même où le corps est homogène et de révolution, cette dernière rotation disparaît.

On sait, grâce à M. Darboux (?), réaliser mécaniquement les mouvements à la Poinsot. Il est donc permis de conclure que l’on pourrait reproduire, par un appareil assez simple, la rotation même que prendrait, dans un liquide indéfini, un corps solide, homogène et de révolution, soustrait à l’action de toute force extérieure.

Il existe toutefois, dans cette décomposition, un cas exceptionnel. En ce cas, qui se distingue seulement par le signe d’un coefficient, les mouvements composants sont imaginaires; et c’est un fait digne de remarque, bien que sans aucune signification cinématique, que la décomposition d’un mouvement réel en deux mouvements imaginaires. %

Les équations différentielles du mouvement contiennent six inconnues. On considère trois axes rectangulaires, mobiles dans l’espace, fixes dans le corps solide. Soient U, V, W les composantes de la vitesse de leur origine, prises sur ces axes eux-mêmes; soient encore P, Q, R les composantes de la rotation instantanée, prises sur ces mêmes axes. Ce sont là les six inconnues qui figurent dans les équauons de M. Kirchhoff. Dans ces mêmes équations, sous la forme qu'a employée Clebsch, les inconnues sont autres, liées aux précédentes par des relations linéaires. Elles sont dénotées æ,, Ze, %3; Vis Vos J'a. Soit T la force vive totale du solide et du liquide. Les

(1) Par M. Darboux, et par moi-même [| Œuvres d’'Halphen, t. IV. p. 261], dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, de 1885, t. C, p. 1065, et t. CI, p. sr. (*) Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. CI, p. 205.

quantités x sont les dérivées partielles de T par rapport à U, V, W, et les quantités y les dérivées par rapport à P, Q, R. La force vive T est exprimable, en forme quadratique, au moyen des nouvelles inconnues, et le cas d’intégrabihté dont il s’agit ici est celui où, par un choix convenable des axes, cette forme quadratique T se réduit aux termes suivants :

I I T=plat+ai)+ pe

PURES ' à J et. 2° less + q(æ; Vi + Lo Ya) + q PPT PRE CRE ES ET

Quand le solide est de révolution, les coefficients g et g' disparaissent. :

Le cas dont j'ai parlé tout à heure, celui où la décomposition du mouvement est imaginaire, se distingue par ce fait que (p'— p) y est négatif. C’est seulement quand (p'— p) est positif que la décomposition est réelle. Elle est réelle aussi dans le cas intermédiaire, celui où (p'— Pp} est nul, et la rotation du corps s’y rapproche beaucoup de celle d’un corps grave de révolution suspendu, dans le vide, par un point de son axe.

Je ne rapporterai pas ici les formules mêmes qui Fu connaître le lieu du corps à un instant quelconque ; je ne pourrais le faire avec clarté sans allonger, outre mesure, cette communication. Il me ; suffira de donner une idée du mouvement, en citant la proposition suivante :

Le mouvement du solide se compose : 1° d’un mouvement hélicoiïdal uniforme autour d’un axe fixe dans l’espace; 2° d’une rotation untforme autour d’un axe fixe dans le corps; 3° d’un mouvement périodique.

Je me propose maintenant d'expliquer sommairement la décomposition en deux mouvements à la Poinsot. Et d’abord, je dois rappeler ce que sont ces mouvements.

Généralisant un peu la conception du mouvement donné par Poinsot comme image de celui d’un corps solide qui n’est soumis à aucune force, on a été conduit à envisager le mouvement analogue où les propriétés cinématiques subsistent, où seulement l’ellipsoïde d'inertie est remplacé par une surface du second degré à centre et

LR 5 RD OR nur: ENT e ts de 10 6 RÉEL ESS

quelconque, ellipsoïde ou hyperboloïde. Au lieu de supposer cette surface mobile, il est ici plus commode de l’imaginer fixe.

J’appelle donc mouvement à la Poinsot celui d’un plän qui roule, sans glisser, sur une surface du second degré, en restant à une distance constante du centre de cette surface, et avec une vitesse de rotation instantanée constamment proportionnelle à la longueur du rayon vecteur qui va de ce centre au point de contact.

Les axes fixes auxquels on rapporte naturellement ce mouvement sont les axes de figure a, b, c de la surface du second degré; les axes mobiles qui représentent le corps en mouvement ont une origine fixe, car c’est la rotation seule que l’on envisage. L'un d’eux Z est perpendiculaire, les deux autres X et Y sont parallèles au plan mobile.

Dans les mouvements à la Poinsot ainsi définis, le mouvement particulier de l’axe Z est périodique. Sa période peut être appelée la période du mouvement, quoique, bien entendu, le mouvement du corps ne soit pas périodique. ù

rl à L k ; Soit Fe le rapport constant du rayon vecteur à la rotation instan-

tanée ; soient a?, b?, c? les carrés des demi-axes de la surface du

second degré, et À la distance constante du plan mobile au centre : les quatre nombres 2e La Fe À caractérisent complètement un mounm On? nn vement à la Poinsot. J’ai à considérer simultanément deux mouvements analogues : distinguons-les par les indices o et 1, affectant les lettres a; b, c, h, n.

J’appelle concordants deux mouvements à la Poinsot satisfaisant à la double condition que les trois différences, analogues à celle-ci (aè—h?)(b2—h?) (ai—h})(b?—h?)

2e 2h? è nine n?h?

soient égales entre elles.

La double propriété, qui correspond à cette double condition, consiste en ce que d’abord les deux mouvements ont une même période, et en ce que leur représentation elliptique se fait au moyen de fonctions ayant un même invariant.

Dans la décomposition trouvée par Jacobi, les mouvements composants sont concordants; mais ils sont liés par une relation de plus. En outre, ils présentent encore cette circonstance que les axes

op + Le RER Pi CT Eee CAUSE RES TE OO CT RENE EN ET Ti ACTE De NT pe % PRE EE + 2 1 EME A RP RE” + n LCR 4 RUE 2 Sa EURE FE D Ce Sd TU : Fate

| ne A AT : L ù «+ 1 À : L Ti R L

SUR LE MOUVEMENT D'UN SOLIDE DANS UN LIQUIDE. 3ot

Z5, ZA se placent simultanément dans des plans principaux des deux surfaces du second degré. Dans la décomposition que j'ai en vue, les deux relations de concordance sont les seules que l’on doive supposer, et les deux axes Z,, Z, occupent simultanément des positions quelconques. |

Voici, après ces préliminaires, la proposition que l’on peut énoncer :

Par rapport à des axes fixes a, b, c (axes de symétrie des deux ellipsoïdes ou hyperboloïdes), deux systèmes X5, Yo, Lo et X:, Y,, Z, sont animés de deux mouvements à la Poinsot concordants. Les axes X,, Y,, L; entraînent avec eux un autre système À, B, C, où l’axe C coïncide avec L, et qui est animé, par rapport 4 X4, Yi, 1, d’une rotation (autour de Z,) dont la vitesse instantanée a pour expression

M COS 2129 Sr la constante M est convenablement choisie, le mouvement relatif de À, B, G, par rapport à X5, Yo, Lo, reproduit la rotation d’un solide dans ‘un liquide (en l’absence de toute force extérieure) pour un quelconque des cas où, la force vive ayant la forme ci-dessus (T), la quantité (p'— p) est positive.

$ La détermination des coefficients de T en fonction des éléments des mouvements composants et la recherche inverse constituent deux

- problèmes fort intéressants, qui se résolvent tous deux sans aucune ambiguïté.

THÉORÈME SUR LES LIGNES GÉODÉSIQUES DE L'ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION ALLONGÉ

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 105, 1887, p. 539.

Le théorème suivant, que Je me borne à énoncer, fait connaître le lien étroit qui relie deux théories, en apparence bien diverses, celle des lignes géodésiques tracées sur les surfaces de révolution du second degré et celle des mouvements à la Poinsot.

Taéorsue. — Toute ligne géodésique, tracée sur un ellipsoide de révolution allongé, se projette sur le plan de l'équateur suieant une courbe qui peut étre engendrée par une ellipse à centre fixe et roulant sur ce plan.

Soient À, B les axes de l’ellipsoïde (A © B), et C le rayon des parallèles qui sont tangents à la ligne géodésique. Soient aussi a, b(a>b) les axes de lellipse roulante et À la distance de son centre au plan de roulement. On a les relations suivantes :

e À A2 C2 mn EhR TS Ci lot he Dr es

THÉORÈME SUR LES ARCS DES LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION DU SECOND DEGRÉ

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 105, 1887, p. 583.

Les arcs d’ellipse ou d’hyperbole limités aux points de contact des tangentes menées d’un point pris sur une conique confocale donnent lieu à des propositions très connues et tout à fait classiques. Ces propositions ont été généralisées; elles ont lieu sans modification, pour ainsi dire, sur la surface de tout ellipsoïde, par exemple, quand on remplace les coniques par des lignes de courbure et les tangentes droites par des tangentes géodésiques.

C’est d’une extension fort différente que Je me suis occupé, en remplaçant lellipse ou lhyperbole sur laquelle sont considérés les ares par une ligne géodésique de surface du second degré de révolution. : SRE Pour une surface du second degré quelconque, les tangentes de

toute ligne géodésique coupent chaque surface confocale suivant

deux courbes distinctes. Cette décomposition est une conséquence très facile d’un théorème de Chasles, consistant en ce que ces tangentes touchent une surface confocale, pour laquelle, on le voit, les deux courbes distinctes viennent se réunir.

"S1 la surface est de révolution, la proposition se complète comme il suit : les deux courbes, qui forment ensemble l’intersection complète, sont égales entre elles; elles diffèrent de position seulement : l’une peut être ramenée sur l’autre par une rotation autour de laxe de révolution. à

Chaque point de l’une de ces courbes a, de la sorte, son homologue sur l’autre. Plus exactement, il a une infinité d’Aomologues, attendu que chaque courbe se compose elle-même d’une infinité de branches

égales entre elles, et dont chacune s’obtient en faisant tourner une seule d’entre elles, autour de l'axe, d’angles en progression arithmétique. C’est, au reste, ce qui a lieu pour la ligne géodésique ellemême. |

Voici maintenant quel est le théorème : Sur les deux courbes d'intersection d'une surface confocale on prend deux points homologues y et y’. En chacun d'eux passe une tangente de la géodésique; soient x et x! les points de contact. Soient sets les arcs de la géodésique aboutissant en x et x! et comptés à partir de deux points fixes x, et x;, positions particulières des points x et x’. Soit m le nombre des points à l'infini qui séparent x et x". La différence s'— s des deux arcs et la somme xy &(—1)"x y! diffèrent par une longueur constante. On doit prendre le signe plus quand la surface confocale ne rencontre pas la géodésique, le signe moins dans le cas opposé.

Giant la géodésique n’a pas de branche Mine ce qui a lieu seulement sur les ellipsoïdes, ou quand les deux points + et x’ ne sont séparés par aucun point à l’infini, on peut dire plus simplement : l'arc xx’ et la somme xy +x'y' diffèrent par une longueur constante, st la surface confocale ne rencontre pas la géodésique. Si, au contraire, il y a rencontre, la différence xy — x'y' est égale à la différence des arcs y,x et y,x', comptés à partir de deux points homologues y, et y,, situés sur la géodésique.

C’est en supposant la ligne géodésique réduite à un méridien que l’on voit la proposition précédente se confondre avec les théorèmes classiques concernant les arcs d’ellipse ou d’hyperbole. En ce cas, les deux courbes d’intersection, dont il était tout à l’heure question, se réduisent à une seule conique confocale à la première, et Les points homologues viennent coïncider entre eux.

ie QE

SUR LE

Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4° série, t. 4, 1888, p. 5.

Tous les géomètres connaissent la belle application qui, dans l’ouvrage de Sir William Thomson et Tait, a été faite du principe de Hamilton au problème du mouvement d’un solide dans un liquide indéfini, et le système de sixéquations différentielles données par M. Kirchhoff pour la solution de ce problème. En supposant qu'aucune force accélératrice n’agisse sur le corps solide et sur le liquide où il est plongé, M. Kirchhoff en a déduit un cas, celui par exemple où le solide est homogène et de révolution, dans lequel les équations différentielles conduisent à des quadratures elliptiques, et ce cas a reçu depuis une certaine extension, comme on peut voir dans un mémoire de Clebsch. Par l’emploi des fonctions elliptiques, il existe donc un cas où ce beau problème est susceptible d’une solution complète, où tous les éléments du mouvement peuvent être exprimés en fonction | explicite du temps (!).

C’est cette application des fonctions elliptiques que j'ai en vue d'exposer dans le présent mémoire, application bien propre à marquer, vu la complication du problème, les services que l’on doit attendre de l'emploi, de plus en plus propagé, des fonctions.elliptiques.

L’attention a été appelée récemment (?) sur un admirable théorème trouvé par Jacobi et d’après lequel le mouvement d’un corps grave de

(1) Un autre cas, signalé par Clebsch, donne lieu aussi à une solution complète au moyen des fonctions hyperelliptiques. Cette solution a été développée par M. H. Weber dans les Mathematische Annalen, t. XIV, p. 173. j 1

(2) Par M. Darboux, et par moi-même [| Œuvres d’Halphen, t. IV, p. 261], dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. GC, p. 1065, et t. CI, p. 11; 1885. (Voir aussi Cours de Mécanique de M. Despeyrous, avec des notes de M. Darboux, t11,-p. 531).

révolution, suspendu par un point de son axe, se décompose en deux mouvements à la Poinsot. C’est dans les formules elliptiques représentant le mouvement du corps grave que Jacobi a su lire cette décomposition merveilleuse, et certes il est difficile de ne pas admirer la perspicacité dont a fait preuve, dans cette occasion, le célèbre

géomètre. :

En étudiant l’analyse de Jacobi, j'ai été conduit à lui trouver une extension inattendue; les formules qui représentent le mouvement d’un solide dans un liquide font apparaître aussi une décomposition analogue. J’exposerai ici ce résultat après avoir donné les formules du mouvement. Mais, pour pouvoir me suivre jusque-là, il faut que le lecteur connaisse la représentation elliptique des mouvements à la Poinsot et la composition de ces mouvements. De là l'obligation d’exposer cette théorie dans des paragraphes séparés par où je commencerai ce mémoire, avant d'entamer le problème du mouvement d’un solide dans un liquide. Je réduirai d’ailleurs ces préliminaires à leurs parties

essentielles pour le but que Je poursuis.

Ï. — Sur UNE REPRÉSENTATION ELLIPTIQUE DES COSINUS DES NEUF ANGLES QUE FONT ENTRE ELLES LES ARÈTES DE DEUX TRIEDRES TRIRECTANGLES.

Soit u un argument elliptique quelconque. La fonction (pu —e;) est, comme on sait, un carré parfait, c’est-à-dire le carré d’une fonction uniforme (la notation e, désigne, rappelons-le, la valeur de la foncon p pour une demi-période quelconque w,, en sorte que e, = pus).

S1 l’on prend donc deux arguments w et, la fonction Sr est aussi = , 7 : — &

un carré parfait P?2,

D'autre part, la foncuon 1 — P?— nn est décomposable en Res ;

deux facteurs uniformes, différents de 1 Æ P. Soient Q, R ces deux facteurs; ils donnent lieu à l'égalité P?+ QR = 1, et les trois foncuons P, Q, R peuvent servir à représenter trois quantités liées par une relation quadratique. Elles peuvent donc servir à représenter les cosinus des angles qu’une droite fait aveg trois axes rectangulaires.

Composons ces trois facteurs, affectons Q et R de coefficients arbi- -

traires C et + i ne troublent pas la relati drati ) ‘a C? qui ne trouniIien pas a relation qua ratique, puis, pour

la symétrie, changeons # en (P — w4), et nous aurons les expressions

ca ess à: Dh Le: dt à

suivantes pour les trois cosinus d’une droite a avec trois axes x, y, 3:

o(u—wg)T(v — wg) :

COS 3 = Gatp+u—wu), OuSv # er » F5 >: [74 —- [2 - O y TO F (1) cosax +icosay = C ta Po enñals+u—wu), SUuSv à IO(U—P + w,y)s uw COSAaT —-1COSAY = = PV Ba) Wa elalv—-u—w0%).

(@ SuSp

En employant les fonctions & à indices et La notation