PH )E

ARE s(ai+a)ou.

et la décomposition donne la formule

rt F(u)=— pu) +(p—{ai—Ca:)P(u).

Soient d’abord

G=bg Gus, p=lwat+lop= na +18;

et désignons par Wu) ce que devient ainsi D(w), sauf un facteur constant, d

La DE La

ellou+n g) u.

Nous aurons

(wat wg) a(u — wa) su — w$)

eMatngu = W'(u).

T'Og T8 k o?u Ca

Soient, én second lieu, A=V—UWB, A2= Wy—, P = Qu — NB;

l'élément simple D(uw) est alors

Su —wWy+ wB)

ANS | (y— 08) u

eMu-1p) He

et 1l ne diffère de W(u) que par un facteur constant, car on a effectivement

P(uw) = — PARENTS ug)

Yu).

La formule de décomposition ci-dessus donne donc

(2) (Wat 8) SOHE PRRS RAS EE CRE * SP — wa) TS (? — wp) o?u

= — Wu) + [Cv — wp) —C(v — wa) +n8g— na] W(u).

L' Se ls scie on,

Echangeons les indices & et 8, ajoutons membre à membre la dermère égalité et celle que nous obtenons par cet échange, puis remplaçons W’(u) par son expression (6). 11 vient ainsi

—————— — [su — ei (a—Ng) 14 rate ei ON Ur pee

g'( URSS Wa) g( Hip wg) elng—fa)4 ]

d(u—wy)s(u— wB) elautNgu — 0,

TWyT uw D’après les égalités (1, 4), ceci revient à

(cosbr —icosby)(cosax +icosay)

+ (cosbr+icosby)(cosax—icosay)+2cosazcosbz=o

ou bien cosbr cosax + cosby cosay + cosaz cosbz = 0.

Ainsi est prouvée la perpendicularité des deux droites a et b.

Comme il y a trois demi-périodes distinctes, nous pouvons prendre une troisième droite c en définissant les cosinus des angles qu’elle fait avec les axes æ, y, z par des formules toutes pareilles, où seulement on mettra la troisième demi-période w,. Cette droite c sera perpendiculaire aux droites a et b. Donc les cosinus des neuf angles que les arêtes d’un trièdre trirectangle a, b, c font avec les arêtes d’un autre trièdre trirectangle x, y, z peuvent être représentés par les formules suivantes où GC, u, + sont arbitraires et w4, WB, Wy sont trois demi-périodes distinctes (c’est-à-dire dont les différences deux à deux ne sont pas des périodes), savoir les formules (1) et celles qu'on en déduit en changeant aetxenbetf,;ouencety(!).

Chacune des six droites à, b, ec et x, y, z est ici affectée d’un sens, considéré comme positif. Elles forment, si l’on veut, deux systèmes d’axes rectangulaires. En faisant correspondre entre eux ces axes deux à deux, a avec x, b avec y, c avec z, on peut rencontrer deux cas : ou bien les deux systèmes sont congruents, c’est-à-dire qu’on peut transporter l’un d’eux de telle sorte que les axes correspondants coïncident

(1) Les quantités C, uw, 0 sont complexes; dans chacune d’elles cependant il n’y a qu’une seule arbitraire. Pour abréger, je ne place pas ici l'étude des conditions sous lesquelles les formules (1) fournissent des angles réels, étude qui conduit à la conclusion que je viens de dire. La nature des quantités C, w, © apparaîtra plus loin, d’une autre manière.

en position et en sens, ou bien ils sont éncongruents. La distinction des deux cas se fait par la quantité

cosaæx cosby — cosay cosbx (8) ET RAR MOULE EN COSCZ

qui est égale à +1 dans le premier cas, à — 1 dans le second.

Examinons quel est e dans le mode de représentation ci-dessus. À cet effet, après avoir, dans la relation (7), échangé « et $, comme pré- SRReSRe retranchons les deux égalités membre à membre, au lieu de les ajouter. C’est alors le terme W'(u) qui disparaît au second membre, et le terme suivant qui se conserve. Transformons d’abord la quantité entre crochets : c’est une fonction doublement périodique de »; exprimons-la en produit de facteurs, ce qui est aisé,ses racines étant évidentes. Nous avons ainsi | ;

CCE —wp) — (9 — a) + n8— Na S'(da—wBs) Sp o(P — wy— WB )

Wa TuwB SP — Wa) T(P — w8)

4 € 20804 s(wa+ w8) POP —Wy— wBp) g

Ty TUwg Tr —wy)T(r — WB) - De là résulte, d’après (1, 4),

cosar cosby — cosay cosbx S(u—wy—w8)S(r —oy— 08 = — À ea Wp NB x SOUS Da RTE UE (9): U OU!

So+tpUuS Sat?

gucr

eat Qg)(u+v- 0-08),

= — = efangs NU Uë+8 t

Les trois demi-périodes w,,w8, wy étant distinctes, la fonction 6,,8 reproduit 5}. De même U,,8 FROM + Ü}; le signe dépend du choix de ces demi-périodes, qu’on peut altérer en y ajoutant à volonté des périodes entières. Pour fixer les idées, 7e supposerai désormais , la somme des trois demi-périodes nulle. Alors U,4 reproduit ÜUS | Le second membre (9) reproduit alors coscz, multiplié par le int

E = — — eElaWs NU,

On sait que l’exposant.de e, dans cette formule, est toujours un 710

« (L1) QU, 9, w) =

multiple impair de. Soit donc VIT Na wWB— n8Wa— (24 +1) FE

le caractère de congruence des axes est défini par l'égalité

e—=(—1)#ti,

IT. — Sur LA DÉCOMPOSITION D'UNE SOMME EN PRODUIT.

Parmi les égalités qui ont lieu entre les neuf cosinus, prenons. celle-ci

> (cosax +icosay)(cosax —1cosay) = 2,

où le signe sommatoire indique qu'on devra successivement rem- - placer a par a, bet c.

Remplaçons les quantités cosax +i cosay et les similaires par leurs expressions (1), et nous aurons

> OEURE = W)o(u PEU )s ven —=302H0 70,

. où le signe sommatoire indique que w devra être successivement rem-

lacé par les trois demi-périodes w4, wg8, w,, en même temps que P Le Fast à que n Par Nu, 18; Ny

En mettant » et ?, au lieu de p + w et e — u, on peut encore écrire

DH ps 0 —#:

(9) D'ou) (in) dtoentrn to) = — 20 2 5? D] ?

o Cas particulier d’une formule plus générale, que nous allons établir. Prenons la fonction

g(u—p+w)o(u—w) giud(r —w)s ww

qui diffère seulement par les notations et par un facteur constant de la fonction doublement périodique de seconde espèce F(#), envisagée plus haut, où l’on suppose o — 0.

: L'élément simple s’écrit 1C1

SAP Oo (PE EP) à A ee Tr et l’on a (114) o(u,p,wm)=—D(u)—[{(e—w)+iw]b(u).

Si, dans cette formule, on multiplie les deux membres par cette fonction de l'argument v

f(b)=o(e— mevtw, on pourra écrire le résultat sous la forme (110) fir)o(u, pe, m)=— f(v)P'(u)—f'(v)P(u).

Soit À la somme (10) et soit aussi S la somme obtenue en prenant successivement pour æ les trois demi-périodes et m ulüupliant chacune

des fonctions w(u, P, w) par le terme correspondant de la somme À ;

on aura '

he Ù d(p—m)o(p—w)s2menr+na-20) Qu, 6, w).

Dans cette somme, chaque multiplicateur de + a la forme supposée ci-dessus pour f, sauf un facteur constant. On a donc, d’après (11 b),

To P(u).

S—=— Adp(u)—

Si maintenant l’on met, au lieu de À, le second membre (10), il vient

p+p 6 — 9 a p+p p— p | S = 20? RE fartu) + (e re LI

D ou bien, d’après (11 &),

PHP 0 —0: Érae S = —20? qe e(u p, Ù

Remettant enfin, pour $ et pour w, les formes de définition et chassant les dénominateurs, j'obtiens la formule cherchée

S g(u—w)g(u—p +w)s(p; — w)owentr+rr-2u) sd uw)

Sie 0) EN nt | ee ml 02 pe — ÿ = — DS ——— 57 Su — (of PE RAT , D 2 2 F

dont l'aspect est plus symétrique si l’on écrit w, 6, w, au lieu de u, 0 —U, Pi: ;

(12) Dites T(P— w)s(æ—w)s g'uw en(4+v+w-20)

le produit, au second membre, est composé avec les quatre facteurs obtenus par les diverses combinaisons des signes #.

IIT. — ComposiTION DES TRIÈDRES TRIRECTANGLES.

Soient trois systèmes d’axes rectangulaires à, b, €; æ6, Vo, 303 Z1, 1, 31. On donne les cosinus des angles que font les axes &, b, c avec x, Vos 30 et avec ti, 1, 81, et l’on demande les cosinus des angles que font entre eux les axes r,, Yo, Zo et Tr, Yi, 31. C’est ce problème que, pour abréger, j'appelle problème de la composition des trièdres trirectangles, problème résolu par des formules élémentaires de géométrie analytique, mais qu’il s’agit de résoudre explicitement au moyen de la représentation elliptique précédente. On suppose les cosinus exprimés par les formules ci-dessus au moyen des mêmes fonctions elliptiques dans les deux cas, mais avec des quantités CG, Uo, Vo pour les axes 5, Yo, 39, et des.quantités différentes C;, w,, v, pour les axes æ,, ya, 21.

Pour résoudre le problème, je chercherai les expressions elliptiques des quantités suivantes :

(13) COS 30 T1 + Lt COS 301; COS 31 To + L COS 31 Yo) COS 31 30:

Les conjuguées des deux premières se déduisent par deux relations évidentes, savoir :

(14) (COS 30 T1 + L COS Z0 V1) (COS 39%1 — [COS Z0Y1) = (COS 31 Vo + t COS 31 Yo) (COS 31 Mo — L COS 31 Yo)