COS
et les autres cosinus s’obtiennent, sans aucune ambiguïté, quand on sait si les deux systèmes d’axes sont congruents ou incongruents. Pour ce but, on a, en effet, l’équation suivante, qui se conclut des relations analogues à la relation (8), et.qui équivaut à quatre équations
distinctes, quand on donne à £ et à j séparément les valeurs
i=+y—1, Dee
COS Lo Li + É COS To V1 + J COS Vo Ti + E] COS Yo 1 <
(COS Z0%1 + i COS 301) (COSZ1 To + J COS Z1 Yo) £i] — COSZoZ1
La quantité e est E 1, suivant que les axes T6, Yo, 20 et Ti, Vas 24 sont congruents ou non. Mais ici ces deux systèmes d’axes présentent un même caractère de congruence ou d’incongruence par rapport à à, b, c; ils sont donc congruents entre eux, et & devra être pris égal à HI. |
On voit donc que les trois quantités (13) déterminent sans ambi-
guité les positions respectives des deux systèmes d’axes, moyennant
la connaissance du caractère figuré par le signe de e, lequel est ici le signe plus. & D’après une formule élémentaire de géométrie analytique, on a
COS 30 T1 E L COS 30 Y1 = > cos a Zp(C0s ar EtCOSA Yi).
D'après les formules (1), nous aurons, en prenant le signe plus,
COS 3041 + COS 301 5 Anis FLOU SRNES o'( A \æ/( )o( — t) c'e eNtPo+ dot Vi +420) er FES GO (Uÿ—w) OS (Po— 0) OS (Hi +1 90 .
UT VoT U1T V1: wo
Par conséquent, d’après la formule de sommation (12),
j 2 C: Ui+ PE UE?
(15) COS Z0 Li + t COS Z0 V1 — —————— [le 1 1 0 0, S'UTVoS UTP] 2
Semblablement, en prenant le signe moins,
: : 2 EURE PT EMILE (16) COS 26% —1 COS 30 V4 = — —————————— j [= — = —— Cio'u) 5900 u10 vi
De même, cosz, 2 + cosz, y, s'expriment par des formules toutes semblables : 1l suffit d'échanger les indices o et 1. On remarquera que l’on retrouve, par cet échange, les huit mêmes facteurs, mais groupés différemment, ce, qui constitue, d’après la double égalité (14), une
ER DO Éan À DCE peu
seule et même expression pour 1 — COS? Z9 31 — = Sin2353; SAVOIT :
SIN? 2924 = — —— TL ———————— (S'uyT Vos ui Svr)? 2
Pour parvenir à l'expression de cos 3, 3,, transformons d’abord cette dernière formule au moyen de la relation fondamentale
(17) STRVETE =pr—pu. .
Posant Up + U; L Ugo — U: ; 2 2 Porte, #4 No € | ' RE à D — 6:
4 2 i } 2 | nu :
nous pouvons écrire ; (a—6B)(a— B')(x"— B)(x'— 8’ RE et vx B)( B) b) 2 PrAe (œ — x'}2( B'>2 (æ— a" }2(8 — PT éta f9 j(a— G')(æ—B)(x—f$") (a — x )2(8 — f')
En tenant compte de l'identité (a—a)(B—$)=(a— 8) (x B)— (ax —$")(a«— 6), on voit que le numérateur de est le carré de (a—B}(a —8Y+(x—$8)(x— 8)
En extrayant la racine carrée, il reste seulement à fixer le signe, qui est entièrement déterminé, puisque l’on pourrait obtenir aussi ce même cosinus par la formule .
Coszfir— PE Zo COS A 31.
Le signe se détermine immédiatement si l’on observe que les deux axes Z, et Z, coïncident quand on a wo = u,, P9— 01. En ce cas, « et ©’ sont infinis, et cosz,3, doit se réduire à +1. On a donc
5 a—$B)(a'—£)+(x— — (18) AT RS Er AL D Pair Cm mm
Par ces formules (15), (16), (18), le problème de la composition des trièdres trirectangles est résolu.
mn
Voici quelques formules intéressantes ou utiles qui se rattachent
aux précédentes. À cause de l'identité
(LB) RTE La PA Pie (a C8 Pope CPE)
on a | 1+cos203 ASP AEEE RTE) il Gp 31 — 9) | LE ?{a—«)(B—8) 9 (a — B)(a—18") I — COS 39 31 = + Hasumii (Cena 2) B'y
Par le moyen de la relation fondamentale (15), on transforme ces expressions en produits de fonctions 9, par exemple,
2 = UE Vo E WEP:
LAPOSSH RETARD een EE € S'UoS Vo SU S V1 2
le produit À À comprenant seulement les quatre facteurs où le nombre
des signes moins est impair. L'expression de 1 — cosz,z, comprend, au contraire, les quatre facteurs où le nombre des signes motns est par.
Voici encore, pour Cosz,3,, une autre forme qui se rencontrera dans l’application que nous avons en vue.
Pour un instant, posons
LEFT a'=pa, = pb, 8 = pb", d’où résulte Fes (a — L') I - s(a+b')s(a—b')s(a + b)3(a —b) Ge (a—x')(8 — s(a+a')s(a—a)5s(b+b'")5(b —b")
Envisageons à à part les facteurs
CH Ye Ca 201 Sd Et )o dat
comme composant une fonction de a/, qui est doublement périodique et que nous décomposons en éléments simples. Nous avons ainsi c(a'+ b)s{a' —b) CÉA A Jola 4) c(a=—b\5{a 26) é = —— t{ta+a )+<l(a—a )—{(a+b)—{(a—b)].
