IV. — Mouvements 4 LA Porxsot
Si l’on écrit l'expression de coscz sous la forme suivante
.s(u + Sy) (9 + w)
COosCcs — e—nAe+u+0) ,
- user on voit que la fonction (5) Wu) diffère de ce cosinus par un facteur indépendant de w. De même aussi-les facteurs du premier membre, dans la relation (6), diffèrent de cosaz et de cosbz par des facteurs
2 indépendants de u. En considérant ces trois cosinus comme des fonctions de w, on trouve donc qu ils satisfont à trois équations différentielles déduites de la relation (6) par permutation des indices. Ainsi, cette relation (6) donne immédiatement
ses (5y+ w8) ARR, & 5 : “hg” à EE — eat 099 -Mada 150$ COS A 3 COS b 3 de Hé: DE — my) T9 — w8) ge” TRE dcoscz ".
QE me et ir" * à 4 Es. rt F6 —+— my) > du
rs
ce qui se réduit simplement à I d coscz SET — Wa — 08) (Wa + Wg)e 180, Tiatug 2, ——————— ————— ————— — - .
Le cosazcosbz du. S(P—wy)T (9 — wg)5w, sw
Comme on a d’ailleurs
Sox + 8)
T(wy— 6) 7
on voit que le second membre (22) peut s’écrire
ST (P — Wy— wB) (Wa w8)
= AUOT 120) d TP —W3)T(9 — wW8)Twas wp
C’est, au premier facteur près, une fonction doublement périodique de », dont les pôles sont en évidence, avec les résidus Æ 1, avec des racines mises également en évidence, et dont la décomposition en éléments simples est immédiate. Quant à l’exponentielle, on a vu plus haut qu’elle est égale à ‘e,e étant le caractère de congruence des axes. Ainsi le second membre (22) peut s’écrire ainsi
Ée[ C0 — wa) —E(o — 8) + Luu— tp].
Par le théorème d’addition des fonctions €, on a
p'e app
p—wy) —Cr +Üwy= - ———— — ————.
( Dre. a -2 PP — PUg - 2 pr —€%
En employant pareille formule avec l'indice $ au lieu de «, on peut écrire le second membre (22) sous la forme
= ( pe pe?
2 \pr—ex pr —e8g < + Soient désionces par? R les trois quantité : RAT LE A 5 P | Q, 1] s quantités telles que PRESS A Re 2 LS Lan 4 É Di po — € : LEP Wa) — CP + a];
on à, comme on voit, les trois équations différentielles
d cos cz Te —=(P—Q)cosazcosbz, dcosaz (23) 2 = (Q— R)cosbzcosez, ! dcosbz ;
ins (R— Pcosczcosaz,
SUR LE MOUVEMENT D'UN SOLIDE DANS UN LIQUIDE. 319 satisfaites par les trois fonctions envisagées. Pour ces équations, on a immédiatement deux intégrales : l’une est la somme des carrés des trois cosinus, l’autre la somme des produits P cos?as. On retrouve aisément ces deux intégrales au moyen des expressions des carrés des cosinus, si on les écrit ainsi
(pu — ex)(PP — ex)
cos?az — (ex — ep)(ex—ey;)
1 0 I n En effet, Y cos?az est le coefficient de g dans le développement de
la fonction ” ee : (pu t)(pert) Lee Ca) (6 — ep}(é — e})
effectué suivant les puissances ascendantes de £; et, de même,
EP cos?az
RP pure ae 28 (E—ex)(ë—e8)(6 —ey)
est aussi le coefficient de - dans le développement analogue de la fonc-
tion
Le premier de ces coefficients est l'unité, l’autre est zéro. Ainsi,
l’on a cos?az + cos’b3+cos?c3 = 1,
(24) ; P cos?as + Q cos?b3 + R cos?cz = 0.
Généralisant un.peu la conception du mouvement donné par Poinsot comme image de celui d’un corps solide qui n’est soumis à aucune force, on a été conduit à envisager le mouvement dans lequel une surface du second degré, fixée en son centre, roule sans glisser sur un de ses plans tangents, avec une vitesse de rotation proportionnelle, à chaque instant, à la longueur du rayon vecteur qui va du centre au point de contact. |
Pour le but que je poursuis, il est plus commode de considérer la surface comme fixe et le plan tangent comme mobile. J’appelle donc mouvement à la Poinsot celui d’un plan qui roule sans glisser sur une surface du second degré, en restant à une distance constante du centre de cette surface, avec une vitesse de rotation définie comme Je viens de le dire.
- Les axes a, b, c de la surface sont alors supposés fixes, et l’on
envisage trois axes rectangulaires mobiles +, y, 3, liés au plan, ayant leur origine au centre, et dont le dernier 3 est perpendiculaire à ce plan. |
Je vais emprunter aux éléments de la cinématique la proposition suivante :
Par rapport aux axes rectangulaires fixes a, b,c, soient p,q,r les composantes d’une rotation instantanée autour d’une droite passant à l’origine. Soient à, b, & les coordonnées d’un point de la figure mobile, et t le temps. On a
(25 PR R E e Cpr VEE p, TC ER RER UT ORET TR ES me
Les sens de rotation sont supposés, dans ces équations, positifs quand, autour de l’axe c, la rotation positive de 90° fait appliquer le côté positif de a sur le côté positif de b, etc.; ce sont les conventions usuelles. |
Dans un mouvement à la Poinsot, soient à/, b', c’ les coordonnées du point où le plan roulant touche la surface; soient a?, b?, c? les carrés des axes (positifs ou négatifs). La normale 3 au plan roulant fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont à
RAT. hb' hc'
COS a 3 — as cos 3 — TR COSCZ = ns
astreints à la condition, qui exprime le contact, (26) a? cos? az + b?cos?bz + c'cos?cz = h?.
La rotation instantanée a, par définition, ses composantes p, g, r : ; LAIT Ÿ : :
proportionnelles à a’, b', c'; soit le coefficient de proportion. Envisageons le point dont les coordonnées sont les trois cosinus ; on aura, d’après les formules (25) de rotation,
. d'cosaz I (27) DA PEL = q COSCZ — r'COSbz — 7 (b?— c?)cosbz coscz,
avec les deux analogues obtenues par permutation circulaire de a, b, c. Que l’on suppose les différences P — Q, Q —R, R — P propor-
tionnelles aux différences a?— b?, b?— c?, c?— a?, ei du proportionnel à dt; alors, les équations telles que ces dernières (27) coïncident
avec les équations (23). En outre, Ja comparaison ee la relation (24 Ï I
avec celle-ci, déduite de (26),
(28) (a?— h?)cos?az +(b?2— h?) cos bz +(c?— h?)cos?cz — 0,
conduit à poser, en désignant par un coefficient arbitraire d’homo-
cénéité,
du Re
(29) at n° - di h?2= yhP = — sin PURE. , 21 P? — Ex pass Ne > pou (350) bB— hR=phQ — ne Dee 4 ARE RAD up
2 PO— y
Ainsi, en supposant l'argument w variable et proportionnel au temps, l'argument 6 constant, les formules (1) nous donnent la représentation d’un mouvement à la Poinsot. Il reste à trouver la quantité GC, qui est, dans les formules (1), tout à fait arbitraire, et qui, dans le mouvement à la Poinsot, doit être entièrement déterminée. Nous l’obtuendrons en envisageant le mouvement des axes æ et y, réglé, comme celui de l'axe z, par des équations telles que
> deosax : oc :
pe GC 0SCG NT COS OZ, (31) dcosay ee di OCT COSU Fr
Posons, pour abréger,
db = Ccosar H#1Cos4aY,
bo = cosaæ—1icosay,
el de même 1h, 14, ©, ©, désigneront les quantités analogues, b et c remplaçant a. Nous déduisons de (31)
d'A do 9 —— Sr: A en = 4(9S — Lo) — 7 (bo VU — LU Do):
Mais on a (8)
9€ — Lo db —=— 21e COS 2, ebo ui = bo Ait = St 02 Le COSC-ETE È b' b? ce! c?
J=— = —cosbz, LE = = C080 2; n nh 1 n/i
CAT DS ep RE ; > k 26.3 ne RE ,2 PAT LE EE CS PP LOREE CRRPR L EERT S Le Me ne DEF Se SA MAR AE D TR re Lu
= = mire) £ FPE ES PEN ’ “ai 2 r : : Ex À *
il'reste donc, d’après (26),
d'A d& QUE Ve — NT = "(b2cosbz + Ccos?cz)
a M ace pme le ==" À dt nh
o1eh a?
= — I— — cos?4a3 |.
Divisant aux deux membres par bÿ—=1—cos?az et introduisant
du au lieu de dt, suivant la relation (29), nous aurons
D ds SE SR CO re A SAUT EP Dr A. 1— cos?az RCA d— h? cos’az MST (re h2 Re je
En remplaçant a? — }? par son expression (30) et cos?az par
£ DU — € (32) LOST 3 ne | pr va) —eS on obtüent a?-— h? cosaz El p# pu— es
R? 1—costaz oih pv —eg pu — p(v — wq)
La décomposition en éléments simples, par rapport à w, donne
pu — Ex LE POP PEER
pu—p(#— wa) p'(P-- wa) + Co + E(e — 203) |.
Mais on a d’abord | C(v — 204) = É9 — 200
el, par le théorème d’addition des demi-périodes,
PV BRIE ER ERA PP Er ea p'(E— wa): | p'# Il reste donc
a —h? cos?az h? I1— cos?2az
= — Eu — 6 + wa) — Eu + 0 — wa) +240 — 2m],
1 deb lab
aich
Comme & et 4, ne sont autres que cosax E {cosay, le premier membre de cette dernière égalité nous est fourni aussi, d’après (1), sous la forme
EL db 1 db 2040
TINTIN ir UT p ne} ane.
Par conséquent, G est une exponentielle du premier degré en w, où le seul coefficient de w est bien déterminé,
k est une constante arbitraire, dont le choix est subordonné à celui des axes rectangulaires æ, y, parallèles au plan roulant, et qu’on‘peut prendre arbitrairement dans une des positions de la figure.
En conclusion, les formules (1) où l’on suppose v constant, & variant proportionnellement au temps, et C une exponentielle du premier degré en u, CG — ke)", représentent un mouvement à la Poinsot. La distance À du plan roulant au centre est donnée par la formule
h =— 2 (À + Cv),
et les carrés des axes par les formules (30); est une constante arbitraire d'homogénéité, le signe de la quantité es — Æ 1 indique si les deux systèmes d’axes +, y, = et «a, b, c sont congruents ou non congruents.
Pour mieux faire apparaître l’homogénéité, il faut considérer comme
af: . e .
donné 2? au lieu de y, et écrire alors
# Nr L du {fr ee ni pal Ace 0 line CG = keñu a?— h? 1H P' (33 TRE PPT AN INL 2 33) b2— h? 2 ‘ RU nt) — n durt pr — eg
7 d CRE D ne) LI IR NT ENS PET RE M TS LCR EE ES RC ES MES NO SERRE * : HET: SRE 5 I Lt TE RP OO AE IE USE
HSE
CET to OEUVRES DE G.-f. HALPHEN.
Il convient maintenant de discuter cette représentation des mouvements à la Poinsot, pour s'assurer de sa généralité.
En premier lieu, comment doit être choisi argument constant v? Il'est clair que les trois racines e, sont réelles, en d’autres termes, que les fonctions elliptiques sont à discriminant positif. En outre, l'arbitraire 11 est choisie réelle par convention. Il en résulte d’abord (33) que À + e doit être purement imaginaire et, par conséquent, p'e est ‘purement imaginaire el pe réel. Ceci peut avoir heu de deux manières : pe peut être compris entre e, et e, ou inférieur à e3. Mais ce dernier cas est impossible; car alors les trois quantités a?— h?, b?— h?, c?— 1h? auraient un même signe (33) et, d'après (28), les trois cosinus de az, bz, cz ne seraient pas réels. Ainsi pe est entre e, et e,, c’est-à-dire que v, diminué d'un multiple impair de la demi-période réelle, est purement imaginaire. HE
Avant d'examiner l’argument variable w, considérons le produit V — US USU;, qui va intervenir. D’après la définition (2) de U,, cette quantité se reproduit mulüpliée par Æ 1 ou Æ £ quand on modifie la demi-période w, par l'addition d’une période 2G. Effectivement ce changement a pour effet de la multiplier par
ce e1La Ma,
Supposons 26 — 2/064+ 2gw8, f el g étant des nombres entiers. Alors le facteur par lequel se multiplie UZ est (—1)5. Si, en même temps, wg n'est pas altéré, w, doit être modifié pour que la somme des trois demi-périodes reste nulle, et U} se reproduit, de même, multiplié par (—1)/#8. Le produit V est donc multiplié par (— 1)f. Il est à remarquer que la quantité 1,68 — n8w, se reproduit aussi multiphiée par (—1)f. On aurait un résultat analogue si l’on altérait wg sans changer w,, et encore si l’on altérait à la fois ces deux demi-périodes. Il est donc prouvé que les altérations des demi-périodes ont pour effet de muluplier V et e par un même facteur +1.
“401 peut aussi changer entre elles les demi-périodes; l’échange de deux d’entre elles change le signe de &, sans altérer V, mais change aussi le signe du produit des différences (e,— eg) (eg— ey)(ey— ex). Ce dernier n’est pas altéré quand on altère les demi-périodes ellesmêmes. [l en résulte donc que tous les changements des demi-périodes laissent inaltéré le produit se V(e,— eg) (eg— e;)(e; —e,). On sait que ce produit est égal à — £ quand on prend pour w, la demi-période
réelle et pour wg la demi-période purement imaginaire. On a donc
dans tous les cas
(34) LA UNE OR Re Tree B (ex — ep)(eg—e;)(e,;— eo)
Examinons maintenant l'argument u. Par l'expression (32) de cos?az, nous voyons que pu est réel. Multipliant entre elles les - = . è Ë re expressions des trois cosinus de az, bz, cz, et observant l'égalité (34),
nous trouvons :
(35) (ex—eg)(eg— eÿ)(e; — ex) cos az Cosb 3 cosc z = — AN rm
et nous en concluons que p'u est réel. Par conséquent, pu est supérieur à e,, ou compris entre e; et 6e». Mais, dans le premier cas, les trois quantités pu — e, seraient positives, tandis que p(# — w,) —e, est une quantité négative. Donc un des cosinus de 43, bz, cz serait imaginaire (32). Donc enfin pu est entre e; et €»; l'argument u, diminué d’un multiple impair de la demi-période purement imaginaire, est réel.
Cela étant, on vérifiera sans peine que les cosinus sont bien tous réels et, en valeur absolue, inférieurs à l’unité; les formules représentent bien un mouvement à la Poinsot.
En ce qui concerne la généralité des formules, on doit établir inversement qu'on peut déterminer les fonctions elliptiques et les arguments | quand on donne les éléments géométriques du mouvement, c’est-à-dire la surface du second degré, la distance h, la constante n.
Tout d’abord, en multipliant deux à deux les relations (33) membre à membre, nous avons trois égalités, telles que celles-ci :
(a?— h?)(b?— h?) see pe
DE n} 4(pe—ea)(pe —e8) Comme on a (36) p?o = 4(pr —e;)(pr —e>) (pr — es), il s'ensuit
: LA (a?2— h2)(b2— h?
(37) (£) ed) chi)
d’où, en tenant compte de ce que la somme e, + eg + e,y est nulle,
(38) (É)'e EX EE — ia (c?— h?)(a?— h?) n ne
