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et de même pour e,, e8 par permutation des lettres. Voici donc déter-

minées les fonctions elliptiques à employer, l'arbitraire Ê étant choisie à volonté.

Multipliant, membre à membre, les trois égalités (33), on conclut encore, à cause de la relation (36),

a?’— h?)(b2— h?2) (c2— h? e /um\3p'e#

(39) CO ARE : s PL + Lopee

Par la relation (35) est déterminé ps, par cette dernière =; l’argu-

ment ÿ est déterminé entièrement, à des multiples près des périodes.

D'après l'égalité (35), on a

CE) (c?— h?)(a?— b?)

(ex — e8) = — nThE ; el, par conséquent, suivant (39 ),

(40) (É) Ceu— ep) (ea eee co

n3 }3 n3 hè RC Et D 0e 0 A nn 12 2e A ET Cp SA) ue nè h3 DATE TE

Examinons maintenant comment l'argument variable w est déterminé par les éléments géométriques variables du mouvement. D’après (40), légalité (35) donne celle-ci

Sn 2e COsaz Cosbz coscz = - (£) p'ui Li À: 3) ñn

d'autre part, l’expression (32) de cos?az fournit maintenant pour pu

la formule :

| U 2 +2 (a?— b?)(a?— c?) (42) (£) (ea— pu)= SRORTÉ ED TNTE LAON UE

Ainsi que l'argument constant ?, l'argument variable w est déterminé entièrement, sauf des multiples des périodes.

Il y a cependant encore une observation à faire au sujet de la détermination des arguments w et ». On voit aisément qu'en les déterminant comme il vient d’être dit, on assure la concordance des trois cosinus de 43, b3, cz avec les expressions elliptiques, au signe près seulement. Il convient donc de revenir encore sur ce sujet pour assurer la concordance complète.

D'après la formule (41), 1l suffit d'assurer cette concordance pour deux de ces cosinus ; elle aura lieu, en même temps, pour le troisième.

Supposons deux périodes quelconques 26, 26'; changeons w et v en u—+2&, +26. Par ce changement, cosaz et cosbz se reproduisent respectivement multipliés par

e1a(o+D)-20,(+7) et e1g(@+& )—-208(7+77).

Soient, à des périodes près (f et g étant des nombres entiers), D+Oo = fo #8.

Les deux facteurs par lesquels se multiplient cosaz et cosbz peuvent se représenter par (—1})£ et (— 1)/. On peut donc disposer de la parité des entiers f et g de manière à donner des signes ad librtum aux expressions des deux cosinus. Donc, en résumé, l'accord complet des formules avec un mouvement à la Poinsot entièrement défini exige que la somme des arguments u el v soit déterminée à une double période près.

Ce dernier fait s'explique fort naturellement par une circonstance de mouvement. Pour l'axe z, ce mouvement est périodique; sa période, relativement à l’argument w, n’est pas la période réelle 2w, mais le

double 4w. La période de temps est 4w Le

Pour la parfaite intelligence de lapplication que j'ai en vue, il importe de bien préciser, en résumant, la détermination des éléments elliptiques au moyen des données ‘géométriques ou des données numériques qui en tiennent lieu.

Je suppose donnés :

1° Deux systèmes d’axes rectangulaires (de même origine) a, b, c Et x, ÿ;3;

; a\? b \2 c \? Es + 2° Trois nombres (£) » (2) EA » positifs ou négatifs.

Je considère un ellipsoïde ou hyperboloïde dont les axes de symétrie coïncident avec les axes de coordonnées a, b, c, et aient leurs carrés proportionnels aux trois nombres donnés. Soient a?, b?, c? ces trois carrés obtenus en multipliant les trois nombres par un nombre positif arbitraire 7?.

J'envisage les plans tangents perpendiculaires à l'axe 3; soit la distance du centre à l’un ou l’autre de ces plans. Je considère encore

h Ne :

le nombre — obtenu en divisant cette distance par la racine carrée -n

‘ ; | - | h se de n?, avec un signe arbitraire, et je prends le nombre 2 positif ou négatif, pour une donnée complémentaire.

Ceci posé, un mouvement à la Poinsot est entièrement déterminé avec une position de la figure mobile, comme il suit :

Les trois formules

ha' hb' hc' ; COS D 3 = —; COS CZ —

déterminent a’, b', c' en fonction des données et des éléments choisis pour construire la figure. Ce sont les coordonnées du point de contact du plan roulant ES une de ses positions. On a donc une position de la figure mobile.

Ces mêmes formules, étant écrites ains:

2 : . À db "#6 déterminent, en fonction des données, les composantes NU de la 4 7

rotation instantanée pour la position ci-dessus de la figure mobile. Le mouvement est donc bien déterminé, sans aucune ambiguïté. Pour représenter ce mouvement au moyen des formules elliptiques, on emploiera des fonctions elliptiques à discriminant positif. La déterminalion de ces fonctions elliptiques comporte, en premier lieu, lintroduetion d’une constante arbitraire d’homogénéité, réelle et dénotée par =. Les trois racines e,, €», e, sont alors données par les trois formules telles que la formule (38). Comme on doit avoire, > e3 > e;, les indices 4, 8, y reproduisent 1, 2, 3 dans un ordre qui n’a rien d'arbitraire. Les demi-périodes w,, wg, w, sont alors déterminées à des périodes près. On peut achever de les déterminer ad libitum,

Ce,

mais ce choix doit cependant être fait de telle sorte que la quantité 8 ait le signe qui lui est assigné par les données : elle doit être positive ou négative, suivant que les deux systèmes d’axes sont congruents ou non.

L’argument elliptique constant 6 est déterminé à des périodes près ë ; 4 \2 ar les formules (35) et (3 en sorte que les quantités fi) De Pi (57) et (59), I qui mal Te LL 3 ! ; # x . ;. ; d d 7 Eye > p # peuvent être envisagées comme des données. L’areument elliptique variable diminué d’un multiple impair de la 8 ‘4 | P b ne F ‘ : ; JL. > 4 période purement imaginaire est dans le rapport FE avec le temps. Mais, , rm + avec les données que j'ai prises, il faut le préciser davantage et dire la valeur de cet argument pour la position donnée de la figure mobile. À cet effet, on doit prendre les formules (42) et (41) qui déterminent

3 2 3 pu et p'u,et par lesquelles on voit que (£) puet (£) p'u peuvent

être envisagés comme des données. Par là, l’argument w, qui correspond à la position donnée de la figure mobile, est déterminé à des périodes près. Toutefois, si l’on prend arbitrairement l’une quelconque des déterminations de w et de », les formules reproduiront les cosinus de az, bz, cz en valeur absolue seulement. Pour qu’elles reproduisent ces cosinus eux-mêmes, il faudra ajouter à w + 6 une période déterminée, sauf des multiples des deux périodes.

Telle est, en résumé, la manière de représenter par les formules elliptiques un mouvement à la Poinsot géométriquement donné.