PREMIÈRE PARTIE

1. Le fondement de la théorie qui va être exposée 1c1 réside dans une proposition d’algèbre, dont voici l'énoncé :

Soit y une fonction algébrique de la variable x, et soit x, une valeur de cette variable pour laquelle diverses déterminations de y prennent une valeur commune y. Pour les valeurs de æ—%,, ayant leurs modules inférieurs à une limite finite et déterminée, ces diverses déterminations de y se répartissent en des groupes entièrement distincts entre eux. Toutes celles qui composent un même groupe se représentent simultanément, leur nombre étant égal à n, sous la forme suivante

(1) T — Lo l*, Y — Yo= dit + al? + asts....

Nous admettrons cette proposition comme bien connue, en ajoutant les observations suivantes :

1° Le nombre des groupes, constitués par les déterminations de y acquérant la valeur y, pour æ— %x,, peut se réduire à l'unité. Le nombre x peut aussi se réduire à Punité. Ces deux circonstances ont lieu à la fois si l’on prend x, arbitrairement.

2° Quand le nombre x diffère de l'unité, 1l peut arriver que quelques-uns des coefficients &;, &2, ... manquent. Mais la totalité des indices des coefficients qui subsistent ne peut avoir, avec le nombre », d'autre diviseur commun que l’unité; sans quoi les formules (1) ne fourniraient pas » valeurs de y, différentes entre elles, pour chaque valeur de x. |

3° Au lieu des formules (1), on peut écrire cette formule unique

1 ae 3 (2) J — Jo Mir — Lo) + Qa(X — Lo)" + Ga (T — ro) +...

et dire que y est développable en série convergente, procédant suivant les puissances à exposants croissants et fractionnaires de x — x,. Le plus petit dénominateur commun de ces exposants est limité; c’est le

nombre des déterminations de y représentées à la fois par la formule (2). 11 faut avoir soin d'observer toutefois que, ce dénominateur

étant appelé x, on doit prendre, à chaque terme, une même détermi-

nation de (æ — x)". Le groupe des déterminations de y, obtenues en changeant la racine n°" de (x — x), et dont le nombre est n, sera désigné par le nom de cycle.

2. Nous aurons fréquemment à considérer des séries procédant, comme la série de Maclaurin, suivant les puissances, à exposants entiers et croissants, d’une variable, sans qu’il soit besoin de préciser les coefficients de ces séries. Pour abréger, il sera utile d'employer un symbole représentant de telles séries. Nous adopterons donc la notation [{]=ao+ait+att+a;t+.,.

avec l’expresse convention que le premier coefficient a, sera tou- Jours supposé différent de zéro.

Dans un même calcul, le même symbole pourra, sans inconvénient, représenter plusieurs séries différentes.

3. Après ces préliminaires, entrons dans la théorie des courbes algébriques.

Les variables +, y seront maintenant les coordonnées d’un point du plan. Ces coordonnées seront cartésiennes ou, mieux et plus généralement, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième.

La proposition du n° 1 revêt alors cette forme : Sotent #5, Yo les coordonnées d’un point sur une courbe algébrique. Aux environs de ce point, les diverses branches de la courbe sont représentées par un ou plusieurs systèmes d'équations analogues au système (1).

La portion de courbe représentée par des équations telles que (1) sera appelée un cycle. Le point #5, y, sera dit l’origine de ce cycle.

En employant la notation expliquée au n° 2, nous sommes obligés de mettre en évidence le premier exposant du développement de Y — Yo, et de représenter un cycle ou bien par le système *

(3) T—Tÿ= fn, Y—Jo=t"{[t]

6 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

ou bien par la formule unique : m 1 (4) En ni Ale

En invertissant x, y, nous aurons une autre représentation du même cycle, sous forme du développement de æ—#x, en y—7y,. Ce développement pourra être obtenu par le retour de la suite (4). Il aura donc la forme

W 1 (4 bis) AN nl dm)

Des deux rormules (4) et (4 bis), prenons celle où l’exposant mis en évidence n’est pas inférieur à l’unité. Admettons que ce soit, par

x m exemple, la formule (4). Sous cette hypothèse = 21, lefnombre nn

sera dit l’ordre du cycle. Il est essentiel de rappeler la deuxième observation faite au n° 1: les exposants, dans le développement (4), sont supposés réduits. à leur plus petit commun dénominateur n.

4. L'ordre d'un cycle, tel que nous venons de le définir, est indépendant du choix des coordonnées. C’est ce qui va être immédiatement prouvé.

Soient X, Ÿ de nouvelles coordonnées, devenant X,, Y, à l’origine du cycle. Leur liaison avec les précédentes a la forme générale ù