LT MIE PUS T

PR a dc oe me M)

Y —Y,— LT — Lo) + P'CY — Yo) ; 1H a(r —%o) + B(Y — Yo)

Substituant dans ces relations les expressions (3) et observant l’'hypothèse m Zn, nous obtenons deux développements dont la forme est

rappelée ainsi :

X — Xo—t2[t], Y— Yo=t[t],

pourvu que z/ et 4’ ne soient pas nuls. D'autre part, le cycle devant être susceptible, avec les coordonnées X, YŸ, d’une représentation analogue à (4), nous aurons cette représentation en éliminant t entre les deux dernières égalités. Le résultat a cette forme

Y—Y=(X— x Lx x».

On peut seulement craindre qu'un choix particulier des coefficients

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. ÿ}

2, a/, ... permette de réduire le nombre » dans cette dernière formule. Mais il n’en est rien, car si le dénominateur commun aux exposants du développement ne peut que s'élever par un changement de coordonnées, 1l ne peut non plus s’abaisser. La proposition énoncée est donc établie.

9. Par un choix convenable du rapport 4” : 8” on fait disparaitre le terme du degré n dans le développement de Y — Y, suivant les puissances de £. Si, dans les formules initiales (3), m est supérieur à n, le rapport &« : 9” devra être pris, pour ce but, égal à zéro. Le premier exposant de Ÿ — Y, sera alors égal à mn. Si, au contraire, mn est égal à n, alors, le rapport « : $”étant convenablement choisi, le premier exposant du développement de YŸ — Y, sera supérieur à n. Je désignerai dorénavant ce premier exposant par z + y; la droite, bien déterminée, dont l'équation est Y — Y,— 0, sera dite la tangente du cycle. Le nombre y sera dit la classe. Ainsi, en prenant pour origine des coordonnées (x — y — 0) l’origine d’un cycle, et pour axe des x (y —=0o) la tangente, on a pour ce cycle la représentation

rie ME J=x x | ax |

ou sous une autre forme

(5) Mt, RAA UE

Les nombres »; y sont l’ordre et la classe du cycle.

6. Pour jusufier l'introduction du nombre y et le nom qui lui a été affecté, nous allons montrer que ce nombre y correspond à l’ordre », au point de vue de la dualité.

Mettons en évidence trois coordonnées homogènes en posant

4x: Y Aoez£ JET:

Prenons maintenant des coordonnées tangentielles homogènes, en faisant Xi=YdZ—ZdY, Y;=ZdX—XdZ, Z1=X dY—Y dX.

Substituant les expressions (5), nous aurons X = 714 = 22 dt. ifé], Vi) Lidr Z?2 dt.tnr1,

RE ra d(X) AT Re EN A

Prenons maintenant les rapports de deux de ces coordonnées à la troisième X: Z;