LL
= de, dt, sont égales entre elles, en valeur absolue; uw, + u, est une 0 1
constante. Î[l est indifférent de supposer constante la somme ou la différence, attendu que les formules (1) restent inaltérées par le changement des uw, #, CG en —u,—v, — C. Je supposerai la somme constante, et poserai
La relauon entre les éléments elliptiques variables des deux mouvements est ainsi trouvée. C’est à l’addition des arguments qu’il faut maintenant demander les relations entre les éléments géométriques. EN
Pour ce but, on devra considérer les quantités suivantes :
f. ee ù 2 2 TRE DU 7 (ai— b?)(ai — ci) cos?a 2, Sa te
I \ = Thu = — ps dar bf)(ai— ci)cos'az;, F pri (45) :
— T3 p'uo = PEUT (a?— bi)(b? - cê)(ei — ai) cosazo cosb 30 cos cz,
TS DU (aÿ— b?)(b$— cf)(ci — a?) cosa 3, cosbz; coscz:. Ces quantités ont effectivement la signification elliptique que la notation leur attribue, comme on voit par les formules (41), (42) et (44). Pour deux mouvements concordants, il existe deux constantes +? pv, <* p'e, donnant lieu aux deux relations
-<3 D’ +3 1! 3 1) -3 1’ (46) HT ot A a C2 RUE AT DIE RD UT pe { 1 Tp'uo + tp’ \?2 (17) pu+epu+epez(: DEEE) :
| HAE DUi ete poe
Ces deux relations ne sont pas indépendantes; les deux constantes r? pe, rs p'e ne sont pas toutes deux arbitraires. Gette circonstance, on va le voir, constitue un avantage, et nous allons, pour préciser entièrement, envisager encore d’autres relations.
Considérons l’angle que font entre eux les deux axes mobiles 35, 3. Son cosinus est donné par la formule (21). En y mettant 6 au lieu de Uo—+ 4, | obtuens
PEACE PS 2 CU + AT —————— (48) 4 sd 2 4 COST ————— ——————————.
Nr Men) us D) j Vas à
Par le théorème d’addition des fonctions €, on a
1 P'üuy— pu:
r Une C RE (49) VAIRIT ES Ge PU Ip 03
Le second membre peut être exprimé par le moyen des quan-
tités (49), comme il suit. Posons, d’après (42),
RL ae + DIN es LUN (e9 M) ÉQUE=00) cù) COS? & 30 — CHI PARA EN) cos?a 3: TG n?h?
Les
en observ ant que cette quantité variable À ne change pas par 16 changement des lettres a, b, c: puis
nt [Cai— 05) (06 6) Co 46) eo m0 cos b 30 cos 20 A TRS es > 1 NAT 2 Le PA CRT EC DA) CREER CET A cos b 3; cos ei | nÿ hi 21 PU — pH
2 Puy— Pu:
Désignons encore par A et B les deux constantes
Le pE (Po — #4 p HE (vo+ #1) NE ne
nd 2 | me ASLADEE Ve | à Dee 2
L'égalité (49) nous fournit la relation
(52) A(cosazpocosaz; + cosbz, cosbz3; + cosczs coscz;) + 2N + B = 0.
En différentiant, nous allons avoir une nouvelle relation contenant la seule constante À. Pour faire cette différentiation, on a d’abord (44)
d dtu1 - du A nuit Cus) = (TE — 7e ) = T(Puo— PU) =— 7% d’où résulte, d’après (49), ANS ALES D'autre part, suivant (25), dcosazo (Ri—oreere eee a —————— = ——— (( FA dt n?h? < 7
La relation Va donne donc, par différentiauion,
63 A M re PO COSC 39 COS A 31 0 0
es
1 1 = 7 æ — + COS071C0SCZ1 C05 470) + 2A%"0:
Après avoir établi ces formules, envisageons la question importante de déterminer les positions correspondantes des deux figures mobiles dans deux mouvements concordants.
Ce qui justifie emploi des relations surabondantes (46, 45, 52, 53),
c’est la nécessité de fixer les cosinus.
Si l’on suppose connues les constantes +2? pe, 7 p'e, A, B, on peut déterminer entièrement les cosinus de 43,,b3,,c3,, correspondant à des cosinus donnés pour 435, bz,, c 39. Effectivement, la relation (45) donne +?pu,, par conséquent À (50) et les carrés des cosinus. La relation (46) donne +#p'u,, et, par conséquent, N; puis l’une ou l’autre des relations (52) et (53) permet de fixer les signes des cosinus eux-mêmes.
n'y a d’ailleurs aucun embarras pour choisir ces constantes Se DU, 7° p'#, À, B, si l’on veut composer un exemple. Ayant pris, en effet, deux mouvements à la Poinsot dont les données satisfassent aux relations de concordance (43), on peut choisir à volonté, dans ces deux mouvements, les axes 3,, 3, pour Correspondants. La valeur de À, pour cette position, se trouve déterminée; par la relation (53), on en conclut À ; par la relation (52), B, et par les relations (45) et (46), éph-T pe.
On le voit donc, si l’on définit deux mouvements à la Poinsot concordants par la position des deux figures mobiles en un même instant, les constantes À, B, +? p'e peuvent être envisagées comme des données; de plus, pour chaque position ultérieure d’un des axes, 3, par exemple, celle de l’autre axe 3, est déterminée complètement par des formules explicites.
VI. — Sur UNE FORME DE L'INVERSION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES.
Dans l'expression (48) de cos 3,2, , les arguments w, et u, sont seuls variables, et leur somme est constante. Si l’on prend l’un de ces arguments pour variable indépendante, cos 3,3, estune fonction doublement périodique à deux pôles. On sait, par la théorie générale, que le carré de sa dérivée est exprimable par un polynôme du quatrième degré, où la variable est ce cosinus lui-même. Je vais former ce polynôme, non pas sous sa forme la plus réduite, mais sous la forme la plus commode pour l'application que j'ai en vue. Au lieu de raisonner sur l'expression même de cos3,23,, je vais employer une expression d'apparence plus
simple, en modifiant seulement les notations. Je dois avertir, en outre, que, dans ce qui va suivre, aucune supposition particulière ne doit être faite sur les fonctions elliptiques employées, tandis que précédemment elles étaient supposées à discriminant réel et positif.
La foncuon doublement périodique à deux pôles qui sert de type est la suivante :
(54) ne 0 20 Pr dde et l’on y considère w comme l'argument variable. Pour abréger Pécri- Lure, je conviens de représenter, au moyen d’un indice. le résultat de la Me d’un argument constant 1e à la place de w dans cette fonction. Ainsi, je poserai
—=é(a+vr)—{(a—(ûr.
Pour représenter alors une fonction doublement périodique à deux pôles et quelconque, je prendrai (3 — 34) muluplié par un facteur constant arbitraire, Cette notation a l'avantage de mettre en évidence les racines de la fonction, à savoir u = a et u—=—(a+v), sauf des périodes, et l’on peut immédiatement écrire l’expression de la fonction en produit; c’est sog(u—a)sS(u+a+#)
(5) 17 cac(a+v)ouo(u ++)
Prenons quatre fonctions analogues en employant quatre arguments constants a, b, &,, b,. Partagéons les facteurs, qui en proviennent C “ 5 ? acer ñ à DL à a a NL > suivant Pexpression (55), en deux groupes, chacun de ces groupes comprenant un seul facteur de chaque espèce pris dans une même fonction. Soient ainsi D et D, les fonctions composées de cette
manière :
Fes S'es(u—a)o{(u— a)5(u + b + OUT eEre dasdao(b+vr)s(bi+r)ous(u+r) 7 S'oo(u—b)s{(u—b;)s{(u+a+s)o(u + a+ à
dhbsbis(a+r)s(a+r)o?us?(u+r)
Ces deux fonctions sont doublement périodiques de seconde espèce, en général. Mais elles deviennent doublement périodiques ordinaires, toutes deux en même temps, sous l’unique condition
(56) a + &i = b + bi.
Supposons que cette relation entre les quatre arguments constants ait lieu effectivement. La fonction ® est alors doublement périodique ; décomposons-la en éléments simples. Il entrera, dans la décomposiuon, pu, p(u+e) et G(u + v) — Cu, en sorte qu'on pourra écrire la formule de décomposition sous la forme
P—a[pu—p(u+p)]|—B[pu+p(u+ve)+pe]—yz—àù, où æ, 6, y, à sont des coefficients constants, 3 tenant la place de buse PY Eu La fonction ®, se déduit de parle changement de uen —(u+v),
en ce qui concerne les facteurs variables. Pour ce qui regarde les facteurs constants, il faut encore multiplier par
sasds(b+e)s (bite) sb sbs(a + v) s(ai+ )
Dans le changement de w en — (u ++), pu — p(u + +) se reproduit changé de signe, tandis que pu + p(u+v)+ pe et z se reproduisent sans changement. On a donc
£ shsbis(a+r)s(ai+v) sasas(b+vr)s(bi+v) == a[pu—p(u+vo)]+f{[pu+p(u+e)+po]+yz+è.
Soit, pour abréger l'écriture,
(57) ob e(d+r)o(aire) 7 sac daio(b+r)o (bite) 7
et rappelons qu'on a, par le théorème d’addition, pu“p(u+p)+pr = 2?; nous pouvons écrire nos deux formules ainsi : (88174 Pb —a[pu—plu+v)]+(Bz?+yz+û), (59) APi= afpu — p(u+ve)]+(B3?+yz +).
J’en conclus
PP, + -(B22+ 74 SUIS —Lpu pale
En remettant, au lieu de D®,, le produit des quatre binômes ana-
lôgues à (3 — 34), J'ai ainsi
ue I &
(6o) (3 — 2u)(2— 2)(2 — 3a,)(3 — 25,) + SPA y + Ô )? da?
