LA
L d 2 A D j expression de (à) . Le polynôme (6o) manque donc du second terme du et l’on a
D (ee) —
rs eZ 24 + 40 Sa, + Sp,
Cette forme de l’inversion se présente dans plusieurs applications mécaniques, mais pour des cas particuliers de la formule (60). Dans l'application que j'ai ici en vue, le coefficient $ est nul. On voit parles
égalités (61) qu’en ce cas À et se réduisent à l’unité, et la formule (60) devient simplement
(64) (z—za)3— 3)(3 —3a,)(3— 3,)+(y3 +0) = [pu — p(u +e)f.
La manière dont il faut choisir les arguments à, b, as, b, pour obtenir cette formule n'apparaît pas très nettement par la relation
(65) 2a + 3h + Za; + 34, = 0,
non plus que par la relation À —1 avec la forme (53) de À. Mais, en employant les notations (62) et posant, en outre,
(66) = wc, on peut écrire À ainsi
no (Ware die DD oc Eee (pæw—pa)(pe—pb) g(w—b')s(w+b)d(c—a)s(c+a) (pw—pb')(pc—pa')
La condition À 1 donne alors
(67) (pæ— pa')(pe—pb')+(pæ—pb')(pe—pa')=0o
et permet de trouver sans ambiguïté la fonction p pour l’un quelconque des quatre arguments a”, b", c, w, étant donnés les trois autres,
(!) Traité des fonctions elliptiques, Lt. 1, p. 119.
VIT. — MouvEeMENT D'UN CORPS DANS UN LIQUIDE INDÉFINI EN L'ABSENCE DE FORCE ACCÉLÉRATRICE.
Equations différentielles.
D’après MM. W. Thomson et Tait, M. Kirchhoff a établi, sous une forme bien connue et fort remarquable, les équations différentielles du mouvement pour un corps solide plongé dans un liquide indéfini, en l’absence de toute force accélératrice extérieure. Clebsch (t) a modifié la forme de ces équations par l’emploi de variables un peu différentes, et c’est la forme de Clebsch que j’emploierai 1c1. [ y a, dans ces équations, six inconnues #1, Lo, L33 Vis Ve, Ya. La variable indépendante est le temps, désigné par t. La lettre T désigne la force vive du système total (solide et liquide). C’est une forme quadratique contenant les six variables x, y.
Voici les équations différenuelles dont il s’agit :
| dx; Me CR OT ss OT RTE dYr a Vs | dx» JT OT (68) He RE Se ) dt 0Y3 dVi LANCE RTL FT di -9ya ?
dy D OT 8h Fa OT oT LE Lg = = V9 — y; dt ? 02 " 0T3 Ÿ 0Va J * 0Y3 LMT JT OT SATA ME (69) l RE en dt 03 OT; 0Y Û 0Yi dy, SRE Re dE OT
in Li — << Va — — dt ? di * 0x2 2 dy 2 0Y2
Voici maintenant la sigmification des six-variables, On considère trois axes rectangulaires, mobiles dans l’espace, fixes dans le corps. Les composantes de la vitesse de l’origine de ces axes, prises sur ces axes eux-mêmes, élant désignées par U, V, W, et les composantes de la rotation instantanée relative de l’espace par rapport au corps
(') Mathematische Annalen, t. II, p. 238.
étant désignées par P, Q, R(!),;ona
Rasa OT ar RUES GNT PO RNUE OT OT - OT
APT PT 70" JÉSEORe
quand T est exprimé par les variables U, V, W, P, Q, R. Inversement, T étant exprimé par les x, y, on a
OT Fibre oT 7 ] = ——— [ = = 9 ] = (70) C dx ? \ Or "0T3 (70) PR en che dYi OVa dV3
Quelle que soit la forme quadratique T, les équations différenuelles (68) et (69) ont trois intégrales immédiates, savoir
(92) D Const —1?, (73) xZi+xi+æri= const. = Mn, (74) TiYI+ La Ve + Es Va = Const. = n.
Cas intégrable. Réduction à une intégrale elliptique.
M. Kirchhoff avait réduit à une intégrale elliptique la solution du problème dans le cas particulier où la force vive ne contient que les carrés des variables. Clebsch, dans des recherches fort étendues sur les équations (68) et (69), a montré que la même circonstance se produit dans un cas un peu plus général, celui où T a la forme sui-
vante :
(5) T=splrt+ai)+ pat ‘ ! J D 2 AR:
RCIP La) ire ST CYIE TE) r'Yi
Effecuvement, en ce cas, le second membre de la dernière équation (69) se réduit à zéro. Donc y; est une constante. Cette nouvelle
(!) Je dis la composante de la rotation instantanée de l’espace par rapport au corps et non la rotation du corps dans l’espace, afin de rétablir le sens habituel de rotation, qui est renversé dans les équations de Clebsch. L'observation de ce détail, sans importance théorique, est cependant indispensable si l’on veut éviler une confusion dans les résultats.
intégrale assure la solution complète, comme on le sait par le principe du dernier multiplicateur. Sans donner le calcul, Clebsch dit qu'on parvient à une intégrale elliptique; c’est ce qu’en effet nous allons montrer.
rai PE 4 À RE Ë o s Par l'intégrale (54) et la troisième équation (68), nous avons
Rare ToYa= NN —L3ÿ3, | 1 dT3
To V1 — Li = — —— 21 — V2: Ur )
et l'identité (ti Vi + L2ÿ2) + (Ni pra) = (zi+æi)(y1+yi)
nous permet de conclure
(77) a (Ge) + ete (et+ at) ot+ re)
L'intégrale (53) donne
(78) Ti+ Li = Mm— x,
et l’intégrale (72) devient
(79) Pr = EE (mi hrs — 23),
avec ces notations abrégées
pm+a2gn+ry3—l M; = tros li en ee (80) AREAS
Au moyen des expressions (58) et (79) l'équation (35) devient
(81) (ee = r(p'—p)(m —hx;3— xi)(m—xi)—ri(n— 733). Comme y, est une constante, nous avons ici une équation différentelle où les variables sont séparées; le temps est exprimé au moyen d’une quadrature elliptique.
Il's’agit maintenant d'exprimer les variables x, y en fonction expli-”
cite du temps et de parvenir, par leur intermédiaire, à l'expression des quantités qui déterminent, à chaque instant, la position du corps solide.
Ti
Inversion; expression elliptique des constantes.
Pour ce but, employons la formule d’inversion (64) en assimilant le carré — r?(n — y323)? au carré (y3+0)?. Pour identifier entre elles les premières parties des deux polynômes du quatrième degré, il faudra poser
(82) near et
o étant une constante d’homogénéité arbitraire. Sans préciser en aucune façon les signes des radicaux, nous poserons ensuite
— mm = p(s—z)=— sh+es—Vm, (83) | L3 + Vm=p(s=3)=— gh+es+Vm,
1 1 L3 + In—(/am+ M = FOR LR Rire hk2+ mi, a
I I rt he (TR m2 ef — 5h) =; Lhtez+|/im+m L"
De là résultent d’abord ces expressions des constantes
(84) (/° R?+ mi = p(zu — 20),
sh = p(Za+ 30) = — P(Zai+ 36,);
les deux dernières sont concordantes suivant une égalité ci-dessus (65). Pour abréger l'écriture, posons
