UNE

se + VIE P)

et identifions les deux carrés dans l’un et l’autre polynôme du second degré en posant |

DE sa À) = 667840).

Nous aurons ainsi, d’après les égalités (81) et (64),

dr; n T2 dx; (%) = us —n (5) A AT (SE) ;

et, en extrayant les racines carrées, (87) du = pÿr(p'—p) di,

relation entre l'argument w et le temps £. Pour préciser, nous supposerons la racine carrée’extraite de la mème manière que dans l’expression (85) de s.

Pour exprimer s et d’après l'égalité (86), employons maintenant la relation (58) qui devient, $ étant nul et a —1,

s n 88 DE — 7? MED) IP RER AT (88) pu—p(u+v) x | 2 =)

Semblablement, À étant l’unité, on a, d’après (59), S n (89) = pu pluse)+ Sa):

Prenant w — a dans la première, hypothèse qui fait évanouir , ou bien uw — b dans la seconde pour faire évanouir ®,, on a, sui-

vant (83),

s RENE ETE (88 a) pa—pla+e)= S(Vm— 2), (89 a) po—p(o+e)= (me).

De là résultent sm = = pApb + pa— p(a+v)—p(6+»v)], (90)

sn | SE pp —pa+p(a+r)—p(b +v)].

3 pet On peut aussi obtenir d’autres expressions de s si l’on décompose D et ®, en éléments simples et que l’on prenne, dans ces décompositions, les termes en Cu.

On trouve ainsi

S— p[é(b+v)+E(bi+o)—ia—{a—o26re] =—p[é(a+r)+i(ait+e)—Cb —Cbi—o26v],

expressions dont la concordance se vérifie par la relation (65).

Expression des variables par des fonctions elliptiques.

Pour la suite du calcul, j'aurai à décomposer en éléments simples la fonction LS

et je vais faire tout d’abord cette décomposition.

Devenant infinie seulement quand le dénominateur s’évanouit, cette fonction a les seuls pôles u — a, —{(a++v), b, —(b ++), comme on voit par les expressions (83) de æ3 + Vm. Nous avons à chercher les résidus de ces pôles. Un tel résidu est la valeur prise, au pôle considéré, par l'expression

JL ñ n T3 me) T3 — — LT3— — ÉTAT Pants AE d(xi— m) 24% 20 pu—p(u+$)

du du

Les pôles sont, tous quatre, des racines de ® ou ®,. On voit par les égalités (88) et (89) que les résidus sont + = suivant qu'il s’agit des racines de ® ou des racines de D,. Voici donc la formule de décomposition

o(u) = É[E(u— a)+E(u+b+e)—E(u—b)—Eu+a+v)+D],

avec une constante D qu'il faut encore trouver. Pour ce but, observons que l'hypothèse u = o rend x, infini (82) et donne ainsi 9(0) —=1. Donc

: 25 (91) LENCO CM) =.

Nous allons tout à l'heure employer cette décomposition de o{u), . ; . , : s sous la forme suivante. Multipliant o(u) par éry3 dt — me nous avons

ir T3(V3T3) —,;n) dt xi— m

[E(u—a)+G(u+b+p)—{(u—b)—{(u+a+v)+D]du.

Te RS IT SE RTE RE ED PET RO CONTE AS RE EP VE ENTRER RL re S » + LE HT [ DE SIA

Prenons maintenant, d’après (83), la demi-différentielle logarithmique de xi—m; ce sera, en tenant compte de l'intégrale (53),

Li dTi + Lo To LÀ + Ti = -[f(u—a)+i(u+at+v)

+ C(u—b)+{(u+b+vr)—olu—ot(u+v)] du,

comme il résulte de l’expression (55) établie pour 3 — 3, et prise aussi pour son analogue 3 — 24.

En combinant les deux dernières égalités, j'obtiens celle-ci, qui va

être employée è

Li AL + Vo dia — WX3(VsTa—n) dt Xi + va

= fétu+ ae) + tte 0) tte +») tu — ED) du.

Arrivons maintenant à la première intégration qu’il faut effectuer. Formons d'abord, d’après les équations différentielles (68), la quantité

AL dæ; RS RM AUNTE

er MARNE ra (æ Ras .)

En mettant, pour T, son expression (55) et utilisant l'intégrale (54), nous obtenons |

ræa(n | dt

OS Did 7 ps È qq) ET Ys RON ARE