OISE SEE

Ti dX> — Lo dr; L (4

Zi + x On a posé 1C1, pour abréger, $ h g —q &œ —= — r— "It |

8 — s(g — 9) D ES rY3 NS

À peine est-il besoin d'observer que les quantités représentées par ces lettres & et $ sont sans aucun lien avec celles qu’on a envisagées dans un paragraphe précédent, et qui ont disparu du calcul.

SUR LE MOUVEMENT D'UN SOLIDE DANS UN LIQUIDE. 345 Les égalités (92) et (93) nous donnent Li dTi + Le Axe + (Xi dXx Xidr:) 2 on EE

— LÉ D+ Bain ae) +t(u 0) ture) —tu|au,

d'iog(ti+ ite) =

ou bien, z étant remplacé par son expression (54) en éléments simples,

> d ; : a I | “ # Tu 108 (ri + lL)) —= 2 = Der AGE p)—{Qu —Ce]

HG(u—a+e)+Q(u—b)}—{(u+e)—tÿu.

Intégrant les deux membres et écrivant sous une forme appropriée la constante d'intégration E, nous obtenons

FEU en fee p)os(u—b) (5e

eee € D .

(95) ti +13 P | Su s(b+r)sasus(u+v) ,

Pour en déduire la Re conjuguée T4 — io, je divise par Zi + iæ la somme des carrés x°+xi= m — x? = 0?(3 —3,)(3 — 35), après avoir exprimé 3 — %4 €t 5 — 3, en cd (55). Il vient ainsi

Su jjaeuranee pi

: lo) Gr ir ete Tor Acer s(a+v)sbSus(u+e)

Les deux autres inconnués y, et y, s’obtiennent sans intégration nouvelle par le calcul suivant, où interviennent les relations (56),

(Eire) (Y1T iYe) = TiY1+TLaYa EI Xe Yi —Y2Ti)

ce qui conduit à cette formule

| 2 (Tir) (NTFip:s)=T 2 [pu p(u+e) + à (m7)

où enfin, d’après (88) et (89),

(ti+ite)(VYi—1Y2) = — TT,

(ti—ite)(Vi+ipe) =+ Ê D

Les quantités x, + 1x2, D, D, ont déjà été exprimées en produits; par là on connaîtra les expressions de y, # éy2 sous forme analogue ; mais elles ne seront pas utiles.

Nous avons ainsi exprimé en fonction explicite de &, proportionnel au temps, les cinq inconnues +, y. Mais ces inconnues sont auxiliaires. Il s’agit d'en déduire les quantités qui fixent, à chaque instant, le lieu du corps solide dans le fluide où il est plongé.

Rotation du corps solide.

Je désigne ral par X, Y,Zles axes fixes dans l espace, par Abe C les axes fixes dans le corps.

Ti . r . , OT . . q Les trois dérivées de sont les composantes (71) de la rotation instan-

tanée relative de l'espace par rapport au corps. En considérant la rotation relative de l’axe Z, on a donc, d’après la PAGPOstION de Cinématique rappelée plus haut C20):

PA LL PA La PA dt OV 0Y3

avec deux équations analogues obtenues par RON En circulaire

des lettres À, B, C.

: OT ; | ; Les coefficients de sont maintenant des fonctions connues du temps £

en sorte que l’on à ainsi trois équations différentielles linéaires, sans

second membre. dont les trois cosinus forment un système de solu-

ons. La solution générale comporte trois arbitraires, dont une seulement est déterminée dans le problème actuel par la condition que la somme des carrés soit l’unité. Mais on peut, à volonté, fixer les deux autres arbitraires en choisissant la direction de l’axe Z.

ën comparant les équations actuelles aux équations (68), on voit qu'il existe un système de solutions où les inconnues sont proportionnéles a er ne |

On peut prendre pour les trois cosinus un tel système et écrire ainsi, d’après (53) et (84), cosAZ cos BZ cosC VAR > Lx bs(a+v)s(b ++) TIMOR La or DIVERS 0 (a—b)5o(a+b+e)

arA à (SRE

ee 2

Suivant les égalités (83), (84), (95) et (96), j'en conclus donc

23 x mile À,

LE eue ]F Tate PE 9) çu— e) Es TOME

AZ — BZL = | ———— cos t cos Eren s(a—b)s(a+b+r)sus(u++s)

En posant, comme on l’a déjà fait pour le cas du mouvement à la Poinsot, € = cos OX + z cos CY,

Lo = cosOX — z cos CY,

et supposant les deux systèmes d’axes congruents, J'ai encore, ainsi qu'on l’a trouvé en l’endroit cité,

de d£, 0 T OT Co — re. = dif cos A+ = cos BL)

ou, en divisant par CS, = 1 — cos? CZ — cos? AZ + cos? BZ,