OT OT
1 de 1 d® EN He Vos
= — PVR SRE ERA
€ dt Co. dt x? + ti er L1V1+ Le =— aim (9 + r EP )» d’où résulte
n 1 d© PEN gsm sm Vas ENTRANTS ENS rV3 0 Do xi—m
Pour décomposer en éléments simples le dernier terme, on a ici un calcul analogue à celui qui concernait précédemment 9 (4). Les résidus ont pour expression
n n CEMER re ——— — Ê& nt Site sm L V3 as $ Vm à ie 0 FLE o æa[pu—p(u +v)] D jf du
Il faut y substituer successivement, à la place de uw, a et —(b+e), racines de D, puis b et —(4« + +), racines de D,. Pour le premier et le quatrième pôle, æ, est égal à Vin; pour le deuxième et le troisième, T3 est égal à — /m; c’est ce qu’on voit pour les équations (83). Les
résidus sont donc successivement — 1, +1, —1, +1. En outre, la fonction s’évanouit pour #,.infini, c’est-à-dire pour u = 0. Donc
n ‘ mn A ANS e . : x? = (u+a+v)+t(u+b+o)—{(u—a)—i(u—86)-D:, Î LAIT
(99) Di=ta+tb+t(a+e)+£(b+v).
Posons encore, pour abréger,
sym (100) NE gsm rY3 et l’on aura, en intégrant, e 2Y d(u+a+e)s(u+b+o) log = =—{ D) + log’ —+ const.
PAC (= ) 4 s(u—a)o(u—b)
D'autre part, le produit 2€, est égal au produit des facteurs
"cos AZ — 1 cos BZ.
Prenant, pour ces derniers, leurs expressions (98), nous avons
s(u+arv)o(u—b)o(u+b+v)o(u—a) s'us(u+9)
log, = log + const.
De là résulte loge?, et enfin € et €, comme :1l suit, en donnant une forme convenable à la constante arbitraire E,,
k an sasbs(u+a+v)o(u+b+ov) —(L+in) x og VTT TT sabot eneucmens À IJOI “ N ne FA HAT uw D SORT ESS CN PR) S SRE a)o(u — b) G+in)e
E, g(a—b)s(a+b+ve)suo(u+v)
On a vu, dans le paragraphe III, que la connaissance des quantités cos CZ, cos AZ + : cos BZ et cosCX Æ : cos CY détermine entièrement et sans ambiguïté la position relative des deux systèmes d’axes, quand on connaît le caractère de congruence. Ici nous avons supposé les axes congruents. La rotation du corps est donc actuellement déterminée.
Translation du corps solide.
Il faut maintenant trouver, en fonction de uw, les coordonnées X, Y, Zde l’origine des axes fixes dans le corps, mobiles dans l’espace. Les deux premières coordonnées sont données explicitement en fonc-
ton des quantités précédentes, la troisième exige une intégration. Pour les deux premières (!), on a les formules
> A— 7 A G0S AY 2 ya 608 BY + Ya cos CY ), m Vm Par une transfôrmation facile, fondée sur l'emploi de la relation élémentaire (8) avec l'hypothèse actuelle e = +1, on conclut de là
d' (y1 cos AX + y2 cos BX + y3 cos OX).
(X +1Y)(cos COX —zcosCY)
Le [.y1(cos BZ + à cos AZ cos CZ)
m | + Ya(— cos AZ + r cos BZ cos CZ) — 1 y3(1— cos? CZ )|, (X+iY)(cosCX — cz rosCY)
I La — TX nr À + To V É xÈ | 2 V1 pa re 1#1 se
ÿm 2 m m
ou bien encore, suivant les relations (76),
er te RER NT a dan LT ue (KEY) (eo OX — co Cv)= | EE DE (ner) L
De là enfin se conclut, en prenant aussi l'expression conjuguée,
(102) (XÆ1Y)(cosCX = TcosCY) 1p2Ys | « see — T3 nn Le UE PELE Re Me mere eee, s Eh piue + à (0 2 2]
Le facteur cos CX £ cosCY est une fonction doublement périodique de seconde espèce, tandis que le second membre est doublement périodique. Donc X Æ7Y est doublement périodique de seconde espèce. Les deux quantités conjuguées cosOX + cosCY ont des multiphicateurs réciproques, puisque leur produit 1 — cos? CZ est doublement périodique. Donc X +£Y a les mêmes multiplicateurs
que cos COX + z cosCY.
Nous allons décomposer X +:Y en éléments simples. L'élément simple type se déduit immédiatement de la forme (101)
(!) Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, p. 240.
2Cy 1 7e ol 350 © ©: “'OÉUVRES DE G.-H. HALPHEN, de cos COX + 7 cos CY : c’est ü V YA s(u+a+b+vr) (ani)e qu Les pôles de X H1Y sont u—=0o et u——v; ce sont des pôles :
simples, attendu qu'ils sont doubles au second membre (102), et à S ; A0 to2y simples dans le facteur cosCX — ; cosCY. Leur résidu est + Re coeflicient de pu et p(u + v) du second membre (102), divisé parle résidu de cosCX — #cosCY. Il n’y a pas d’autre pôles, comme on va voir.
Observons les valeurs du second membre (102) pour les valeurs particulières de w suivantes : a, — (a+e), b, —(b+v). Pour les
deux premières, on a, suivant les égalités (83),
pour les deux autres, T3 =—Vm.
se confond
Par conséquent, pour les deux premières, Wm — 3 Z
ñn ° ) avec La — FR pour les deux dernières, avec — {73 — Rs + D'autre 3 3
part, suivant les égalités (88) et (89), > (as PE ; | est alors égal à Æ y'a +[pu—p(u+o)],
le signe + convenant à u = aet u ——(b ++), le signe — à u —b etàu——{(a+v). Ilen résulte, pour la quantité entre cr ochets, les valeurs suivantes :
S Éie, DEPUIS ot ” lo[pa—p(a+e)
UE O, pu—p(u+vr)E—(xr3s — —
( u=—(a+v), pu—p(u+v)TE E (a (
u=—(b+v), pu —p(u + . Haies
On voit par là que le second membre (102) s'évanouit pour uw = a el u — b, quand on prend le signe supérieur, et pour u=— (a ++)
ouuw——(b+v), quand on prend le signe inférieur. Il en est de même pour cosOX — # cos CY.
Il s'ensuit que X +: Ÿ n’a que les pôles UE OXE Ut, el lon conclut 5} - T : uw ls RE EN Ltjate a) io2y3E1 APE TAN AREA CAR NS PLUS 20 D s(u+<a+b+ov) ; o(a+r)o(b+v) sasbsu s(a+r)3(b+ve)s{(u+oe) Y.1 25m Ex re ete +in,)e tp? 3 da —b)sr s(u—a—b—#) s(u—a—b) ee sasb ca +r)o(b+re)ou sasbo(u+v)|
On remarquera que les seconds membres, dans ces deux égalités, se déduisent l’un de l’autre par le changement du signe, accompagné du changement de a et b en — (a +), — (b+e). C’est ce dont on se rend aisément compte par les expressions de cosCX + rcosCY et celles des constantes.
La coordonnée Z de l’origine des axes mobiles exige une quadrature; elle est donnée par la formule
dZ
eee UÜ cos AZ" + V cosBZ + W cos CZ.
Par des transformations successives, cette formule devient
dZ j ; — [ti (PT + qi) + To(PpTo+ 9 Va) + t3(p T3a+q Y3)]
— ts [(p— p}xi+(g'—4q)yst3+ pm + qqn]
\ 2 np) (er 2x) + pm + qn— = pm == 1
dZ FE $
dE Erysevm eV D] 2E de tes 2,
ir ya m
A . L ni] sn En intégrant el hourant par oeto; les deux constantes, nous avons
TS TER Po ue pi]
[pu+ p(u+e)+pel.
(103) + L+const. = 0t+ dp[E(u+e)+Cu—upr], des Poe on) Ve (104) & SÉDESp V3
OR
ir y3V mn is ÿ/m
352 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.
Nous avons, on le voit, résolu le problème qui consiste à déterminer explicitement en fonction du temps la position du solide.
Notions générales sur le mouvement du corps solide.
Indépendamment de toute discussion approfondie sur les formules que l’on vient d'établir, on peut se faire une idée sommaire du mouvement que ces formules représentent.
< ; E à u Soit 0 le rapport de l'accroissement du temps à celui de 2 (35);
Q = — - 9 RP à Vr(p—p) WYs
Nous supposons réelle la constante arbitraire 6. L’argument uw, ou du moins sa partie variable, prend des valeurs soit réelles, soit purement imaginaires suivant que à est lui-même réel ou purement imaginaire, suivant donc que (p —p}) est positif ou négatif (r est positif, car la force vive T est nécessairement représentée par une forme positive).
Comme les invariants sont réels, 1l y a une période déterminée 26, de même espèce, réelle ou imaginaire, que les valeurs de du; il y COr-
respond une période de temps {=
Considérons d’abord le mouvement angulaire de l'axe C ou axe du corps. Le cosinus de l’angle CZ (93) est une fonction doublement périodique, dont une période seule intervient. L’angle CZ reprend donc la même valeur à la fin de chaque période de temps.
Considérons maintenant l’angle Ÿ que l'intersection des plans AB et XY fait avec l’axe X. Cet angle est donné par la formule
cos CX + 1 cos CY
DE ER RSR Es AE AR AS RER eut cos CX — cos CY
LA
On voit par là qu’à chaque période de temps l’angle Ÿ se reproduit, augmenté d’une constante d,, de telle sorte que les fonctions doublement périodiques de seconde espèce cosCX Æ cos CY admettent les multiplicateurs e“* correspondant à la période 26.
Ces deux angles CZ et Ÿ définissent complètement le mouvement
angulure de l’axe GC du corps. C’est, comme on voit, un mouvement varié, mais qui coïncide périodiquement avec une rotation uniforme,
Yo
de vitesse nu autour de l’axe Z.
Envisageons actuellement le mouvement de l’origine des axes mobiles ou centre du corps. La coordonnée Z est représentée par une fonction (103) qui se reproduit, à chaque période de temps, augmentée d'une constante Z,. Les deux quantités X Æ £ Y se reproduisent mulupliées chacune par une constante; mais, comme. on l’a vu, ces fonctions ont les mêmes multiplicateurs respectivement que
cos CX + r cos CY,
c’est-à-dire e’*%, Le mouvement du centre est varié, mais coïncide périodiquement avec un mouvement hélicoïdal uniforme, dont l’axe est Z et dans lequel au temps {, correspond une progression Z,, parallèle à l’axe, et une rotation Ÿ, autour de cet axe.
En réunissant les circonstances relatives au mouvement angulaire de l'axe et au mouvement du centre, je conclus que le mouvement de l'axe lui-même coïncide périodiquement avec un mouvement hélicoïdal uniforme, ou mieux se compose de ce mouvement et d’un mouvement périodique. 5: .
Considérons enfin l’angle + que l'intersection des plans AB et XY fait avec l’axe À du corps. Cet angle est donné par la formule
cos AZ +icosBZ
e21® = ————— "— —— +, : COS AZ — :cosBZ
Les’ deux fonctions cos AZ Æ scosBZ (08) ne sont pas, suivant l’acception ordinaire, doublement périodiques de seconde espèce, sauf si l’exposant $ est un nombre entier. Mais, dans tous les cas, elles ont toujours la propriété de se reproduire, à chaque période, multipliées par des facteurs constants. L’angle © se reproduit donc, à chaque période de temps, augmenté d’une constante ©,. Getle circonstance, jointe aux précédentes, permet de tirer la conclusion que voici :
Le mouvement du solide se compose : 1° d’un mouvement hélicoidal uniforme autour de l’axe Z; 2° d’une rotation uniforme
(à viLesse de autour de l'axe du corps; 5° d'un mouvement pério-
dique (à période {5 ).
Enumération des constantes. Homogénéité.
Dans la suite des calculs qu’on vient de parcourir, il importe de ne pas perdre de vue les constantes primitives et leur liaison avec celles qu’on a été conduit à mettre en leur place.
Les constantes données sont au nombre de dix, savoir : 1° Les six coefficients de l’expression de la force vive (75) p, p', q, g',r, Fr; 2° Les quatre constantes d'intégration {, m, n, Ya (72), (73) et (54).
Dans nos formules, on voit figurer implicitement les deux invariants des fonctions eMiptiques et explicitement les trois arguments constants v, a, b. Les arguments à, et b, peuvent être omis comme déterminés par les précédents. Ce sont donc là cinq constantes.
La constante d’homogénéité peut être omise comme entièrement arbitraire, ou bien on peut encore observer que les fonctions elliptiques interviennent, dans toute les formules, avec la lettre p, de manière que l’homogénéité soit respectée : toutes les combinaisons qui s'offrent sont, à ce point de vue, du degré zéro, chaque argument étant censé, ainsi que p, du degré 1.
Avec ces cinq constantes elliptiques, les formules présentent cinq autres constantes que nous pouvons distinguer, savoir a, y, Ü, 0, 04.
Nous allons reconnaître que ce second système de dix constantes détermine complètement, et sans ambiguïté, le premier. Dans le paragraphe suivant, nous établirons le résultat inverse.
En premier lieu, au moyen des cinq constantes elliptiques, on
; Ô n RES détermine m, > avec les constantes auxiliaires mn,, h, s, par les for- J3 :
mules (84) et (90), que nous transcrivons 1e1 :
2 /m == C(Za E Sp),
1/7 mi = p(&a,— 20),
sym = = [pb A PASpia re) pére)
— = = pt[pb — pa+p(a+v)— p(b+v)|].
L’exposant , qui figure dans les formules (98), est déterminé par
ces quantités, puisqu'on à (9/4) | hr F 28 Les constantes auxiliaires »,, n,,s sont liées aux constantes primitives par les relations (80) et (85)
pm+2qn+ryi—l CR A
Mi = £ ET de h= fes see V3; Psp Vr(p'—p)
Quant aux constantes que nous avons distinguées dans les formules, voici leurs expressions (94), (100), (104) et (105)
ATEN: RAS Er su ce EG r 4Y3 m 8 25 ou
