EN RME TY

Ü = PNR — de ,

VD me

ess [pm qn — + (p'—p |:

Vÿm

V3 mn isV m Par les cinq premières constantes sont déterminés, nous venons de

. FE nm U . os »

le voir, Ve, m1, h, s. Maintenant, au moyen de 0,, est déter-

miné Ya el, par COR ÉqUENS n. Au moyen de 8 et 1e sont ensuite déterminés r et q, puis q par la relation

h=2ry3(q — gq)02.

Enfin est déterminé au moyen de «, p et p au moyen de s et 6, l'au moyen de m.

Il est donc établi que la connaissance complète du mouvement du corps entraîne aussi la connaissance des constantes qui figurent dans les équations différentielles et les intégrales.

Il n’en serait pas de même si l’on connaissait seulement la rotation du corps, non sa translation.

Et d’abord, il estévident que la connaissance de la rotation ne peut entraîner la connaissance d’aucune longueur. Par conséquent, la rota- Uon ne peut déterminer que des combinaisons de degré zéro entre les constantes, ce qui en réduit le nombre d’une unité. En outre, à et 0, n'interviennent pas dans les formules de rotation. La rotation dépend donc seulement de sept constantes, et c’est ce qu’en effet on reconnaîtra : plus loin.

Il est aisé de trouver, à ce point de vue, les degrés des diverses constantes. |

Par rapport à l’unité de longueur, la force vive est homogène et du degré 2, les vitesses U, V, W sont du degré 1, les vitesses de rotation P, Q, R sont du degré zéro. Il en résulte pour x,, #2, x, le degré 1, pour 31, Ye, Ya le degré 2, pour p, p' le degré zéro, pour g; g' le degré — 1, pour r, r' le degré — 2. Les degrés des autres constantes

en résultent, savoir

n SATEAR L'EMTSERS ENTen me ir OR EO 20 pe EE VS A0 J 3 Le s

DE DRE De 00 ets MMS PTS LE AT OC MO ESA D RER LO"

Si les arguments elliptiques sont considérés comme de simples

nombres, 5 est une longueur.

Expression des éléments elliptiques en fonetion des données.

Pour avoir plus de symétrie dans les formules, j'emploie, au lieu de

m, mi, n, h, les notations suivantes :

: I n ; Ë (106) =h =", TR EN VIT RH, pe hR?+ mu = pu.

À J'3 4 Ces quantités, ainsi que s, sont toutes des longueurs. Par leur emploi, le polynôme (81), divisé par r(p'— p}), s'écrit

ainsi

(T$ + Svita— p?+4vi)(xi— pt) + s(x3—v}?.

Pour faire disparaître le second terme, on pose æ3= y — y; le polynôme devient (Y?+ 2V1Y + vi — u?) Cry? 2V1Y se Vi — ue? )-+ s2(Y —v — V1 )? et doit être identique à cet autre (63)

Jt— 6p2pv.y?+ 403p'e.y + pt(ga— 3p°29).

CS Qt SI

De la comparaison se tire immédiatement

> RS En 2 me het (FO À Go?pr = ov?+ ut puis,

(108) 209p 0 = (ui pu?) — s2(% + vi), el cette combinaison, qui servira plus loin,

(109) ph(I9 pp ss) = (avi Rut+ pis?) À

oies (y

ee tL2 ) (2e (te ) Er s?(v De Ya).

Par le théorème d’addition, on a

| D LD p ba > DA EPA Er) + pos | | = 7$.

| et ne Hé

Mais, d’après (84),

es Re 0 Za = Vin + ne =" +;

Se He jai donc, au moyen de (105),

c?[pa+p(a+vs)]— [(2u+ou)(ovi+ nu) —s?— nu], tandis que l'égalité (88 a) donne

c?[pa — p(a + e)] — s(u. — y},

Voici donc connus pa et p(a ++). Il suffit de changer les signes devant s et x pour changer a en b. J'ai donc aussi

p3[po+p(b+vo)|= <[(2v—5u)(ovi— nu) — s— n°],

plpb—p(b +e)]=s(u+v).

Par le théorème d’addition, on a

p'a+ p'(a+ ASE DL EE APPORPE pra Se pare) ape

pa—pla+e) pa—pr pa+p(a+ve)—2pr

nn

da —

En remplaçant ici 934 par y, + 4, on conclut

o5[p'« D(a + 9 )] == 25(m—%) (1 + V1), glpa—p(a+r)]=s(p—v) + ui) + vint + vi),

et semblablement

o?[p'b + p'(b+v)]=—2s(u+v)(u— vi), o2[p'b—p(b+e)|=—-s(uæ+v) — pu pi) + 4vibCu — vi):

Des calculs tout analogues donnent les fonctions p et p pour les arguments &,, b,; mais nous n’en aurons pas besoin. Il nous faudra bientôt connaître les mêmes fonctions pour les deux arguments

Po=—(a+b+p), = a — D.

Le calcul n'offre aucune difficulté par le moyen des formules précédentes ; il donne lieu à des réductions remarquables. Je transcris seulement les résultats :

/ BE p CORRE PU FAUNE PVC) ES DA dE ER Di pe p(a+v)— p'b U sy DEN PERD EE TS Se ST = — I — — —

| 2 p(a+v)—pb De

(110) l , | | o pa+p'b Rae LIRE ES LL ASS > pa—pb pp(a+e)+p(b+e) RU 2 p(a+e)—p(b+e) — 2 : 1 s2v?

RCA SN te ne (111) j PAPAS RP) PNR vyi 1 Sy s?v?

AN Le RNA PRET PR ETS C2 (112) pe ns(u+ 2) + = (4 Ui+S —):