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Y; et déduisons deux développements pour £ et à :

cut ne Level

Le développement de n en £ se déduira de là et aura cette forme

Ceci est l'équation d'un cycle d'ordre y et de classe n, à moins toute- -fois que le dénominateur commun des exposants puisse être réduit à un diviseur de y. Mais, à cause de la dualité, cette réduction est impossible. Donc, dans le passage des coordonnées ponctuelles aux coordonnées tangentielles, l’ordre et la classe d'un même cycle. s’échangent entre eux. |

Si l’on complète ce résultat par l'examen des coordonnées, on peut l’énoncer ainsi: Dans deux courbes corrélatives, à un cycle de l’une correspond un cycle de l’autre courbe. La tangente de chacun de ces cycles est corrélative de l’origine de l’autre cycle; l’ordre de chaque cycle est égal à la classe de l’autre.

7. L'interprétation géométrique de l’ordre et de la classe, pour un cycle, se tire bien aisément du mode d'exposition employé. Revenons aux équations qui ont servi de point de départ

M re VY—Yo= at + dl + dal...

Si l’on prend pour variable indépendante + — +4, à chaque valeur infiniment petite de cette variable répondent N déterminations infini-

ment petites pour {, et aussi pour y —7,. Le nombre N, pour un même cycle, est suscepuble de deux valeurs différentes : 1° si la droite x x, n'éest-pas-la tangenté du-cycle alors N= 7:27 r= Toest

la tangente, alors N = x + y. De là cette proposition : :

St une droite mobile est infiniment voisine de l’origine d’un cycle, il y a, parmi les intersections de la droite et de la courbe, des points infiniment voisins de cette origine et appartenant à ce cycle : leur nombre est l’ordre du cycle st la droite fait un angle

PR ET, PRET NOR TOR ROUE SE CENT ET OS CR NS De TR RSS PR de ES A TPE nm M PEN 9. LA 3% ’ sm D nus La + rai PS h ni Pie ile ML RARES ES. : 2 : E Sr te Ë Moul. L'RR - - 4 SE : A an SLA, ; - , We.

fini avec la tangente; au contraire, il est égal à la somme de

l'ordre et de la classe si la droite diffère infiniment peu de la Ê RUN

tangente.

D'après la dualité, envisagée au n° 6, nous avons en mème temps

cette autre proposition ;

St un point mobile est infiniment voisin de la tangente d’un cycle, il y a, parmi les tangentes menées du point à la courbe, des droites infiniment peu différentes de la tangente du cycle, et lu appartenant; leur nombre est la classe du cycle st le point est à distance fine de l’origine; au contraire, il est égal à la somme de l’ordre et de la classe si le point mobile est infiniment voisin de l’origine.

Si l’on prend les positions limites de cette droite ou de ce point mobile, on a ces conséquences : dans le nombre total des intersections d’une droite et d’une courbe, chaque point commun compte pour un nombre égal à la somme des ordres des cycles: dont ilest l’origine, augmentée de la somme des classes de ceux de ces cycles auxquels la droite èst tangente. Comme on sait, ce nombre total est indépendant de la droite envisagée : c’est le degré de la courbe. |

Dans le nombre total des tangentes à une courbe, issues d’un point, chaque tangente compte pour un nombre égal à la somme des classes des cycles auxquels elle appartient, augmentée de la somme des ordres de ceux de ces cycles dont le point considéré est l’origine.

Ce nombre total, indépendant du point envisagé, est la classe de la courbe. |

D’après l’avant-dernière proposition, la somme des prdres des cycles ayant une commune origine est ce qu’on appelle habituellement l’ordre de multiplicité de ce point sur la courbe. Ainsi un point est multiple ou singulier quand il est l’origine de plusieurs cycles, ou bien encore d’un seul cycle, d'ordre supérieur à l’unité. Un point non singulier est l’origine d’un seul cycle, dont l’ordre est égal à l'unité. Une dernière observation, presque superflue : ayant employé des coordonnées homogènes, nous n'avons pas à parler de points à l'infini. Ils sont compris dans l'exposé général qui précède.

10 CEUVRES DE G.-H. HALPHEN.

8. Les deux nombres », v donnent immédiatement l'aspect graphique d’un cycle réel. En nous bornant au cas où l’origine n’est pas à l'infini, nous voyons par les équations (5) que la courbe traverse ou non l’axe des y et l’axe des x, suivant que n et n + y sont impairs ou pairs. Par conséquent, les quatre cas que peut offrir un trait continu et sans jarret aux environs d’un point se rencontrent eflectivement comme il suit :

1° » et y émpairs. L'aspect est celui d’un point ordinaire. Une branche ordinaire correspond d’ailleurs au cas n — y — 1. Cette forme est sa propre corrélative. |

2° n impair et y pair. L'aspect est celui d’une inflexion. L’rnflexion proprement dite ou ordinaire répond au cas ñ =1, = 2.

3° n pair et y impair. L'aspect est celui d’un rebroussement de première espèce. Le rebroussement ordinaire correspond AN = 2,

y—1;1lest corrélatif de l’inflexion ordinaire.

Les formes 2 et 3 sont corrélatives l’une de l’autre.

4° net y patrs. L'aspect est celui d’un rebroussement de deuxième espèce. Cette forme est sa propre corrélative.

9. Quand une courbe est donnée par son équation en coordonnées rectilignes, l’étude de chaque point singulier se fait naturellement par la recherche des développements de y en x, suivant une méthode bien connue, qui remonte à Newton. Mais, dans les applications, les données revêtent des formes diverses dont il faut savoir tirer parti directement. Arrêtons-nous un instant sur l’étude des cycles d’après les expressions des coordonnées en fonction d’un paramètre.

Supposons que, pour des valeurs de £ à module limité, les coordonnées d’un point mobile soient données ainsi :

(6) æ— rom ét], y —7yo=t2[6.

Suivant la convention du n°2, les égalités expriment simplement que æ et y sont développables en série procédant à la manière de la série de Maclaurin. On a seulement mis en évidence les valeurs æ», Yo deæ, y pour { — 0, et le premier exposant de £ dans les développements. Cet exposant peut être supposé le même dans les deux développements sans restreindre la généralité.

Si l’on sait d’ailleurs que la courbe, lieu du point mobile, est algébrique, on pourra développer 3 — y, suivant les puissances de

x — 29. Ce développement pourra se tirer des précédents, et il aura la forme

Ho eee ut

On ne peut pas affirmer que cette égalité représente un cycle d'ordre A. ; +

Il peut arriver, en effet, que le dénominateur commun des exposants, le plus petit possible, soit un diviseur de ». Soit n, ce dénominateur. La dernière égalité peut donc être réduite ainsi

Pre = ce Aÿ].

S1 l’onfait LT — Ty —= Li

t, est un paramètre correspondant uniformément aux points du cycle; c'est-à-dire qu'à chaque point du cycle correspond une seule valeur de 4,, et en même temps à chaque valeur de t, correspond un seul point.

La comparaison des deux expressions de x — x, donne

PTT DIR %

D'ailleurs », est un diviseur de n; soit donc n — on,. On tirera de

là successivement

1 1 pe sn «| th = &[t], le

On voit par là qu’à chaque valeur de t, correspondent o valeurs de t. Ainsi la variable { ne correspond pas uniformément aux points du cycle, dès que o n’est pas l’unité. À chaque valeur de t correspond un point, mais à chaque point du cycle correspondent p valeurs de &. |

En résumé : Si les développements (6) conviennent à une courbe algébrique, et qu'à chaque point représenté par ces développements correspondent des valeurs de ten nombre 6 :

1°, Ce nombre p est un diviseur de n; 2° Les développements (6) représentent un cycle dont l’ordre

est Z.

Ce n’est pas, d'ordinaire, sur les développements (6) eux-mêmes

que le nombre 5 sera reconnaissable; mais, le plus souvent, 1l sera connu d'avance par la nature du problème. C’est ainsi que déjà dans deux cas, aux n°® 4 et 6, nous avons rencontré des exemples où il est certain d'avance qu'on à p—1. Dans ces deux cas, d’ailleurs, la question même nous a fourni le moyen d'éviter la considération de ce nombre.

Toutes les fois donc qu'un cycle nous sera donné parles développements de deux coordonnées en fonction d’un paramètre t, le nombre e étant connu d'avance, nous aurons l’ordre de ce cycle en écrivant

les développements sous la forme (6) c’est-à-dire en cherchant le

?] premier exposant de £. Nous aurons la classe d’une manière analogue.

Comme il peut arriver que les développements contiennent des termes à exposants négalfs, 1l conviendra d'envisager le changement de coordonnées le plus général. Voici, en résumé, ce qu’on peut dire : Les trois coordonnées homogènes du point mobile étant développées suivant les puissances à exposants entiers et croissants d’un même paramètre, on cherchera trois combinaisons linéaires et homogènes X, YŸ, Z de ces coordonnées de telle sorte que les développements de X, Ÿ, Z commencent par des termes à exposants, tous les trois différents. Soient alors a, b, C ces trois eCXpo-

— «à SIECLE SE

sants dans l’ordre croissant : l’ordre du cycle est

classe est . La lettre 0 indique le nombre des valeurs du

paramètre qui correspondent à chaque point du cycle. Get énoncé est effectivement conforme à ce qui précède; car, d’après les hypothèses, on aura, X, Y, Z étant supposés correspondre à a, b, c

respectivement, ÿ z SR Abe 3 7c—0 LL x=PaD S=rer, 1+2 2 } LES n Fe n abert re X24 EUX \ ) en p es &

10. Nous allons appliquer les notions précédentes à l’étude des points singuliers en coordonnées polaires. Les lettres 7°, 0 désigneront le rayon vecteur et l'angle polaire; 1l y aura avantage, pour cette

étude, à considérer, en même temps que D, la variable À ci-après :

À = ei — cos0 +isin0.

L CAE» ITR EDR 0: US, D LPO RS Re PCT CUT ET CR Sy LL 4 ON Ve as de 21°2 PT RAC PT LT PE EE Ve UE Sie ARE Pa nl A + re. : n < + 1% LS ; * Pa : .

Les droites isotropes, c’est-à-dire les asymptotes de cercles, sont celles dont la direction est définie par À = 0 ou À — .

Une courbe algébrique est définie par une équation algébrique entre r et À. Mais il faut observer qu’à un même point du plan correspondent les deux systèmes (r, 0) et Cr, ÜÔ+r), ou, ce qui revient au même, (r, À) et (—7r, — À). À cause d& cette circonstance, les équations en coordonnées polaires se partagent en deux catégories : dans la première nous rangerons les équations qui, mises sous forme entière par rapport à r, et irréductibles, sont changées par le changement de r, À en —7r, —X. Tel est le cas pour l’équation d’une conique, l’origine étant un foyer. Sur une telle courbe, à chaque point correspond un seul système (7°, À). Dans la seconde catégorie se placeront les équations qui ne peuvent être mises sous forme entière sans jouir de la propriété de rester inaltérées par le changement de r, À en —7r, — À. C’est le cas le plus ordinaire.

11. Soit déduit de l'équation polaire, pour 4 voisin de 04, un cycle.

de déterminations de la variable r. Désienons par N le dénominateur 5 Î

commun aux exposants de (0 —46,) dans le développement de r. En faisant 0 —46,— 4\, et substituant le développement de r en t

dans | TN COSU: Mn sta

on aura x et y développés suivant les puissances de {, comme il a été supposé au n° 9. Pour appliquer le procédé expliqué dans ce n°9, il suffira donc de connaître le nombre o.

Quand 4, est déterminé, c’est-à-dire quand À, n’est ni nul ni infini, le nombre 9 est l'unité. Effectivement, pour les équations de la seconde catégorie, les deux couples (7, À) et (— 7, — À) qui correspondent à un même point ne peuvent appartenir à un même cycle, puisque les valeurs origines sont différentes, au moins pour À, à savoir Ariel — 1 |

C’est donc seulement pour À infiniment petit ou infiniment grand que o peut différer de l’unité; et ceci ne peut avoir lieu évidemment que pour les équations de la seconde catégorie. Nous placerons l’examen de ce cas plus loin, et raisonnerons d’abord sur les équations de la première catégorie.