APR
Discussion des formules.
La discussion, que je vais faire, a pour but de préciser la nature des constantes en distinguant les divers cas qui peuvent se présenter.
Dans tous les cas, la constante mn est positive et la variable x, ne peut acquérir que des valeurs comprises entre — Vm et + Vi; c’est ce qui résulte de l'intégrale (53). D'autre part, la même variable x; doit prendre des valeurs qui rendent positif le polynôme (81)
F(æ;)=r(p—pl(m— hx;—xi)(m—x$)—r(n — 73x23),
tandis que les valeurs #3 = + /m rendent ce polynôme négatif. Il y a donc toujours, entre — /m et + ÿ/m, au moins deux racines réelles de F; c’est entre ces deux racines qu'oseille la variable 3. RCE SE PES KÉe sa Fu
Je distinguerai trois cas principaux, suivant le signe de (p'— p) et
du discriminant À, I. p—p>o.
D’après l'égalité (79),
EL mn — hx3— x$),
( NiTyi
les valeurs que prend x, rendent négauf le polynôme f, fi — Le + hx3— mi.
En effet, p'— p est supposé positif et r est positif, on Fa déjà fait observer, comme étant Le coefficient d’un carré dans une forme quadratique positive. T, la force vive. Il en est donc de f, comme du polynôme f i
HG Tee
ses racines sont réelles et comprennent entre elles les deux racines de F entre lesquelles.oscille +3.
Le coefficient de x;, dans F, est positif. Le polynôme F est négatif pour les valeurs de x, égales aux racines de f et de f,. Donc F à deux autres racines réelles, comprenant entre elles les quatre racines de f et de f,. Soient x’, x”, x”, x" les racines de F; on aura ainsi
e | + ÿm ne
se I I ARE EU RON ( I Re Eve = h?2+ mi \ CÉESTES LE Rè Er) < 2 on 4 }
et #, oscille entre les deux racines moyennes æ”, æ”.
Les quatre racines de F étant réelles, le discriminant est positif. En outre (!) (2w/! étant la période imaginaire), w + : — w/ varie d’un multiple impair à un multiple pair de la demi-période réelle w, quand æ3 varie de &” à x”. La relation précise entre t et « doit s’écrire
|To
de manière que l’origine des temps corresponde à 7, = x". Cette indication est placée ici uniquement pour montrer comment on peut, Si on le désire, préciser entièrement les arguments. Il est également permis d'ajouter à w et # des périodes à volonté; en tout cas, u est réel sauf un multiple impair de w'. Pour mieux préciser, nous continuerons à faire les premières suppositions, qui ne nuisent en rien à la généralité.
Les arguments à et b correspondent aux racines de f (83), qui sont l’une entre x' et x”, l’autre entre x” et x". Ces arguments ont donc les formes ci-après (?), sous la supposition que Vmn soit pris positivement dans les formules (83),
ve (2 (115) a—=— -+1a", b=— - + uw + 1b", 2 2
a” et b” étant réels. De même, pour 4, et bi,
; ral . C F (116) A =— - +14", bi=— - + 0 + 10".
Suivant les égalités (62) et (66), on aura
a+ a = b"+ bi = 26",
a .&j — a” CARS ENT CE, (4 AT no pr) 3 2
En prenant arbitrairement les deux arguments purement Imagi-
L : > : ® naires @', b', dont les fonctions p sont réelles, puis € + - purement | -
Ÿ Q =, LT ®, Q& Q Le] ES S à à Es , S à a] SS a S Le 7 Se Q ln. 1 Le] S Le e cri La di «©
imaginaire el arbitraire, on déterminera, par la relation harmo-
nique (65), p conjugué de pe; il en résultera, pour æ, la forme (2 . , p . Sn SE ic”, celle de ç étant — ee ic”. De cette manière, a, b, a;, b,, +
auront bien les formes ci-dessus.
Résumons les caractères que nous venons de mettre en évidence et qui ne se reproduiront dans aucun des autres cas; joignons-y ce qui concerne les autres constantes, et concluons ainsi : prenant des fonctions elliptiques à discriminant positif; + réel; u, a, b, a;,b, sous les formes (114), (115)et (116); les constantes 4, à, à, réelles et 2, Y purement imaginaires, on aura la représentation du mouvement dans l’un quelconque des cas où (p'—p}) est positif,
II, p —p<o, LÉ
Le polynôme F, dans ce cas encore, a quatre racines réelles, Supposons ces racines dénommées, comme tout à l’heure, x’, x’, æ”, æ" et rangées ainsi par ordre de grandeur, mais dans l’ordre croissant ou décroissant. La variable x, reste comprise entre deux des racines
extrêmes, x” et x". Les deux quantités + ÿ/m sont, l’une au delà de x", l’autre soit entre x” et x”, soit en decà de x’. De là deux cas fort distincts.
Dans le premier de ces cas, f est positif quand x, est compris dans l'intervalle x x”, intervalle où F est positif. Comme p'— p est négatif, il faut que f, soit négatif dans cet intervalle. Il s’ensuit que les racines de /, sont réelles et comprises, l’une entre x” et x”, l’autre en deçà de x’. tr
Dans le second cas, au contraire, celui où les deux racines de f, c'est-à-dire Æ ÿ/n, comprennent entre elles les quatre racines de F, les racines de /, peuvent être imaginaires. Si elles sont réelles, elles sont toutes deux, en même temps, ou bien entre x” et x”, ou bien au delà de z'', ou bien en decà de x". :
Il est aisé de reconnaître comment on peut choisir les arguments à, b, a, b, pour que les formules correspondent à un quelconque de ces cas. On y parvient immédiatement au moyen d’une discussion faite dans mon 7raité des fonctions elliptiques, t. 1, p. 125-129, et d’ailleurs très facile.
En premier lieu, e est réel et w a l’une ou l’autre des deux formes
suivantes (qui rentrent lune dans l’autre si l’on altère e d’une
période) (117) | |
où est réel.
Premrer cas : L'une des deux quantités = \m est dans l’intervalle (x"x"). — En ce cas, l’un des arguments a, b est réel, l’autre égal à Æ w', plus une quantité réelle; il en est de même pour à, et 0. Sans restreindre la généralité, on peut supposer a + &; = b + b, réel. Alors les arguments auxiliaires wetc, (62) et (66), sont réels; & et b’, l’un réel, l’autre réel Æ w”. On obtient donc les formules propres à ce cas en prenant les termes de la proportion harmonique (63) de telle sorte que pw, pc et pa’ ou pb" soient tous trois supérieurs à e, et que le quatrième pb' ou pa’ soit compris entre e: el es. L'argument u a l’une des formes (115), les constantes 6, à, à, sont purement imaginaires, « et y réelles.
Deuxieme cas : Les deux quantités ÆVm comprennent entre elles les quatre racines du polynôme F. — En ce cas, les trois arguments &, b, » sont réels. Les arguments &, et b, sont des imaginaires quelconques si les racines de f, sont imaginaires ; ils sont ou tous deux réels, ou tous deux réels + w’ si les racines de f, sont réelles. Cest ce qui résulte de la discussion ci-dessus, relative aux places que peuvent occuper les racines de /,. |
Il s’agit de trouver, de la manière la plus générale, les arguments a, D, &y, b1, Ÿ, pour satisfaire ainsi aux conditions (56) et (63). Posons, à cet effet,
uG=-( wm—c—a +0) =
ui=-(—w+c—a+b) = io D'Hai D),
Le AE I Do (af CET -b)= -(—pr— a —b k D DDR
; I pee … @m+c+a' +0") = BA D + @1 E br).
Il en résulte
Uy—Ps=#w—a, ui—#,=—(w + a"), uy+ rs =—(c 0"), Uy+ Pi =C+ Hi ee BC EC), u,—#;=c— a", uy+r, = ww + b", uh+ ps =—(w — D").
La forme sous laquelle est exprimée la quantité À (p: 337) reste donc
/ ! ré ! : ù ee DURS RTS V3 remplacent respectivement #,
c, a, b', et l’on a, entre leurs foncuions p, la relation
inaltérée s1 les arguments 4
(19) (pus —pe)(pui— pri) + (puy — pes) (pus — po) = 0.
Puisque a, b, 6 sont réels, w,, u,, », sont réels aussi. On devra donc prendre pu, pu, pv,, réels et supérieurs à e,, quelconques d’ailleurs. Le quatrième terme pe’ en résulte. Il est réel. Les argu-
ments &, et b, sont alors déterminés par les deux égalités di—b;=0b—a, di+bi=2v; —v.
Si ps, est supérieur à e,, ?’ est réel, a, et b, sont réels aussi. Si p?, est entre e, et e, ou inférieur à es, #, est purement imaginaire ou purement imaginaire à une denu-période réelle près; alors a, et — b, sont imaginaires conjugués; si ps est entre e, et e2, P: est réel sauf une demi-période imaginaire et &,, b, sont réels Æ w”.
On voil ainsi que les trois particularités relatives aux racines de /;, signalées plus haut, se retrouvent nettement : on obtient les formules propres au cas envisagé ici en supposant à, b, a,,b,, + déterminés par les arguments auxiliaires u,, uw, +, #, (118), dont les trois premiers sont réels et le quatrième déterminé par la relation (119). Les constantes À, à, à, sont purement imaginaires, « et y réelles;
u a la forme (117) :
NI. p'— p <o, Aro, Le discriminant étant négatif, le polynôme F a seulement deux racines réelles x, x’, comprises toutes deux entre ÿ/mn et — (/m. Le ginaires, ou bien réelles et ne com-
prenant pas #', x’ dans leur intervalle. Les arguments propres à ce cas
trinôme /, a ses racines ou ima
se trouvent par les mêmes formules que pour le dernier cas; mais ilne faut pas oublier que le discriminant des fonctions elliptiques est
négatif : les arguments w;, u, #, sont réels, leurs fonctions p supé-
PRE NE ne OP Ps ST. PUIS UE CS PORN NT RE SE TITRE ETS
