RATS NERO
rieures à €,; suivant que pe! est supérieur ou inférieur à 2,, les racines de f, sont réelles ou imaginaires. Les constantes 0, à, à, sont purement imaginaires, & et y réelles, u + = est purement imaginaire. "a
Ici se termine la discussion que j'avais en vue. J'ai distingué, au début, les divers cas possibles relativement aux racines de F, f, /, et j'ai trouvé, pour chacun de ces cas, les caractères distinetifs par rapport aux fonctions elliptiques employées dans les formules.
Décomposition de la rotation.
Dans les formules (101), (98) et (95), qui donnent
cos OX Er cosGY, cos AZ HicosBZ et cos CZ,
mettons, au lieu de uw, 6, «a, b, les notations suivantes :
US re (120) / DE por eut Un), A = — — (00 — PU WU).
On a alors les formes suivantes :
cos GX + cz cosCY
VAE je NÉ rUTN EE à [EE Uo Lo A = Vo E y 2 f1 (rare Su Po US P) p > :
. cos COX cos CT
1 1- P— De 17 Re (tin) e\f TE cuovso ue 2 i
cos AZ + cos BZ
2E s(u+s) sine "HI TE ETEE rs TEE TT TS su 2 s ÉPCR R
Re
| 1 œ\ 2 su 5 Ui— Pi Eu Erol (50—< )x — eutv 5 AA Dire Es uwsvsuom [S(u+e) Fa 2 À
Ug + WE Po EP stu+atu— Ÿ (des ui à 23) COS CZ = " DR Son V1) 7e nn e : j s) 2
Ces formules coïncident avec celles que lon & vu plus haut dans là composition des trièdres. [n’y a qu’un changement dans les notations. SRPON mELA, B, Cet X Zu heude r,yyisrzrel.25, Vos 30 qu'on pose, en outre,
OU
pont eue AeCe an \
Fée RENE
les formules qui donnent cosCZ et cos AZ Æ x cos BZ coïncident de part et d'autre (93), (98) et (21), (19), (16). Celles aussi qui donnent cosCX Æ ; cosCY, déduites des précédentes par le changement des indices, présentent la même coïncidence. Comme, d’autre part, les systèmes d’axes, dans les deux cas, sont congruents, la coïncidence des formules permet de conclure à la coïncidence des figures.
La rotation du corps solide est donc effectivement décomposée en deux autres plus simples M,, M,, représentées par des formules analoyues à celles des mouvements à la Poinsot, et nous allons examiner cette décomposition. |
L’argument 4, varie proportionnellement au temps, puisqu'il diffère de w par le signe seulement (120). De plus, C, est une exponentielle du premier degré en w,. Done M, est précisément un mouvement à la Poinsot. Toutefois ce mouvement n’est réel que si le discriminant est positif, la variation de w, réelle et si #4 est purement imaginaire, à un multiple impair près de la demi-période réelle. Ces conditions sont effectivement satisfaites dans un cas, le premier de ceux qui ont été discutés plus haut, celui où (p'— p) est positif. Dans le cas opposé, la décomposition n'est point réelle, et c’est un fait bien digne de remarque, quoique sans intérêt cinématique, que la décomposition d’un mouvement effectif en deux mouvements imaginaires. C'est donc pour le seul cas p°— p => o que nous étudierons la décomposition.
Quand la constante $ est nulle, C, est aussi une exponentielle du premier degré en u, = u +», et la variation de uw, est proportionnelle au temps. En ce cas, M, est aussi un mouvement à la Poimsot. Mais, en général, décomposons C, en deux facteurs, dont l’un soit une exponentielle du premier degré. En prenant seulement ce dernier facteur, nous aurons un mouvement à la Poinsot M°, dans lequel les axes X,, Y,, Z,. différents de À, B, C, seraient les axes mobiles, liés
au plan roulant. Pour amener ces axes en coïncidence avec À, B, OC, il suffira de les faire tourner autour de Z, d’un angle W, tel que eiY soit égal au facteur négligé dans C.
Soient, en effet, a, b, c les axes fixes auxquels on rapporte le mouvement de X,, Y,, Z, et Ÿ l'angle que l'intersection des plans ab et X, Ÿ, fait avec X,;ona «
coscXi+icoscY;
(125 CUVE ) cosc Xi — £ cosc Y;
Soit C: le facteur pris d’abord dans GC, pour composer un mouvement à la Poinsot. D’après les formules (1) du début, changer C' en C,,
s ee : à G ; c'est muluplier coscX, +zcoscY, par + et coscX,;—#coscY, par
C; le facteur inverse. C’est donc, d’après la dernière formule (125), mular) 6 Cr? ; üplier e2iy par (a) » où augmenter Ÿ d’un certain angle W : (E ei == : ;
c'est donc faire tourner les axes X,, Y,, Z; autour de Z, d’un angle W dans le sens positif.
Soit x une arbitraire; prenons
KL HS 1.7 | pote (124 à) Ce :
il en résulte (124)
> : Q AK —S ei S(H HP) —utv Fe pe = OU et, par suite, .dwW RER SES PRE LEURS Le 10 u+p)—Cu—Co|+ — 6.3 .
du Î [EX ) : | D B D
Exprimant 3 par cosCZ (123) et introduisant dt au heu de du, j'en
conclus dW Bp(za— 39) cos OZ + 54 + 34 pe L—LrS AL ee r0 > c0
Je mets maintenant Z, 2 au lieu de CZ, les deux axes Z, et C coïncidant, et J'ai, pour la vitesse de rotation considérée, dw
4 — M CosZ12 She N,
avec cette expression des deux constantes M, N
(126) M = F LA Es 1 $ A— 4 —S$ PAR) ÈS Strat 26) + F6 .
IL est manifeste que les deux mouvements M,, M° concordants sont tout à fait arbitraires. Étant donnés, ils déterminent les invariants, les arguments &, b, # etles constantes y, x +5. Si l’on prenait arbitrairement M et N, les constantes $ et & se trouveraient déterminées. Mais d’abord l'arbitraire x n’influe pas sur le mouvement résultant et, sans restreindre la généralité, on pourra la prendre de manière à faire évanouir N. En second lieu, $ ne peut être quelconque; cette constante est déterminée par les autres données. Voici donc la conclusion :
Par rapport à des axes fixes a, b, c (axes de symétrie de deux 1 ?) ellipsoides ou hyperboloïdes), deux systèmes d'axes X,Y,Zet X,, Y,,2, sont animes de deux mouvements à la Poinsot concordants. ? Un autre système À, B, GC, où l'axe G coïncide avec L,, est animé autour de Z,, et par rapport aux axes X,, Ÿ,, d’une rotation dont la vitesse instantanée est
ea M cos 2,2; dt
Si la constante M est convenablement choisie, le mouvement relatif de À, B, C, par rapport à X, Ÿ, L, reproduit la rotation d’un solide dans un liquide en l’absence de toute force accélératrice, pour un quelconque des cas où, la force vive ayant la forme (75), la quantité (p —p) est positive.
Tel est le théorème, analogue à celui de Jacob sur la rotation d’un corps grave dans le vide, que l’emploi des fonctions elliptiques m'a fait trouver.
Pour mettre ce théorème sous son vrai jour. 1l faut maintenant dégager entièrement des fonctions elliptiques la solution des deux problèmes suivants :
1° En supposant donnés les deux monvements à la Poinsot, trouver les constantes de la rotation résultante ;
2° En supposant données, au contraire, ces dernières, trouver Les mouvements composants.
Détermination-des constantes au moyen des mouvements composants.
Dans ce premier problème, on suppose donnés deux mouvements à la Poinsot concordants, comme il a été dit au paragraphe V. Les quantités suivantes, qui s’y rapportent, sont donc des données, savoir À, A, B, TEDOGS TP PIS TS DST DA TD ADO ON DU NPC RTE DE 7? p'e. Elles sont toutes définies par les éléments des deux mouvements, ainsi que Je l'ai expliqué dans le paragraphe rappelé.
C’est au moyen de ces quantités que je vais trouver les expressions des constantes de la rotation résultante, envisagée comme étant celle d’un solide dans un liquide.
En premier lieu, les constantes d'homogénéité 5 et + se ramènent l'une à l’autre aisément. Nous avons en effet (44) et (105)
du; du 0 dt HLEPES 0
lo
Prenons les deux quantités À, B avec leurs expressions elliptiques. D'après les égalités (120), elles fournissent deux des constantes cherchées. On a en effet (52) et (84)
Dern : 6 6 2Vmn A GE) Ca EE Eee 0 : ; 0 tour B= [ie + p) — {a RÉCE RICE GER ex J'ai déjà employé les notations suivantes (106) . I n — A:
(128) 7 Vr se nv, Vn = |, \/ re M pe
Les rapports de deux de ces constantes à ÿ sont maintenant connus par les dernières formules, savoir : |
U. ï = = — A | ( TA (129) ; < =.— — B:
CS
Les rapports des deux autres u,, y et de la constante $ avec 8 se trouvent par le moyen des quantités connues =?pe, 7?p#o, .... Je
D. LEE à
déduis des égalités (109) et (111),
pi + ui— 2v? = 9202(2p0; + pv), el, par conséquent,
nu? I RO + 2(272P#i+T2pr). —
(2 Prenant ensuite les combinaisons des égalités (108) et (113), p(spna+2mpr)= (: st — i) (pui) = p(pri—pe)(u— nf), pi (apres isp'e) = (5 st) (v-Ev)s = p?(pe — pri)(v+v)s,
j'en conclus
nn mn ol à) ua S , > y \. S (131) Brp a+ pepe (ape pes) (f +) 5
à CE SE $ V égalités dont la première donne : et la seconde fe
Voici donc déterminées déjà cinq constantes a+ . el (4).
Considérons maintenant les deux exponentielles C, et C, qui achèvent de caractériser les mouvements composants. Elles ont, on le sait, les expressions suivantes (33) :
S1 l’on y remplace uw, par — uw et u, par uw ++, on voit que les coefficients de w, dans ces exponentielles, sont
1 PE Les hi - et Le 0 0 et nee, e uw no AS 121
Le premier d’entre eux, d’après lPexpression (124) de G, et d’après
celle (99) de D,, doit être —(X+in) = T4 fret té rca re) +tb+e) te
Le second, d’après l’expression (124 a) de CG, et d’après celle (91)
de D,, doit être
