PEUX

(1) Bull. de la Soc: math. de France, t. X, p. 88; 1882: (2) Jhid Pt AN p: 11521887:

(3) Œuvres complètes (2° édition}, t. I, p. 104.

l'énoncé. Voici maintenant la solution, d’une incomparable originahité : Pour l'existence de la différentielle cherchée, il faut et il

suffit que' VX se développe en une fraction continue PÉRIODIQUE, et P est la dernière réduite de la première période.

Dans ce problème d’Abel, le degré de X est quelconque, mais toujours pair. Je me bornerat ici au cas où le degré est 3 ou 4; mais je dois avertir que c’est uniquement pour une raison de simplicité; mon analyse s'étend, sans difficulté, à tous les cas.

La fraction continue, dont il est quéstion dans la solution d’Abel, est celle qu’on considère le plus souvent : chaque quotient incomplet est composé de la partie entière du quotient complet, en sorte que les numérateurs sont des constantes. Dans ce qui va suivre, je n'envisagerai pas seulement de telles fractions continues. Je prendrai aussi les fractions que l’on peut qualifier en disant qu’elles procèdent suivant lés puissances ascendantes, tandis que les autres procèdent suivant les puissances descendantes. Ainsi, dans une fraction procédant suivant les puissances ascendantes de x —Ë, les numérateurs seront de la forme 8(x — £)?, où 8 ne dépend pas de‘x, et les dénominateurs + seront du premier degré en x. |

La fraction que je considérerai fournit le développement de la fonction suivante :

(1) ——— = di +

La variable est +; y et £ sont des constantes et Y désigne le polynôme X, où l’on a mis y au lieu de x. Elle jouit de la propriété que, si l’on s'arrête au mime quotient 2», le reste a la forme suivante, sauf un facteur indépendant de +,

PE Dm DE)

(2) NEA

‘el À est un polynôme du second degré, qui devient égal à /X pour LT —Ymasen sorte que l'on:a