nn V\ ti A POUr TZ = Yyn+t

De cette façon, VY»,, est déterminé, sans ambiguïté de signe,

En

comme VY et comme VE (VX pour æ — £), dont on a dû choisir les signes, par avance, pour calculer la fraction continue.

À l'égard de y, il y a divers cas particuliers qu'il faut noter. Si l’on prend y — Ë, et qu’on chasse le dénominateur æ—£, on obtient un développement régulier de VX. dans lequel le premier quotient incomplet est du second degré. Si l’on prend y infini, la fraction continue subsiste et le premier membre doit être remplacé par

VX — ie Vas,

&s étant le premier coefficient de X :

X = at" + Aa 2 + 64%? + 4 43X + dx.

Ce premier membre est simplement ÿX, quand X est du troisième degré.

À l'égard de £, il faut noter qu'on ne peut prendre & égal à une racine de X ; toute autre valeur est admissible. Si l’on choisit £ = , le binôme x — £ doit être remplacé par l’unité, et la fraction procède suivant les puissances descendantes de x. :

Ces explications étaient nécessaires pour rendre claire la solution du problème général concernant les intégrales pseudo-elliptiques. Voici d'abord deux propositions préparatoires :

R étant une fonction rationnelle de x et X un polynôme du quatrième degré (ou du troisième), on peut trouver une autre Jonction rationnelle Q, telle que la différence

L=R—yX2(QyX),

également rationnelle, ait uniquement, en dénominateur, des racines simples et différentes de celles de X, et que le degré du

numérateur surpasse de deux unités, au plus, le degré du déno-.

minateur.

Par cette proposition, la recherche de R, astreinte à la condition de rendre pseudo-elliptique l'intégrale de R :VX, est ramenée à celle de la fonction plus simple L, telle que l'intégrale de LEVX soit, elle-même, pseudo-elliptique.

Pour que l'intégrale de L : VX soit pseudo-elliptique, il aux

MOST NN le 2 Me à *

que le degré du numérateur de L surpasse d’une unité, au plus,

celui du dénominateur, et que L,, décomposé en fractions simples,

soit linéairement composé avec (!) des fonctions ayant la forme suivante

— n' VX No Na

V 1 se 2 v4 )

3 = +... .+nyaox + K; ) TX — Ti TX — Lo :

Ni, Ro, ..., À sont des nombres entiers, X, le polynôme X où l’on

a mis æ, au lieu de x, et K une constante (à cause du double signe de chaque radical, on peut supposer les x positifs).

Mais ces conditions ne suffisent pas. // faut encore et il suffit que les quantités x\, æ», .., et K satisfassent à peux conditions, que la théorie des fonctions elliptiques donne aisément, mais qu'il s’agit de traduire en termes algébriques. C’est pour cette question que, m’inspirant des idées d’Abel, j'ai demandé aux fractions continues une réponse. Je vais la faire connaitre.

Tout d’abord, la fraction continue (1) fournit, à volonté, des exemples d’intégrales pseudo-elliptiques En nous arrêtant à la réduite de rang m et prenant le reste (2), composons la fonction

Li = ———

Ç Tac) TL — V m+1

TS = Sr

LAS VY es TE EE C

et choisissons la constante C comme il suit : soit G, : H,, la réduite, et, en développant suivant les puissances descendantes,

nee = ax?—+ DT Sr:

On aura | :

ie had — 20&, FE: a? «4; Ceci fait, voici l'intégrale + L dx pue. ne CZ — Y)Gn + H; Va H?; vx.

vx ere H» VY+H;, VX

On doit y observer plusieurs cas particuliers. Si l’une ou plusieurs

(!) Cet énoncé a été complété par les éditeurs, conformément à une indication donnée ultérieurement par Halphen (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 106, 1888, p. 1326). [ Œuvres d’'Halphen, t. IV, p. 886.] [Note des éditeurs.]

des quantités &, y, JYmy1 est infinie, la fraction correspondante se change en Va,æ, et la formule qui détermine C se trouve modifiée. Mais ce sont là des détails qu'il est inutile de mentionner 1e1. On y supplée d’ailleurs par une formule unique, bonne dans tous les cas. En posant

G=Gr+U» oi , Lie