CENTS

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par où l’on retrouve la forme (4) et l’on détermine la partie entière de L au moyen des deux premiers termes de G et de HE.

Mais le cas particulier le plus intéressant est celui où l’une des quantités Ÿ, Ym+41 est une racine de X. Le terme correspondant disparaîit de L.

En possession de ce moyen pour former des intégrales pseudoelliptiques, on est, bien naturellement, conduit à penser que la foncuon L, la plus générale, propre ‘à fournir de telles intégrales, est la somme de plusieurs fonctions L,, composées avec diverses quan-

utés & et y. C’est, en effet, ce qui a lieu, comme on va voir. Je transforme d’abord le problème ainsi :

Etant donnée une fonction rationnelle L, de la forme (3), on peut en trouver une autre TV, ne comprenant que deux fractions, avec des numérateurs égaux à l'unité,

Dors V7

de telle sorte que l'intégrale de (2L + T) :YX soit pseudo-elliptique. La quantité y est ad bbitum. On demande de trouver 3 et c. Voici la solution. Ayant pris 7° à volonté, on envisage la fraction

continue (1) avec £ = +, ; on s’arrête à la réduite de rang n, et l’on a,

. d’après la formule (4), une intégrale pseudo-elliptique, dans laquelle

figure L, (nous mettons 3, au lieu de 7h41),

on VX VY 4 VZi

LL Cher TL — Zi

re + C1.

On envisage ensuite la fraction éontinue analogue avec 5 = et y —5,; on s'arrête à la réduite de rang 2, et l’on a une nouvelle intégrale pseudo-elliptique, dans laquelle figure

VZ2 Z1 TL — 29

dns VXe VAn LT — Lo DES

L, = 2 Co,

et ainsi de suite. Enfin, pour le dernier tèrme » ÿa,æ de L, s’il existe, on prend la fraction continue analogue avec £ —% et (n étant positif) avec — ax? comme.valeur principale de YX pour æ—=; on s'arrête à la réduite de rang #, ce qui donne une intégrale pseudoelliptique, formée avec une fonction L; :

Ly= Z ®] Vlr — V2 —- (DV ? (Er À

Lz == 2 7t Vasx SE T — SZ}:

En additionnant ces diverses foncuons L,, L,, ..., Ly, on obüent, en effet, 2L + T; car toutes les fractions correspondant aux 3 disparaissent, sauf la première et la dernière. D’après le mode de formation, l'intégrale de (2L+T):/X, somme des précédentes, est pseudo-elliptique. La proposition est démontrée et le problème

résolu.

Détail important, le problème est résolu sans l'introduction d'aucune irrationnelle; car WX,, VX, .... Vas sont des données

et l’on peut choisir y de manière que VY soit rationnel, par exemple y = x,. Mais, si l’on veut faire abstraction de cette condi- Uuon de rationnalité ou, si l’on connaît une racine de X, on peut prendre y égal à cette racine. Le terme correspondant disparaît alors de T : moyennant la connaissance d’une racine de X, on peut réduire T à la forme

T vz

= C — À orme

En particulier, si X est du troisième degré, on obtient ce résultat en prenant y infini, et commençant ainsi par une fraction continue

qui développe VX.

Par là, nous avons le moyen de former toutes les intégrales pseudo-

elliptiques. Qu'il s'agisse maintenant, étant donnée L, de reconnaître si l’intégrale de L : VX est pseudo-elliptique, on fera l’opération qui doit fournir T, en prenant y arbitrairement : la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale de L : VX soit pseudo-elliptique, c'est que T soit nul identiquement, c’est-à-dire

C = 0, &—Y avec VZ = VY.

La dernière condition, qui porte seulement sur un signe, n’est pas, à proprement parler, une condition algébrique. Les deux autres sont les conditions dont il a été parlé plus haut. Leur expression est ainsi trouvée par des procédés purement algébriques.

Les intégrales d’Abel sont comprises parmi celles que fournit la fonction L,. Si l’on prend £ — æ, L, se réduit à un binôme du premier degré, sous la condition nécessaire et suffisante que l’on ait

JE Vmats VY ce VA Wet

Cette condition rend la fraction continue (1) périodique et sa période comprend m termes. Il faut, à ce sujet, noter que si l’on a y = Ë, c'est-à-dire ici y = , on voit, par un détail de calcul inutile à rappeler ici, que le nombre des termes de la période se réduit d’une unité. Ainsi, pour les intégrales d’Abel, il est indifférent de développer la fonction (1) ou la fonction VX, suivant les puissances descendantes. Les deux développements sont simultanément périodiques ; mais, pour le second, la période comprend un terme de moins. Voici, par exemple, les deux développements, répondant, le premier, à y —£, le second, à y —« (avec £ — o dans tous deux) pour le polynôme :

- É ; DAT VX = 15m — 0 — ——— + < 12272 | ISO :

ee 12 7?

1—4X 24 x [ST — TR Or D Cle NM dir WP us LA 1— 5x —122+ /X = 127?

VX = 1 — 5x — 127?