Nous examinerons d’abord les cycles correspondant à des

valeurs déterminées de 0,, et, pour éviter une transformation évidente, nous prendrons immédiatement} les deux coordonnées

æ = rcos(0 —6,;), y =rsin(0 —06,).

Il y a plusieurs cas à distinguer. La discussion gagne en simplicité si l’on considère, au lieu de r, son inverse.

: I I. Le développement de = ne contient pas de terme à exposant négatif, et le premier exposant fractionnaire, s’il en existe, est supérieur à l’unité :

Nous adjoindrons, pour ce cas, à æ et y, la troisième coordonnée z suivante :

CE I 11e D'après les hypothèses, (:) et (2) ne sont pas infimies; ce sont RUES 199 précisément les coefficients À et B, qui d’ailleurs peuvent être nuls.

Les trois droites x = 0, y — 0,23 — 0 ne sont donc pas concourantes, et l’on peut envisager x, y, s comme des coordonnées homogènes. En écrivant k

Ne et à nes AA È FN NO) ENRRE

et substituant le développement de - on voit que le développement de - commence par un terme de degré supérieur à l'unité. Soit I +S le degré de ce terme, b étant d’ulleurs le dénominateur commun des exposants dans le développement de =. Nous aurons 0 — 4, = 6e, HAE A, 1 2 Ex

Donc, sur la courbe, nous avons un cycle dont l’origine est y = 0, 3 = 0; la tangente 3 — 0; l’ordre b, la élasse a.

On voit par là que l’origine du cycle est à l'infini quand (;) est

et: ’ T've nul, et que sa tangente est aussi à l'infini quand, en outre, :) est nul

aussi. Dans les autres cas, l'origine du cycle est à distance finie, et la tangente ne passe pas au point 7 — y — 0.

? I : à Il. Le développement de = ne contient pas de terme à exposant

négatif; mais le premier exposant fractionnaire est inférieur à l’unité :

La lettre b désigne d’ailleurs le dénominateur commun des expo-

sants.

En prenant la troisième coordonnée,

3 —= En APE 12709

AU tb,

nous aurons

NE CAE ie e=ld, <=ur,, Ze]

Le cycle a pour tangente la droite y = 0, pour ordre 4, pour classe b — a. Son origine est à distance finie si À n’est pas nul, à l'infini si À est nul.

III. Le développement de = commence par un terme à exposant négatif 3 3 «a == A(I— 6) Pie 0 — 0, — é?,

Lil ere ie DCE].

L'origine du cycle est x = y —0; la tangente y — 0; l’ordre a, la classe b.

13. Examinons maintenant les cycles qui répondent aux directions isotropes. Supposant qu'il s'agisse de courbes réelles, nous nous bornerons à considérer l’une des directions, l’autre donnant des cycles conjugués. Nous prendrons donc seulement } infiniment petit.

Les coordonnées appropriées sont

- r PER Er

Vi = DV = Tr}:

IV. Le de on de r suivant les puissances croissantes de À commence par un terme dont le degré’ n’est ni 1, ni — 1. Soit b le plus petit dénominateur commun dé exposants dans le développement de 7°; nous aurons ; D QE rs Er Ai LP gi tarot], Vie LEPT LE

D'après l'hypothèse, aucun des deux exposants a — b, a + b n’est nul.

En complétant par la troisième coordonnée 3 —1, nous aurons trois résultats différents suivant les grandeurs de a, b. Le nombre b est pris positivement; «& est positif ou négatif : -

ss : Origine Tr= Y1—=0; tangentéyi=0; 1 a—b>o (1) ps ; ordre a — b, classe 26.

Origine à l'infini; tangente y1=0; 2 —b<a<b. % SEE (27 sers | ordre b — a, classe b + a.

(3) “a Tangente à l'infini, origine sur y1 = 0; * ordre 20; classe —(b + a).

V. Le développement de r commence par un terme de degré — 1: ï par A Re SE MR EE À = tb, Ti lee Ya— A= tait].

Origine à l'infini; tangente y, = À ; ordre 2b, classe a.

VI. Le développement de r commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré moindre que 3 :

TEA MEET EN PR EPST HT OS RENTE CR ire ON ET Ca

Origine à distance finie; tangente y, — 0; ordre a, classe 2b — a.

VIT. Le développement de 7 commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré au moins égal à 3 :

r=A+<BX+...,

le coefficient B pouvant d’ailleurs manquer.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. pi

Envisageons la combinaison

Bra—A(;—A) D ee

dont le premuer terme est de degré supérieur à 2. On aura

A0 VESTE By; — A(x;— A) = 120+alfs],

Origine à distance finie; tangente By, — A (x, — A); ordre 2b,

classe «.

14. Ayant passé en revue tous les cas, nous pouvons en tirer des conséquences. La première sera le calcul du degré et de la classe d’une courbe définie en coordonnées polaires.

Les lettres et 8, affectées d’accents, représenteront les sommes de nombres 4 ou b pour les divers cycles distingués par les chiffres romains Correspondant à ces accents. Par exemple, $”— à” désigne la

somme de tous les nombres tels que b — & pour les divers cycles IT,

en d’autres termes pour tous les développements, de la forme (5), rés de l’équation entre r et 4.

CaLcuL DE LA CLASSE. — Appliquons la première proposition du n° 7, en considérant les diverses tangentes issues du point x = y = 0:

Les cycles T n’en fournissent aucune; |

Les cycles IT en fournissent 5"— 4’, nombre égal à la somme des classes, puisque le point considéré n’est pas l’origine de ces cycles;

Les cycles IT en fournissent 8” 4”, nombre égal à la somme des ordres et des classes, le point considéré étant l’origine de ces cycles. |

Nous avons ensuite, en tenant compte de chaque cycle IV, V, VI et de son conjugué, les nombres suivants :

2(BY + a+ BY + 7),

2aY, 4 BY—92a't.

Ainsi, la classe de la covthe étant désignée par x, on a () pipes pe a"to[ by ay + BY ag +ar+apuan] Carcur pu necré. — Nous pouvons le faire de deux manières :

1° En prenant le nombre total des points de la courbe sur une

droite arbitraire menée par l’origine. Les points variables avec cette droite ont pour nombre le double du degré, par rapport à r, de l’équatiôn de la courbe, mise sous forme entière par rapport à r et à À. Désignons par d ce degré. Les points fixes sont à l’origine des coordonnées; leur nombre est (n° 7) la somme des ordres des cycles ayant cette origine. Soit donc mn le degré de la courbe, on aura

(9) m—=2d+a"+au;— 268;

2° Nous pouvons évaluer le degré en prenant les intersections avec la droite isotrope y, — 0. Geci nous conduit à la formule

(9 bis) m=a"+ aa +28; +28; + ofv+ opt of,

On remarquera que les formules (8) et (9 bis) n’exigent pas la

connaissance du nombre d.

15. L'analyse qui précède se rapporte aux courbes appartenant à la seconde catégorie (n° 10 et 11). Examinons maintenant les modifications pour les courbes de la première catégorie. Les résultats du nu 12 s'appliquent encore sans modification. Mais 1l faut observer qu’à chaque cycle de la courbe correspondent deux cycles différents pour r, 8. Par conséquent, dans les formules (8), (9) et (9 bts), les nombres affectés des doubles ou triples accents doivent être divisés par 2.

Pour chaque cycle répondant à À infiniment petit ou infiniment grand, deux cas peuvent se présenter : ou bien deux cycles (r, À) différentS correspondent encore à un seul cycle de la courbe; alors, dans les formules, les nombres correspondants doivent être divisés par 2; ou bien un seul cycle (r, À) contient à La fois r, À et —r, — À. En ce cas, le nombre o (n° 9) est égal à 2. Les nombres «, 8 correspondants doivent donc être encore divisés par 2. Enfin le nombre des points de la courbe, mobiles sur une sécante variable issue de l’origine, n’est plus 2d, mais seulement d. Donc enfin, pour les courbes de la première catégorie, les formules (8), (9), (9 bis) donnent le double de la classe et le double du degré.