SUR L'APPROXIMATION D'UNE FRACTION CONTINUE ALGÉBRIQUE

lesquelles la fraction devient périodique. On les trouve par des équations algébriques, appartenant à la théorie de la division des périodes dans les fonctions elliptiques, et l’on peut les caractériser ainsi : la fraction est périodique quand les intégrales de l’inverse de VF (x), prises depuis £ jusqu’à l’une ou l’autre des extrémités de l’are où se trouve £, sont commensurables entre elles Dont rapport est toujours réel).

Quand la fraction est périodique, la ligne de convergence non uniforme perd son caractère : la convergence devient unrforme, excepté en quelques points particuliers, où il y a-divergence par oscillation. Soit r le nombre des termes de la période. Certaines réduites, dont les rangs sont n, n +r, n+2r,..., sont rigoureusement ég le Sie certaines autres, dont les rangs sont #4, ni+r, n,+2r,..., sont rigoureusement égales à Hier. Toutes les autres convergent vers f (x).

Voici maintenant de quelle manière le caleul la fraction continue fait connaître la ligne de convergence non uniforme. Si l’on s'arrête au quotient 4» + Ym, le reste a la forme suivante

T— Vm

Re UE en E > VE (x) — A

(où A est un polynôme du second degré en æ). En prenant 7 = y», on obtient un point de la ligne de convergence non uniforme. La suite indéfinie des quantités y, fournit tous les points de cette ligne, avec telle approximation que l’on veut. Il y a exception dans le-seul cas où la fraction est périodique : les quantités y» se reproduisent alors périodiquement et sont en nombre limité. Elles correspondent précisément aux points d’oscillation.

Les deux fractions continues périodiques, que j'ai prises pour exemple dans ma dernière communication, offrent nettement ces circonstances. Pour toutes deux, £ est nul; y est nul pour la première, infini pour la seconde. Les coupures sont constituées par les deux segments de l’axe des quantités réelles, compris, lun entre —

I A J I : Or et ——(V33+ 1}, l’autre entre e et Vos La première

. 1. RCI Ï fraction est oscillante pour += — 2; la seconde pour x —-=el

POURZ — 1.

Il est impossible de ne pas remarquer les caractères d’invariance

que présente l'équation (2). L'hypothèse, faite sur les racines de EF

et sur £, présente aussi ce caractère. Il s'accorde avec une propriété, extrêmement simple, mais essentielle, des fractions continues, et

qu’il suffira d’énoncer pour la fraction (1) : les quotients incomplets

de cette fraction (sauf le premier) sont des covartants de F, pour toute substitution men e (et fractionnaire) opérée, à la Jos sur les trois variables x, y, £.

En raison de cette propriété, on pourrait, avec autant de généralité, se borner, dans les énoncés précédents, au cas où F est du troisième degré, avec trois racines réelles, et & réel, par conséquent. C’est le cas que J'avais uniquement envisagé, 11 v à trois ans. Mais je n'avais alors en vue que le développement de VF(x). En considérant f(x), je pense avoir introduit l'élément qui donne à cette théorie son véritable

caractère.