CHAOS EE TE CCE

Soient a, b, ... les racines de À,.

; 1° Le discriminant a la valeur suivante :

-n(n—1) ; H(a— b}?=(—1} 32n—3,52n—6 5207, (on — 3)$(an—1). 2° La fonction symétrique II(a + b) s'exprime ainsi : H(a+b)=3.52.73...(2n—3)r-2(on—r)rt1,

3° À, a une seule racine réelle ou n’en a point, suivant la parité de n.

J'en passe et des meilleurs, etc.

SUR

LA MULTIPLICATION COMPLEXE DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES ET, EN PARTICULIER,

SUR LA MULTIPLICATION PAR yÿ— 25

Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4° série, & 5, 1889, p. 9 (').

PréAMBULE.

Une des belles découvertes d’Abel, tout juste indiquée dans ses OEuvres, La multiplication complexe des fonctions elliptiques, a été, avec éclat, urée de l’oubli par M. Kronecker et par M. Hermite. Dès le premier travail publié sur ce sujet par M. Kronecker (Monatsberichte, 1853), on voit apparaître, entre cette théorie et celle des formes arithmétiques, des liens si étroits que l’adnurable création de Gauss semble imaginée tout exprès. Cette haison ne se montre pas moins dans le mémoire composé par M. Hermite à la même époque (Comptes rendus de 1859) (?). La multiplication complexe n’y est pas le but : c'est le moyen que M. Hermite emploie pour trouver, dans les transformations du septième et du onzième ordre, la réduite de Galois. C’est dans ce mémoire cependant, si riche en résultats nouveaux, qu'on voit, après les exemples élémentaires, la première collection de fonctions à multiplication complexe, calculées numériquement avec une élégance extrême. À la même époque, le R. P. Joubert (Comptes rendus de 1860) et M. Kronecker (Monatsberichte de 1862), dont

(!) [Ce mémoire a été réimprimé parmi les « fragments divers » qui terminent le tome IIT du 7raité des fonctions elliptiques d'Halphen. Il nous a paru qu'il devait néanmoins être reproduit ici, pour y représenter, avec la courte note suivante (p. 433), les recherches auxquelles Halphen à consacré tant d'efforts pendant les

dernières années de sa vie.| [Vote des éditeurs.] (*) [Œuvres d’Hermite, t. II, p. 38.]

les travaux, sur ce sujet, n'ont cessé de se poursuivre, ont donné aussi beaucoup d’autres exemples. Enfin, dans ces deux dernières années, la multiphcation complexe a été l’objet de mémoires importants, dus à M. Stuart (Quarterly Journal, XX), M. Sylow (ce Journal, 1885), M. Weber ( Acta mathematica), M. Pyek (Math. Annalen) et enfin M. Greenhill (Proc. of London Math. Soc.; 1888). Je n'ai point à analyser 1C1 ces mémoires pleins d'intérêts au point de vue, soit de la théorie générale, soit des résultats numériques. Sous ce dernier point de vue, le mémoire de M. Greenhill, tout récent, résume et dépasse les travaux antérieurs.

Pour la recherche effective des fonctions à multiplication complexe,

sauf en quelques cas, comme la multiplication par ÿ—5 ou par

Ve (Hermite, Equations modulaires, p. 55) (!), on a employé, jusqu à présent, des moyens détournés, quoique d’un grand intérêt : tantôt on utilise les équations modulaires déjà connues, tantôt on calcule, à l’aide des séries de Jacobi, les coefficients d’une équation résolvante. Cé dernier moyen, extrêmement curieux cependant, est bien ‘étranger à l'algèbre et surtout exige des opérations bien laborieuses. Le premier moyen conduit, en général, à des équations qu’il faut décomposer en plusieurs autres (?) ou bien qui ne donnent pas aisément, sous leur forme définitive, toutes les inconnues.

D'ailleurs, quoi que lon veuille -penser de ces critiques, 1l était intéressant de chercher des moyens directs. Je me propose, dans le mémoire actuel, de montrer, sur un exemple, emploi d’un tel moyen, si direct et si simple, en théorie du moins, qu’il suffira, pour me suivre . jusqu'au bout, de posséder les premiers éléments des fonctions elliptiques. Afin de faciliter cette tâche, j'ai placé au début un exposé rapide des principes généraux de la multiplication complexe, ressemblant beaucoup à celui qu’a déjà fait M. Sylow.

L'exemple choisi est celui de la multiplication par ÿ/— 23. Il existe

CHE uvres d'Hérmite LD 405: 10

(“) La cause de cette décomposition sera expliquée ici parmi les Principes generaux. Il y a plusieurs exemples, dignes de remarque, où celte décomposition est évitée pair l'emploi d'équations modulaires irrationneltes ; on le verra dans le mémoire de M. Greenhill. Mais c’est là un accident heureux, qui se produit seulement en des cas dont le nombre est très limité. Pour obtenir une équation sans facteurs étrangers, M. Kronecker a indiqué une méthode générale, fondée sur l'emploi simultané de l'équation modulaire et de l'équation au multiplicateur.

a te CE dd) ds do Ce a

six fonctions admettant cette multiplication. Pour le nombre 23, comme pour tous ceux qui sont de la forme 8 nr —1,ce qu'on a obtenu jusqu'à présent ne suffit point. Dans son beau travail de 1860, le R.P: Joubert, parmi beaucoup d’autres résultats, a donné explicitement deux équations, du troisième degré, dont chaque racine est égale, pour l’une des six fonctions, au produit du module par son complémentaire. Il restérait à trouver effectivement les modules qui doivent contenir

seulement une seule irrationnelle, outre VASTÈRE Cette circonstance indique suffisamment que l’on n’a pas choisi l’inconnue la mieux appropriée. La même observation s'applique à l'équation, d’ailleurs très élégante, donnée pour le même objet par M. Greenhill. On pourrait d’abord être surpris de me voir exiger le module Iui-même, quand on sait fort bien que le produit du module et de son complément définit explicitement les invariants. Il est vrai que le résultat obtenu par le R. P. Joubert suffit à définir ces invariants; mais il ne suffit point pour faire connaître, sans nouvelle irrationnelle, la formule même de mulüplication.

Au point de vue des résultats, c’est donc un complément que j’apporte à ce qui était acquis. Mais c’est surtout par la méthode employée que ce travail, sans prétention, mérite peut-être un instant d’attention.