PRINCIPES GÉNÉRAUX

Rappelons tout d’abord les principes.

Soit s une constante qu'on désignera sous le nom de multiplicateur. ° Soit u un argument variable, soit encore e le produit de &w par le

multiplicateur, pP—EU.

On sait que, si e est un nombre entier, pe est une fonction rationnelle de pu. Le même fait peut-il se présenter pour d’autres valeurs de €? : |

Soient 26 et 26 les périodes. Comme pu ne change point quand on ajoute ces périodes à l’argument &# et que tout autre changement de l’argument, sauf le changement du signe, altère la fonction p, comme aussi p# doit avoir une seule valeur pour chaque valeur de pu, il faut que les produits de : par 2w et 26° soient eux-mêmes des

périodes, qu'on ait donc (1) Eù = pu + qu), Eu = 0 + SU, P; 4 l, $S étant des nombres entiers. De là se conclut (oi (bite At (ro Liu Mettons de côté le cas où l’on supposerail Je Oo; 11e 0: Dire,

qui est celui de Ta multiplication ordinaire, € étant alors un nombre entier. Pour tout autre cas, la relation (2) n'est pas identique. Elle exprime une condition entre les périodes : pour qu'il existe une multiplication, autre que la multiplication ordinaire, il faut et il suffit que le rapport des périodes soit racine d’une équation du second degré à coefficients entiers. C’est une condition nécessaire, on vient de le voir; suffisante aussi : pour s’en convaincre, il suffit d'observer que, € étant choisi conformément aux égalités (1), concordantes d’après la relation (2) supposée, pv n’a effectivement qu’une seule valeur quand pu est donné. |

Il s’agit de trouver l'expression de pv en fonction de pu. Cherchons donc les pôles de cette fonction, considérée comme dépendant de w.

Des égalités (1) et (2), on peut tirer |

| w __sw—gqu" W pwu'—ruw

(3) cb N EE N l N= ps — gr.

En conséquence, les valeurs de w — -; qui rendent ? égal à une

période, sont des N° parties de période. Mais il faut préciser davantage.

On doit admettre que les quatre nombres p, q, r, s n'aient aucun diviseur commun. Effectivement, de ce cas particulier, on s'élève au cas général en multipliant < par un nombre entier, c’est-à-dire en faisant suivre la multiplication par < d’une multiplication ordinaire. Cette dernière ferait disparaître la simplicité qu'on va reconnaître dans la nature des pôles de ps; la simplicité tient essentiellement à cette hypothèse permise et nécessaire : p, g, r,s n'ont aucun diviseur commun.

Soient y le plus grand commun diviseur de s et de g; u celui de p

et de r. Ces diviseurs appartiennent aussi à N. On aura

q = Ygn, LES P = KP1) = hr,

PiSi—gi71=n, Ni =Yrav:

Sont premiers entre eux les nombres 4, et s,, de même p, et r,,et aussi 4 et y, suivant hypothèse qu’on vient de faire sur l’ensemble des quatre nombres p, g, r, s.

Comme g, et s, sont premiers entre eux, on peut trouver deux entiers à et 5 par la condition

(4) SP — gaz =1.

Posant alors S10 — q10' = y, au) — Bu = w,.

on en conclura wo = Buy — g1w, W'= ami — 510),

più — 710 = (pDr1—7 B)wi— (P1S1— gir1)wi, égalité que nous écrirons sous la forme

P19'— rw = hw— nw!, en posant

(4) h= pia—r:6.

Remarquons immédiatement que et n sont premiers entre eux. On a, en effet,

RS = pissa— ris 6 = pisix —r(1+qa)=na—r;,

hq1 = pigia — r1qg38 = pi(si8—1)—r1g18=nÊ0— pi.

Tout diviseur commun à L et n diviserait donc 7, et p,, qui sont premiers entre eux. |

Puisque À et n sont effectivement premiers entre eux; on peut choisir un entier À, de telle sorte que À + Àn soit premier avec un nombre donné quelconque, par exemple v. Mais, par l'égalité (4), æet $ sont déterminés seulement à un multiple près, respectivement, de s$, et de g,. L'égalité (5) détermine donc à un multiple près de

n = Pis — 7191;

on peut alors choisir ce multiple de telle sorte que À soit premier avec y. Admettons qu'il en soit ainsi.

TER CSS AT OT bé LL ore LR. nd ES, TN AO PPS L' 7 ÿ € ve 4 Dr De 0e PP OS Pan ae ENT ve As e . . + UC RATE 0:

SUR LA MULTIPLICATION COMPLEXE DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 397 Les deux nombres À et 4 étant premiers avec y, on peut déterminer

des entiers y et à par la condition

VO — RuYy =1.

Ceci fait, on a

N Roi — nu + nv ôwi = h(wi+ nuyw:)

et, si l'on pose | Wi + AUYO\ = ©, !

: ü) e x les expressions (5) de — et de — prennent les formes ci-après :

Lé … 6) SD 9740 ü)1 - [) mn MP LATEX — He Re ee Pere: YU: € nt n x nu oO" Ppio —riv Rw;-- nu" h'uers — EE —…—…— = — — 00); .

€ ny ny ny

Par conséquent, en négligeant les multiples de la période 26°,

2 uw 2 6) 2 V 6) — = — = ——, * € ne N (6) ; .

26 2h65 2UAG DÉPOT NT A LATIN

. . 20) 20 : ne : se Ainsi — et —, à des périodes près, sont des multiples d’une seule

A : DEN 20 & et même quantité + Avec des entiers quelconques +’ et $, en posant

va + uh8"= m, on aura, de même, 24'o+28w 2mù

miers entre eux, 7 peul être un entier quelconque. En conséquence, les valeurs de u qui rendent v égal à une période sont représentées

c'est-à-dire un multuple de Comme d’ailleurs; y et uh sont pre-

à ? A Sr 2 .

par tous les multiples d’une seule et même quantité FR: quest la Niène partie d'une période.

IL est très important de se rappeler l'hypothèse : p, g, r, s sans diviseur commun. Dans le cas opposé, en effet, la proposition serait en défaut. Au cas de la multiplication ordinaire par un entier M, les

ARE PR æ UE valeurs de w, qui rendent di égal à une période, sont constituées par

l’ensemble de toutes les M" parties de période, et ces dermières ne sont pas les multiples d’une seule’et même quantité. Si donc on mul-. tiphie « par un entier M, la proposition précédente disparaît à l’égard du produit Me. Elle constitue ainsi une propriété caractéristique de la multiplication singulière, réduite à ses éléments essentiels. Connaissant les pôles de pv, fonction de uw, il est aisé de trouver l'expression de pv, décomposée en éléments simples. Soit effecuive-

ment 2 M à LS HET US d’après l'égalité (5), 1l vient p—iu—=2aw+2f$'w+eu zu.

D'autre part, pe développé suivant les puissances ascendantes de + fournit, à la partie fractionnaire, le seul terme re Suivant les puis- : F J s sances ascendantes de «w’/, on a donc le seul terme TR De là vient, CPAS

dans la formule de décomposition, le seul terme

Si l’on observe ensuite que pv est une fonction paire de w, on trouve immédiatement le terme constant, qui restait à déterminer dans la formule de décomposition et l’on a enfin

Le ets des périodes est supposé racine : ‘d’une équation du second degré, à coefficients entiers; soit

(9) aw'?+2bwwy' +cw?—= 0

celle équation, où &, b, c sont des nombres entiers, n'ayant aucun diviseur commun. Le premier membre constitue ce qu’on nomme, dans la théorie de Gauss, une forme primitive; la qualification de primitive exprime que a, b, c n'ont point de diviseur commun.

Dans l’ordre primitif (c’est-à- dire dans l’ensemble des formes primitives), on distingue l’ordre proprement primitif et l'ordre