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SUR LA MULTIPLICATION COMPLEXE DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 399 improprement primitif. Le premier est celui où & et c ne sont pas, tous deux, pairs; le second est, au contraire, celui où a et c sont pairs. Cette distinction, née de l’arithmétique, est encore fondamentale ici, comme on va le voir immédiatement.

Le rapport des périodes est essentiellement imaginaire. Ainsi l’équation (9) a ses racines imaginaires; en d’autres termes, le

nombre D, qui est son déterminant changé de,signe,

(10) D =ac— 05%,

est essentiellement positif. La forme (a, b, c), c’est ainsi qu’on représente abréviativement le premier membre (9), est donc une forme définie, nom que l’on donne aux formes dont le signe est invariable quand la variable est réelle. On pourra admettre que a et c, dont le signe est le même pour tous deux, sont positifs. La forme (@, b, c) est, en résumé, une forme pr'émilive et positive.

Enfin, pour fixer les idées, nous définirons le rapport w': w comme étant égal à la racine dans laquelle la partie imaginaire est positive, c'est-à-dire que le coefficient de £ est supposé positif. Par conséquent,

aw + bu Co + bw’ Jr II te + == Li) ) ( ) ? w w’ V 1

et ÿD est pris positivement. | L’équation (9) peut être mise, de diverses manières, sous la forme (2). Il y a donc diverses multiphications singulières pour la même fonction elliptique : parmi ces muluplications, il faut en choisir une, la plus simple, suffisante pour caractériser la singularité. Par comparaison avec l'égalité (2), on posera SEM — r = kc, p=kb+k

(12) | s—— kb+}k, p—s—=2kb.

Les trois nombres &, b, c n’ont point de diviseur commun; il en va

donc de même des trois nombres &, 2b, c dans le cas de l’ordre pro-

prement primitif. Alors Æ est nécessairement un nombre entier, et A aussi par conséquent. Au contraire, pour l’ordre improprement primilif, a, 2b et c ont le diviseur 2. On peut donc prendre, pour #, la moitié d’un nombre entier ; comme, d’ailleurs, b estimpair (sans quoi a, b, c auraient le facteur 2), 24! sera aussi un nombre entier, de

même parité que 2K.

Nous avons maintenant, suivant (12) et (10), (13) N=ps — gr = kK"?2+ D.

Le minimum de N, pour l’ordre proprement primiuf, est donc N =D, répondant à #'—0o, f—æ+1. Pour l’ordre improprement primitif, c’est N — ; (D +1), répondant à + £'=E A

L'expression (1) du multiplicateur e, suivant (11), devient