Exempze

Les nombres entiers p, qg sont premiers éntre eux : l’un au moins diffère de 1. Voyons d’abord si cette équation appartient à la première ou à la seconde catégorie. Pour un angle 0, les diverses valeurs de r répondent aux diverses déterminations de cos LE (0+2kr). L'équation appartiendra à la seconde catégorie si, qe que soit ÿ, un de ces

cosinus est égal et de signe contraire à ose (O+r 1 On devra donc

avoir

SH) + (2h +R = He +2Æx), c’est-à-dire (2k—1)p=(2h+T1)g.

Par conséquent, p et q, qui sont prenuers entre eux, doivent être tous deux impairs. Ainsi l’équation est de la première catégortre si l’un des nombres p, q est pair; de la seconde, dans le cas opposé.

Le nombre d est manifestement égal à g.

Aux valeurs déterminées de 0, ne répondent que des cycles [.

Les cycles répondant à À infiniment petit sont donnés ainsi :

NE ee doué a SEA DER eg CO RS CES Ce a

Ils appartiennent à la catégorie IV (1) si p > g; à la catégorie IV (2) sip<gq. En posant À = t* et prenant r}, au lieu de r, on a

r À : è — = fP+I— 13P+A ER ÉSP+A, Le, S1 p et g sont tous deux impairs, ce développement donne une même valeur de rÀ pour deux valeurs égales et opposées de #. Ainsi, quand l'équation est de la seconde catégorie, le nombre » relatif au cycle considéré est égal à 2.

En appliquant les formules (8), (0) et (9 bis), les deux dernières donnant ensemble une vérification, on a ce résultat : S1 p ou g est pair, la classe de la courbe est 2(p + 4); son degré est le plus grand des deux nombres 2 p ou 2gq. Si p et q sont tous deux impairs, le degré et la classe sont réduits de moitié.