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Ce multiplicateur est toujours imaginaire, et c’est là l’origine de la locution : multiplication complexe.

Adoptons naturellement, comme la plus simple, la multiplication où N est minimum; fixons, d’ailleurs arbitrairement, les signes de Æet de £', et concluons ainsi :

«Dans l’ordre proprement primitif (c'est-à-dire l’un des deux nombres a et c étant impair), Le multiplicateur le plus simple & et le degré N sont (15) Ru e—t#D, N=D:

dans l’ordre improprement primitif (c'est-à-dire si a etc sont pairs tous deux), /e multiplicateur le plus simple e et le degré N sont

(16) e= -(1+iVD), N=>(D+1).

Pour un même déterminant D, muluple de 4 moins 1, le degré le plus peut correspond à l’ordre improprement primiuf, qui offre, par conséquent, des calculs directs beaucoup plus simples. Comme on le verra par l'exemple que nous allons calculer, on peut ensuite, par des opérations indirectes, passer à l’ordre proprement primitif.

DiversEs MÉTHODES DE RECHERCHE.

Jusqu'à présent, les fonctions elliptiques à multiplication complexe, ou fonctions singulières, ont été caractérisées par la condition (9), relative aux périodes. Le problème véritable est de trouver leurs modules, suivant l’ancien langage, ou leurs éneariants, suivant le

langage actuel. Pour résoudre ce problème, la voie naturelle est de

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faire disparaître les variables w, 6 de l'égalité (8), de façon à obtenir une relation entre des constantes, exprimables en fonction des invariants. On peut obtenir une infinité de telles relations.

Développons les deux membres (8) suivant les puissances ascendantes de uw, égalons terme à terme les coefficients et nous aurons les relations dont 1l s’agit. Pour ce but, on invoquera le développement 2,

il és) pu= — + + uit...

Se souvenant que l’on à P — eu, on conclut

need pe,

20 2 Led (17) 1 I Go. 26% =. EbT RER GUAM ES ( DA LPS Ne

Il suffit, bien entendu, de prendre la première de ces équations. En exprimant que les arguments des diverses fonctions p”, dans le second membre, sont les multiples d’un même argument, que ce dernier est la N°" partie d’une période, on obtiendra, entre les invariants, une équation algébrique, propre à résoudre le problème. :

On peut procéder autrement : prendre les deux équations, exprimer les fonctions p’et pau moyen de la seule fonction p, suivant les formules

Life sf à Je L p'= 6p?— #5;

’ k J pe = 112 (ion 3 Srpee gs) ,

emplover la multiplication ordinaire pour réduire ces fonctions p au ployer 1 Ituiplicat d P d foncet ]

2 & ÉTX seul argument 7 €l sans avoir à exprimer que cet argument est une

Ni" partie de période, éliminer celte unique quantité p+ entre les deux équations.

Il y a d’autres moyens encore. Dans le cas, notamment, où N est un nombre pair, en mettant, au lieu de w, dans l'égalité (8), une des trois demi-périodes, on obtient une relation fort utile, comme je ferai dans l'exemple que je me propose de traiter 1c1. |

Voici le fait qui attire d’abord l'attention. Dans l'égalité (8) et celles

qui s’en déduisent, les seules données qui apparaissent sont e et N,

c’est-à-dire, conformément aux expressions (15) ou (16), le déterminant D et la distinction entre les deux ordres, proprement ou improprement primitif. Aucun autre élément de l’équation (9), c’est-à-dire de la forme (a, b, c) ne laisse de trace dans le calcul. Par conséquent, la totalité des formes de déterminant D donne en tout deux équations bien disunctes entre elles, l’une pour l’ordre proprement primitif, l'autre pour l’ordre improprement primitif (quand D est multiple de 4 moins 1). |

Pour un déterminant donné, il y a une infinité de formes (a, b, c). I n'y à cependant qu’un nombre limité de fonctions singulières répondant à ces formes, puisque ces fonctions sont définies par une équation algébrique. Une infinité de formes répondent donc à une même fonction. Ceci tient simplement à ce que les périodes 26, 20 ne sont pas entièrement déterminées. On peut, en effet, au moyen d’une subsütution linéaire, de déterminant unité, changer ces périodes en d’autres, qui leur soient équivalentes.

Soient 20! et 26 deux autres périodes :

(18) ® = aw'—+ bo, D = YW'+ 00.

Pour que le couple (26',26) puisse remplacer le couple (2w', 2), il faut que toute période s'exprime par une fonction linéaire de 26’ et 26, à coefficients entiers; ceci exige aù — $y—+#1. De plus, pour préciser le rapport w' ! w, nous avons été conduits à fixer le signe de la partie imaginaire dans ce rapport. Pour que ce signe se conserve dans &' : ©, 1l faut que l’on ait 40 — y — + 1, comme on le reconnait par un calcul classique.

La substitution (18) fait apparaître &°: & comme racine d’une nouvellé équation, analogue à Péquation (9). Le premier membre de cette nouvelle équation n'est autre que le premier membre de la précé-

dente (9), transformé par une substitution linéaire, à coefficients entiers, de déterminant égal à +1.

Dans la théorie de Gauss, toutes les formes (&, b, c), déduites d’une seule et même forme par de telles substututions, forment une classe et elles sont dites équivalentes. Cette équivalence trouve 1e1 son application naturelle : toutes ces formes correspondent à une seule et même fonction elliptique. Le nombre total des fonctions singulières qui correspondent à un même déterminant D est donc aussi celui des classes de formes primitives (proprement ou improprement), à déterminant

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— D. Si la théorie des nombres ne nous le faisait déjà connaître, nous apprendrions donc par les fonctions elliptiques que ces classes sont en nombre limité. À

En restant dans les généralités, j'ai encore un mot à dire sur la méthode de calcul que j'ai indiquée tout à l'heure, pour la comparer avec la méthode classique, la méthode d'invention première, celle d’Abel, pour laquelle on emploie les équations modulaires.

Envisageons des fonctions elliptiques-quelconques, ayant 26 et 26 pour périodes; puis d’autres fonctions elliptiques, ayant les périodes 2Q, 20", liées aux précédentes par les relations

(19) eQ = pw + qu), eQ'— 7°ù + su’,

analogues aux relations (1); p, q, r,s sont encore des nombres entiers sans diviseur commun, mais & est une quantité tout à fait arbitraire. Les éléments de la théorie de la transformation, par les raisonnements mêmes que nous avons employés, montrent que p(e u) est fonction rationnelle de Pu (nous désignons 1e1 par P la seconde fonction elliptique, aux périodes 2Q, 2Q°). Cette fonction rationnelle s’exprime, en éléments simples, sous la forme

e2p(eu) = Pu + D Dre Due L

analogue à l'égalité (8).

Par le même moyen qui nous a fourmi les relations (15), en employant des majuscules pour les invariants de P, on obtient

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V pu 2220.