G3) FE

En considérant les seconds membres comme des fonctions connues de G; et G,, et éliminant e, on obtient une relation entre les invariants absolus 92? : #5 et G? : G° (qui remplacent les modules dans les nota-

C9 3 2 3 tions modernes). Cette relation (mise sous forme entêre relativement à G, et G3, dont les seconds membres sont des fonctions algébriques irrationnelles) constitue l'équation modularre relative aux transformations d’ordre N. À

Dans cette équation modulaire, supposons Gi = 92, G3 = g3. Nous

Me riece, Re NT PE EPL RE RSS N PIERRE NE Er 3 \ S a ; * EX 4 CPI Des TS g

404 OEUVRES DE G.-H. HAIPHEN.

retrouvons alors, au lieu des relations (19), les relations initiales (1), et l'équation ainsi obtenue, qui contient alors un seul module, ou plutôt un seul invariant absolu, caractérise des foncuons-ellipuiques singulières. Mais e a disparu; la seule donnée qui subsiste est N. La disparition de e nous avertit que les multiplications ne sont pas nécessairement réduites à leurs formes les plus simples (15) ou (16). Entre le déterminant D inconnu et le nombre donné N existe seulement la relation (13): On trouvera donc ainsi, à la fois, toutes les multiplicaons complexes qui répondent aux déterminants D, de la forme es

2k et 24° étant des entiers quelconques, qui rendent D entier et posiuf. L’équation obtenue de la sorte est donc décomposable en plusieurs équations distinctes.

Au point de vue théorique, cette méthode présente divers avantages. Tout d’abord elle a été la source de belles découvertes arithmétiques, comme on peut le voir dans les travaux de M. Kronecker. De plus, les équations modulaires ayant été très étudiées, on trouve par là plusieurs propriétés générales de la multiplication complexe. Mais, quand il s’agit de calculer effectivement des invariants singuliers, correspondant à un déterminant donné, cette méthode ne peut être approuvée. Une bonne méthode doit fournir directement, sans facteurs étrangers, l'équation désirée. Elle ne doit point exiger le calcul préalable des équations modulaires. Celle que j'ai indiquée plus haut satisfait à ces conditions : par la conservation du multiplicateur € dans le calcul, elle doit donner, pour chaque cas, une équation répondant uniquement à la question (!). On ne peut pas dissimuler cependant que le calcul effecuf offre des difficultés : pour qu’il ne soit pas trop laborieux, on doit assurément user d’arufice, employer, par exemple, des relations surabondantes, comme je vais le faire dans LE cas parlicuber dont j'aborde maintenant le calcul.

(!) D'après un des plus beaux théorèmes de M. Kronecker, celle équation doit se décoinposer en autant d'équations partielles qu'il y a de genres différents, entre lesquels se répartissent les classes de formes ayant le déterminant donné et appartenant à l’ordre considéré. Le déterminant que j'ai en vue est un nombre premier; il n'y à donc qu'un genre dans chaque ordre; partant, point de décomposition.

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, KT À I ‘ “ MULTIPLICATION PAR = (1+ y — 23). — RecHBRCHE DE LA RÉSOLVANTE.

Je me propose de trouver les fonctions elliptiques singulières répondant à l’ordre improprement primitif, pour le déterminant 23. Je prends, à cet effet, l’une des formes correspondantes, la forme (2, 1,12), supposant ainsi, entre les périodes, la relation

24 ww + 6W2= 0,