BOL 26 + 1 ) AE NET LE

Dans la fonction elliptique correspondante, les invariants sont réels et le diseriminant négatif. La demi-période réelle est w, la demipériode purement imaginaire est 26° + w. Ainsi, suivant les notations usitées dans le cas des invariants réels avec discriminant négatif, on

devra poser Way —6, W', = 20) + W;

de là, pour les demi-périodes imaginaires conjuguées, les expressions

= (we 08) =— w, = = (03 0) = 0 +

Les racines e,, c'est-à-dire les valeurs de pu quand &w est une demi-période, sont done composées ainsi : l’une réelle e,, correspondant à w>, aussi bien qu'à w’; les deux autres imaginaires conjuguées : dans e,, qui correspond à w,, la partie imaginaire est positive.

Je conserverai explicitement les demi-périodes w, w', avec la notation w” pour leur somme, mettant, de plus, e, e, e” pour les trois racines correspondantes (!). La somme de ces dernières est nulle. On a donc simultanément

(21) LL, er:

(:) L'obligation de considérer, à la fois, les diverses fonctions elliptiques contraint à restreindre la variété habituelle des notations : je réserve l’emploi des indices pour caractériser les autres fonctions, qui interviendront plus loin.

La lettre £ désigne l’inconnue qu'on est naturellement conduit à 4 ; À LU Ne ; Re choisir. Nous savons dès maintenant que = doit être réel et positif.

D’après les égalités (12) appliquées au cas actuel, en y prenant

EU) — 0 + W', euw' — — Guw,

wo )" )” 0°

7 = EN on pe 0) (057 € € 6 +

La demi-période à coïncide avec w/ et la formule (8) devient P

PRUEESR Li AS + p U + 3:

(23) sepo +p(u- te) +p(es 2) + 0 2D ë 2p 2 $ | 2] 3 jl RER à à.

Posons, pour abréger (!), 2 (2) (24) A—=P—) Dep 6 I r : EN

remplaçons p° par 6p?— = 242, et déduisons de la première formule générale (17) cette équation

l + (55) (#+ai)g=6at66t3e*

Je prends, de plus, équation qu’on obtient en supposant, dans la relation (23), u — w, ce qui donne, suivant (22),