Ÿ = EU = W + W

(1) L'emploi des lettres a et bd ne peut entrainer aucune confusion avec la notation générale (a, b, c) des formes quadratiques; sur laquelle nous n’aurons plus à revenir.

par conséquent,

2e" = e+e"—e + »p(o — a) + 2P (so — =) —24a —920. Nous poserons AE NES 1 ' Nes 7 !

PA é+e—e—e rat 6, 29:00); en sorte que la dernière équauon s'écrit ainsi e . Pr 20!

(26) 2A+a+b—=P neo re je

Par le théorème d’addition des demi-périodes, on a, suivant les notations (24), uw)” et e' Ft e” no ne

Here È

pPo—— )=e+ ————— \, d CE

ù w" DONNE (ea le ea eo re COTE) pfo—%)+pr(o-2) ee en Pole

Le second membre (26) étant maintenant exprimé au moyen de a et b, il ne faut plus qu’une relation entre & et b pour éliminer ces quantités des équations (25) et (26). Cette relation estimmédiatement fournie par les expressions (24) de a et b

2 W RTC w” ER ER EE MT 3 nr OCR

On en conclut, par le théorème d’addition des demi-périodes,

ce qui est la relation demandée. Je m'en sers immédiatement pour modifier le second membre (25) par le calcul suivant : |

Ajoutant, membre à membre, avec (28),.on conclut (a—e)(b—e)=(e —-e)(a+b—e—e")—(e —e)(a + h + er.

La relation (27) devient donc

wo" D OO (e"—e)(a+b—9e) pfo—7) +p(o—#) DÉS

a be"

ce qui donne, pour l'équation (26), celle-ci

L’élimination de a et b entre ces trois équations (25), (28) et (29)

est évidemment très facile. On peut cependant la simplifier encore

par une nouvelle transformation du second membre (26), conformé-

ment au calcul suivant :

w' RU, rite e(e ee POULE) EP RO D EEE 3 3 a —e

2 W” Hi UE mt) PRES & — — | — 5 ——— P 3 a =.€ b'=p FRE UN a ee Mae 2 PE. He:

Soit f(a)—=(a—e)(a—e)(a—e"). La somme des trois fracf'?(a) (a)

: 5 ; 2 - Soit, pour un instant, w l'argument : W',

ions, dans ces seconds membres, est — w(a), où y(a) désigne

la partie entière de on à

T I ISÈRE PÈRE TAG) = p'(u).

Pour un argument &# quelconque, on a toujours

f'2 de E (Ë u

) = 4(2pu +p2u).

J{u) pu Pour u— su! pu et p2u sont des quantités égales, a. Ainsi Ji) —= 124.

Quant à (a), parue entière de où a est supposé quelconque,

c’est 94. La somme des trois fractions est donc égale à 3 a. Au lieu de l'égalité (27), on peut donc encore écrire celle-ci

(29 a) pfo—+)+p(o- 2) +63

moyennant laquelle l'équation (26) fournit cette autre

que j'adjoins au système (25), (23) ét (20),

Avec la notation À, j'emploie encore B et GC, ainsi

A — = Ce? "+ 2e), 1 fe + 24 | (31) B = Re 3e),

Les équations (25) et (25) sont les suivantes : a+ b?=B, (a—e')(b—e')= C.

Avec l'équation (30), on en tire

je (a+b)=2e?+B—92C— A?—B — A2- 2e'?— 2eé", Auto) LB A?

L’élimination de (a + b) entre ces deux dernières conduirait à une équation du quatrième degré par rapport à l’inconnue £. Cette équation contiendrait un facteur étranger, tandis qu’en substituant (a+ b) et son carré dans (29), on obtient une équation du troisième degré

(32) A(B — A?2— 2ee")+e (3B —2A?+92ee"— 92e?) = 0.

C’est l'équation que je voulais obtenir. On y devra substituer, pour À et B, leurs expressions (31), en se souvenant qu'on a

LÉ

ga=ee +e'e"+e"e = ee"— e?.

ENRE

Elle devient, de la sorte, homogène et du troisième degré, ene, e!,e”. Par le moyen des notations (21), on aura une équation du troisième degré en t.

Le développement de cette équation exige encore des calculs assez longs. Il convient donc d’avoir un guide et un contrôle par la connaissance préventive de quelques traits essentiels.